Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии и материаловедения гидродинамика и массообмен в многофазных системах металлургии. Учебное пособие
.pdf
режимах или областях: диффузионной, кинетической или промежуточной. В диффузионной области процесс хемосорбции лимитируется скоростью подвода целевого компонента в зону химической
реакции и реализуется при больших скоростях химической реакции. Процесс, протекающий в кинетической области, лимитируется скоростью химической реакции и реализуется при малых скоростях химической реакции или больших скоростях подвода целевого
компонента в зону химической реакции. Сформулируем граничные
условия для уравнения (2.32) для обоих этих случаев. Плотность потока массы, кг/(м
2
·с), передаваемой на поверхность (или от неё в по-
ток) за счёт конвективной диффузии, равна
E – коэффициент массоотдачи, м/с;
где
C
–
концентрация i-го компонента в невозмущённом потоке, кг/м3;
i
mCC
E , (2.33)
1 iis
f
Cis – его равновесная концентрация на межфазной границе, кг/м3.
Плотность потока массы того же компонента, образующегося
(или расходуемого) непосредственно на межфазной границе, в результате химической реакции, равна
k – константа скорости химической реакции;
где
i
mkC , (2.34)
2niis
n – порядок реакции.
В диффузионной области
k of в первом приближении мож-
i
но считать, что равновесная концентрация целевого компонента на
межфазной поверхности равна нулю:
при y = r
В кинетической области
0
Cis = 0,
k o в первом приближении можно
i
0m
и
mC
2
E . (2.35)
1 i
f
0
считать, что концентрация целевого компонента на межфазной границе равна его концентрации в невозмущённом потоке:
при y = r
CC
0
,
is i
0m и
f
1
mkC . (2.36)
2niis
31
Граничные условия (2.35) и (2.36) можно использовать и в случае, когда химическая реакция на межфазной границе отсутствует,
но интенсивности процессов переноса массы целевого компонента в
контактирующих фазах сильно отличаются друг от друга.
Вопросы для самоконтроля
1. В чём особенности движения дисперсного потока?
2. Перечислите расходные или приведённые характеристики
дисперсных потоков.
3. Как определяются приведённые характеристики для каждой
фазы дисперсного потока?
4. Что такое «живое сечение»?
5. Как определяются истинные скорости многофазной системы?
6. Как определяются параметры многофазного потока (его ско-
рость, плотность и вязкость)?
7. Как записывается в условиях однозначности факт непроница-
емости твёрдой частицы для несущего её потока?
8. Чему равны тангенциальная и нормальная составляющие скоростей омывающего потока и твёрдой частицы по отношению к системе координат, привязанной к частице, и неподвижной системе
координат?
9. Дайте определение понятию «бесконечно малый объём» дисперсной системы.
10. Как задаются граничные условия на поверхности твёрдой частицы при её обтекании потоком идеальной жидкости?
11. В чём отличие обтекания потоком пузырька или капли по
сравнению с обтеканием твёрдой частицы?
12. Как в условиях однозначности отражается факт отсутствия
проскальзывания на поверхности пузырьков и капель при их обтекании потоком?
13. Как в граничных условиях отмечается факт фазового перехода (например, испарения)?
14. Как задаются в граничных условиях параметры движения
жидкости или газа внутри пузырька или капли?
15. В каких случаях задаются граничные условия на бесконечном
удалении от межфазной границы?
16. Когда при описании процесса обтекания можно пренебречь
силой вязкого трения?
32
17. Когда при описании процесса обтекания твёрдой дисперсной
частицы можно пренебречь силой инерции?
18. Изменятся ли граничные условия процесса обтекания потоком вязкой жидкости твёрдой частицы при обтекании тем же потоком капли?
19. Докажите существование диффузионного пограничного слоя
на поверхности дисперсной частицы при наличии массообмена
между частицей и несущим её потоком.
20. Сформулируйте граничные условия к уравнению переноса
массы в диффузионном пограничном слое при стационарном режиме массообмена и отсутствии химической реакции.
21. Объясните значение понятий «массообмен в диффузионной
области» и «массообмен в конвективной области», используемых
при описании массообмена при наличии химической реакции.
22. Сформулируйте граничные условия к уравнению переноса
массы в диффузионном пограничном слое при стационарном режиме массообмена и наличии химической реакции.
33
3. МЕТОДЫ УПРОЩЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Система уравнений (2.14) – (2.17) с граничными условиями
(2.27) – (2.28) и (2.30) – (2.36) в принципе позволяет составить математическую модель любого теплофизического процесса, протекающего в металлургическом производстве. Однако такая модель мало
пригодна для практического использования из-за математических
трудностей, возникающих при её реализации. В связи с этим разработан и широко применяется ряд приёмов, упрощающих исходную систему уравнений и позволяющих довести её решение до практически
реализуемых результатов. Рассмотрим некоторые из этих приёмов.
3.1. Постановка предельной задачи
Радикально упростить математическую модель можно, рассматривая крайний для исследуемого процесса случай. Здесь важно обосновать корректность принимаемого допущения для поставленной задачи.
Например, уравнение Навье – Стокса (2.15) может быть значительно упрощено в двух крайних случаях: когда сила вязкости в пото-
ке существенно превосходит силу инерции
wd
1Re
, т.е. поток
Q
движется с малой скоростью, и когда сила инерции в потоке существенно превосходит силу вязкости, что имеет место при
т.е. при движении потока с большой скоростью. В первом случае
можно не учитывать действие силы инерции в потоке и в левой части уравнения (2.15) исключается конвективная составляющая полной производной скорости по времени
нение закона сохранения импульса перестаёт быть нелинейным. Во
втором случае можно не учитывать действие силы вязкого трения и
в правой части уравнения (2.15) исключаются два последних слагаемых. Это понижает порядок дифференциального уравнения – оно
превращается в уравнение первого порядка. В случае массоотдачи с
химической реакцией предполагают, что процессы массообмена на
межфазной границе протекают либо в кинетической, либо в диффузионной областях. Хотя в действительности эти процессы чаще
всего протекают в промежуточной области. В первом случае, когда
процесс массоотдачи с химической реакцией протекает в кинетической области, его скорость лимитируется скоростью химической реакции. При этом концентрация целевого компонента на межфазной
34
GG
gradww
. При этом урав-
Re 1!! ,
границе равна его концентрации в невозмущенном потоке и процесс
хемосорбции описывается следующей системой уравнений:
C
w
i
DkC
iis
y
w
CC
f
is i
½
n
,
°
i
при y = r0.
¾
°
¿
(3.1)
Во втором случае, когда хемосорбция протекает в диффузионной
области, скорость химической реакции предполагается бесконечно большой. В этом случае скорость подвода целевого компонента
к межфазной границе мала по сравнению с возможностью химической реакции и поэтому вся масса подводимого к поверхности целевого компонента практически мгновенно вступает в химическое
реагирование. Тогда можно считать, что на поверхности раздела фаз
выполняется условие (2.35) и процесс хемосорбции описывается
следующей системой уравнений:
C
w
DC
C
i
E
ii
y
w
0
is
½
,
°
f
при y = r0. (3.2)
¾
°
¿
При отсутствии химической реакции описание процесса межфазного массообмена также можно упростить. Если
DD!!
ii
cд
, то сопротивление массопереносу в основном сосредоточено внутри дисперсной фазы, т.е. поток массы целевого компонента, подводимый к
поверхности раздела фаз, существенно больше того, что отводится от
поверхности во внутрь дисперсной фазы. В этих условиях концентрация целевого компонента на границе раздела будет равна его концентрации в невозмущенном потоке, т.е. выполняется условие (2.36):
при y = r
CC
is i
0
f
и уравнение (2.31) применительно к внешнему диффузионному пограничному слою вырождается в уравнение (3.1):
C
w
при y = r
Если
DD
ii
cд
, то сопротивление массопереносу сосредоточено
0
i
D
i
y
w
. (3.3)
0
в сплошной фазе, омывающей дисперсную частичку, т.е. поток массы целевого компонента, подводимого к межфазной границе, существенно меньше той массы, которую способна отвести с поверхности
35
в глубь частицы дисперсная фаза. В этих условиях концентрация целевого компонента на поверхности будет равна нулю, так как весь
поток целевого компонента, подводимый к ней, будет практически
мгновенно отводиться во внутрь дисперсной фазы. При этом выполняется условие (2.35):
0
при y = r
C
is
0
и уравнение (2.31) вырождается в уравнение (3.2):
C
w
при y = r
0
i
DC
E
ii
y
w
.
f
Подобным же образом осуществляется постановка предельных
задач при рассмотрении процессов межфазного теплообмена.
3.2. Использование криволинейной системы
координат
Решая задачи гидродинамического и тепломассообменного взаимодействия между частицей и потоком, частицу, как правило, принимают в виде шара, эквивалентного диаметра, в центре которого
помещено начало системы координат. Использование для этих задач
декартовой системы координат нерационально. Здесь необходимо
применять криволинейные системы координат.
Применение криволинейной системы координат упрощает описание положения изучаемого объекта в пространстве. Вместе с тем
становятся более громоздкими формулы основных операций векторного анализа: нахождения градиента скалярной функции, дивергенции векторной функции, ротора векторной функции и т.д.
При необходимости соответствующие формулы и их вывод можно
найти в справочной и специальной литературе.
В данном параграфе ограничимся описанием сферической системы координат и её взаимосвязи с прямоугольной системой координат.
В сферической системе координат рис. 3.1 положение точки М в
пространстве определяется координатами (
ние от точки М до начала координат,
M – угол между осью 0х и отрез-
ком 0Mc – азимутальный угол, точка Mc – проекция точки М на плоскость y0х;
– угол между осью 0z и отрезком 0M – полярный угол.
T
Формулы, связывающие декартовы координаты со сферическими, имеют вид
,,r TM), где r – расстоя-
36
sin cosxr T M
; sin sinyr T M; coszr T
и, с другой стороны,
z
M S
Сферические координаты изменя-
ются в следующих пределах:
02;dTd S
При использовании сферической системы координат математическое описание задачи существенно упрощается, если рассмотрению подлежит осесимметричное движение среды. Движение называется осесимметричным, если существует такая ось, относительно
которой в плоскости, перпендикулярной к ней, параметры движения (скорость, давление и т.д.) не зависят от азимутального угла
а зависят только от расстояния до оси симметрии. Из этого следует,
что для осесимметричного движения
arccos
T
arctg , 0,
222
rxyz ,
z
222
xyz
!!
0, 0 0,
x
°
®
y
°
2, 0 0.
S!
¯
xy
если и
x
если
xy
если и
02.dMd S
(3.4)
,
0;rdf
x
Рис. 3.1. Сферическая
0wM
и 0
M
θ
r
0
φ
′
M
система координат
wpww
, т.е. чис-
y
M,
wM wM
ло независимых переменных, подлежащих определению, сокращается на один и в оставшихся уравнениях исчезают слагаемые, связанные с изменением искомых величин по координате
M.
3.3. Сокращение числа определяемых величин
Другим эффективным методом упрощения исходной математической модели является сокращение числа определяемых величин.
Например, если дисперсный поток движется со скоростью, существенно меньшей, чем скорость звука, а температура фаз в пространстве и во времени меняется незначительно, то фазы такого потока
можно считать несжимаемыми и из числа определяемых величин
исключается плотность. При этом из системы основных уравнений
исключается уравнение энергии (2.16), а уравнения неразрывности
(2.14) и Навье – Стокса (2.15) записываются в простейшей форме:
37
JJG
G
div 0
w
i
dw
;
G
i
Q
dt
1
Kpw
iiii
grad .
U
i
G
2
(3.5)
Наибольший эффект при сокращении числа определяемых величин даёт замена векторной величины скалярной функцией. Такую
операцию производят при определении вектора скорости. При этом
вместо трёх независимых переменных проекций вектора скорости,
определяют только одну, зная которую в дальнейшем рассчитывают
значения искомых проекций вектора скорости по известным формулам. В результате описанной замены система основных уравнений в
модели сокращается на два уравнения. Чаще всего для замены вектора скорости используют одну из двух скалярных функций – функцию тока либо потенциал скорости. Первую из них, функцию тока,
применяют при исследовании плоского или пространственного осесимметричного движения, когда скорость является функцией двух
координат. Вторую, потенциал скорости – при исследовании и плоского, и пространственного, но безвихревого движения.
Ознакомимся с методикой применения функции тока на простейшем примере – установившемся плоском движении несжимаемой жидкости.
Движение называется плоским, если существует такая плоскость,
относительно которой все частицы потока двигаются параллельно
ей, а на произвольной прямой, нормальной к этой плоскости, значения скорости и давления во всех точках одинаковы.
Выберем декартову систему координат таким образом, чтобы координатная плоскость (x0y) являлась такой плоскостью, тогда относительно этой системы координат проекция вектора скорости на
ось 0z равняется нулю. Нулю равны также изменения вдоль оси 0z
остальных характеристик движения, т.е.:
, wy ,wz – проекции вектора скорости wG на оси прямоугольной
где w
x
w
z
w
0
; 0
zzzz
wwww
x
z
p
w
y
, (3.6)
w
w
w
w
w
системы координат.
Для определения поля скоростей этого движения введём в рассмотрение скалярную функцию
(, )xy\ . Явный вид этой функции
предстоит определить в ходе решения гидродинамической задачи
движения. Пока же сформулируем свойства и определим физиче-
38
ский смысл функции (, )xy\ . С этой целью воспользуемся уравне-
нием неразрывности (2.14а). Для установившегося плоского движения несжимаемой жидкости оно записывается в следующей форме:
w
div 0.
Исходя из (3.7), подберём функцию
она удовлетворяла этому уравнению и была связана с проекциями
скорости w
и wy равенствами
x
w
Такая функция для рассматриваемого движения всегда существует и имеет простой физический смысл. Напишем дифференциальное уравнение линий тока для плоского движения, т.е. таких линий,
в каждой точке которых скорость в данный момент направлена по
касательной к ним. Это уравнение имеет вид
w\
x
w
ww
y
w
G
w
w
w
y
x
xy
\(x, y) таким образом, чтобы
y
w\
w
.
w
;
(3.7)
(3.8)
x
Подставим в (3.9) значения проекций скорости по (3.8), тогда будем иметь
dx dy
Левая часть уравнения (3.10) представляет собой полный дифференциал функции
Из (3.11) следует, что функция
чение вдоль линий тока. Семейство линий уравнения (3.11) представляет совокупность линий тока. В связи с этим функция
называется функцией тока. Можно доказать, что разность значений
функций тока в двух каких-нибудь сечениях потока равна секундному объёмному расходу сквозь сечение трубки тока, ограниченной
линиями тока, проходящими через выбранные сечения.
Очевидно, что для нестационарного плоского течения уравнение
функции тока будет иметь вид
w\ w w\ w
//
yx
\(x, y), т.е. 0.d \ Следовательно:
dx dy
.
ww
xy
или
(3.9)
w\ w\
ww
xy
(3.10)
0.dx dy
(, ) .xy C\ (3.11)
\(x,y) сохраняет постоянное зна-
\(x,y)
39
)
Для пространственного осесимметричного движения вид функции тока зависит от системы координат, используемой для описания
движения.
Если используется сферическая система координат
торой течение симметрично относительно оси
разрывности для несжимаемой жидкости будет иметь вид
2
(sin)
rw
wT
Из (3.13) следует, что выражение
является полным дифференциалом скалярной функции
2
sin sin .
rwdrwdrd
TTT \
r
( , , ) const .xyt\
(sin)
rw
r
wwT
r
w
r
w
T
w T
T
1
2
sin
T
r
1
sin
Tw
rr
(3.12)
(, ,)r MT , в ко-
M, то уравнение не-
T
2
sin sin
rwdrwdr
TTT
(3.13)
0.
r
T
(, )r\T, т.е.
Отсюда:
w\
½
,
°
°
wT
w\
¾
°
.
°
¿
(3.14)
(, )wrT
(, )r\T,
.
Таким образом, определив в явном виде значение функции
можно рассчитать значения проекций вектора скорости
Перейдём далее к знакомству с методикой применения функции
потенциала скорости. Напомним, что функция потенциала скорости используется при исследовании безвихревого движения. Безвихревое (или потенциальное) движение среды возможно, если в
ней отсутствуют или исчезающе малы силы внутреннего трения и в
начальный момент времени во всех точках движущейся среды вихрь
скорости равен нулю. Последнее условие записывается следующим
образом:
G
rot 0w
Если для потока выполняется условие (3.15), то существует скалярная функция
40
M, градиент которой равен вектору скорости потока:
при 0t t . (3.15)
G
grad .w M
(3.16)
G
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]