Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии и материаловедения гидродинамика и массообмен в многофазных системах металлургии. Учебное пособие
.pdf
Если двухфазный поток рассматривается как псевдогомогенный
(внешняя задача), то его скорость определяется как сумма приведённых скоростей фаз, составляющих этот поток:
V
cм
www
Эффективная плотность двухфазного потока определяется следующим образом. Запишем уравнение массового расхода смеси:
Использовав формулу (2.2), перепишем последнее выражение в
следующем виде:
см д с
SS
MVVV U U U
см см см д д c с
VV
дc
.
(2.9)
. (2.10)
откуда
Динамический коэффициент вязкости двухфазного потока зависит от концентрации в нём дисперсной фазы и её вида, определяется
по эмпирическим формулам. Для суспензий (системы твёрдые частицы–жидкость):
– при объёмной концентрации дисперсной фазы N 10 %
где
P
– динамический коэффициент вязкости сплошной фазы, Па·с;
с
– при объёмной концентрации дисперсной фазы 10 Nd 30 %
Для несмешивающихся нормальных жидкостей (система шлак–
металл) в соответствии со свойствами аддитивности компонентов
смеси динамический коэффициент вязкости смеси определяется по
формуле
где N и (1 – N) – объёмные доли компонентов в смеси.
см см д см c см
см д c
P P N, (2.12)
см с
P P
см с
PPP
(1 2, 5 )
0,77
11
NN
см д с
(1 ) ,VV VU U NUN
(1 ) .U UNUN
0,59
N
(2.11)
. (2.13а)
2
, (2.13б)
21
2.2. Основные уравнения теплофизических процессов
в двухфазных системах
При решении задач теплофизики многофазных систем сначала
описывается состояние каждой из взаимодействующих фаз, которые
рассматриваются как гомогенные среды. Затем в условиях однозначности описываются взаимодействия фаз на межфазных границах.
При этом математическая модель всегда составляется для физически бесконечно малого объёма. Для многофазных систем бесконечно
малым называется объём, линейные размеры которого много меньше
масштаба изменения параметров рассматриваемой системы. В то же
время в указанном объёме находится достаточно большое количество
частиц каждой фазы, так что их выход из элементарного объёма или
попадания в него новых частиц не сказывается на значении осреднённых
по объёму параметров каждой из фаз.
Состояние любой движущейся среды полностью определено,
если заданы вектор её скорости и две скалярные величины – давление и плотность, как функции координат и времени:
G
(, ,,);wxyzt
(, ,,);pxyzt (, ,,)xyztU . Зная давление и плотность из уравнений со-
стояния и закона сохранения массы можно определить температуру и концентрацию целевого компонента в описываемой фазе, как
функции координат и времени. Таким образом, определению подлежат пять скалярных величин: три проекции вектора скорости, давление и плотность. Поэтому в общем случае в математическую модель
теплофизических процессов дисперсной системы должны входить
пять независимых скалярных уравнений, записанных для каждой из
взаимодействующих фаз. Они представляют собой систему основных уравнений и выражают, обычно, законы сохранения массы, импульса и энергии.
В наиболее общем виде эти уравнения записываются следующим
образом.
Закон сохранения массы:
– при отсутствии диффузии целевого компонента и химической
реакции между фазами:
U
d
– при наличии конвективной диффузии целевого компонента, но
отсутствии химической реакции между фазами:
22
U
dt
G
div( ) 0
w
; (2.14а)
U
d
– при наличии конвективной диффузии и химической реакции
между фазами:
U
dt
G
div( ) 0
w
; (2.14б)
dC
i
где C
и
D
– концентрация и коэффициент молекулярной диффу-
i
i
зии i-го компонента;
m
– величина, характеризующая вклад химической реакции в
i
изменение массы i-го компонента системы.
Закон сохранения импульса:
G
w
w
Закон сохранения энергии:
GG G G
grad grad grad div .
wwk p w w
Q
t
wU
w
Для неподвижной и несжимаемой среды уравнение (2.16) заменя-
ется уравнением Фурье:
wU
G
T
G
wT T
O
tc
dt
11
grad div( grad ).
T
w
w
t
2
DC
ii
;
(2.14в)
ªº
«»
¬¼
1
2
aT
. (2.17)
2
3
(2.16)
2.3. Условия однозначности
(2.15)
Для системы основных уравнений (2.14) – (2.17) сформулируем
условия однозначности. Как известно, условия однозначности подразделяются на несколько групп: геометрические условия однозначности, физические условия однозначности и т.д. Наибольший интерес и затруднения при формулировании условий однозначности
представляют граничные и начальные условия. Остановимся здесь
на составлении именно этих условий. При этом необходимо учесть,
что на характер межфазных взаимодействий оказывает влияние
агрегатное состояние взаимодействующих сред. Сформулируем граничные условия сначала для процесса движения, а затем – для процесса тепломассообмена.
23
2.3.1. Движение многофазной системы
2.3.1.1. Твёрдые частицы в потоке жидкости или газа
При движении многофазной среды в ограниченном пространстве (в трубе или в рабочем пространстве печи), необходимо задать
граничные условия на межфазных границах внутри потока и на внутренней поверхности стенки трубы или печи. Например, при движении пылегазового потока в трубе вектор его скорости на внутренней
поверхности трубы обращается в нуль:
G
0,w
0
(2.18)
с
– радиус трубы, м.
где R
0
при y = R
При этом тангенциальная составляющая скорости потока обращается в нуль из-за условия прилипания потока к стенке, а нормальная составляющая – из-за условия непроницаемости стенки
трубы. Граничные условия на поверхности твёрдых частиц внутри
потока зависят от системы координат, относительно которой рассматривается движение фаз. Относительно системы координат,
неподвижной в пространстве, тангенциальная составляющая скорости сплошной среды, омывающей частицу, равна скорости частички согласно условию прилипания. Нормальная составляющая
при этом, согласно условию непроницаемости, равна проекции
вектора скорости частицы в соответствующем направлении, взятой с обратным знаком. Очень часто начало координат помещают
в центр частицы и тогда система координат оказывается подвижной
и в своём движении повторяет путь частички, в которую она помещена. При этом сама частичка относительно такой системы координат оказывается неподвижной. Тангенциальная составляющая
скорости сплошной среды на её поверхности в указанной системе
координат равна нулю согласно условию прилипания, а нормальная
составляющая скорости сплошной среды обращается в нуль согласно условию непроницаемости.
Эффект прилипания используется при составлении граничных
условий для движения реальной жидкости вдоль твёрдой поверхности. При омывании частицы идеальной жидкостью в условиях
однозначности используется только свойство непроницаемости,
согласно которому в неподвижной системе координат скорости
омывающей среды и самой частицы в направлении нормали к по-
24
верхности частицы равны. Применительно к системе координат,
помещенной в центр частицы, это условие выражается уравнением
н
где
w – нормальная к поверхности составляющая вектора скоро-
с
при y =
н
r 0,w
с
0
(2.19)
сти потока, омывающего частицу, м/с;
r
– характерный размер частицы, м.
0
2.3.1.2. Пузыри и капли в потоке жидкости или газа
Если в сплошной среде находятся пузырьки газа или капельки
жидкости, то граничные условия на их поверхности формулируются
следующим образом.
В отличие от твёрдых тел, поверхностные микрочастички которых неподвижны из-за действия сил трения покоя, микрочастички
жидкостей и газов на поверхности капель и пузырьков подвижны.
В связи с этим особенность обтекания пузырей и капель сплошной
средой заключается в том, что на их поверхности тангенциальные
составляющие скоростей фаз не обращаются в нуль и равны между
собой, т.е. отсутствует эффект проскальзывания. В граничных условиях это обстоятельство записывается следующим образом:
тт
где
при y = r
т
т
и
w
w
– тангенциальные составляющие скоростей фаз.
д
с
0
,ww
сд
(2.20)
Условие (2.20) справедливо как для подвижной, так и для неподвижной системы координат.
Несмотря на подвижность среды на поверхности пузырьков и
капель, межфазная граница между дисперсной частицей и окружающим её потоком всегда существует. Это связано с действием сил
поверхностного натяжения. Поэтому в случае отсутствия фазовых
переходов на межфазной границе нормальные составляющие скоростей взаимодействующих фаз в подвижной системе координат обращаются в нуль:
при y = r
нн
0.ww
сд
0
(2.21)
25
А для неподвижной системы координат – в каждой точке межфаз-
ной поверхности эти составляющие скорости равны между собой:
при y = r
нн
сд
0
.ww
(2.21а)
В случае наличия межфазного массообмена граничные условия
(2.21) и (2.21а) изменяются. Обозначим через
m , кг/(м
s
2
·с), плотность потока массы через межфазную границу, связанного с фазными превращениями (например, испарение капли мазута, летящей в
высокотемпературном потоке продуктов его сгорания). Тогда получим следующие зависимости:
m
н
при y = r
0
w
s
w
с
и .
U
c
m
н
д
s
(2.22)
U
д
Если сплошная среда (несущий поток) занимает неограниченное
пространство, то в условиях однозначности, помимо закона изменения параметров движения на поверхности дисперсной частицы необходимо задать их значения на бесконечном удалении от частицы.
Обычно их задают в следующем виде:
JG JG
½
,ww
°
f
при y
pp
¾
°
f
¿
Условие (2.23) справедливо для той части потока, которая находится за пределами внешнего гидродинамического пограничного
слоя, окружающего дисперсную частицу. При описании движения
среды внутри пузыря или капли за пределами внутреннего пограничного слоя в граничных условиях задаются параметры движения
этой среды в центре частицы. В самом общем случае они выражают
тот факт, что скорость и давление в центре пузыря или капли должны быть конечными величинами:
of
. (2.23)
,pwf
½
°
JG
при y = 0. (2.24)
¾
f
°
¿
Если движение дисперсного потока является нестационарным, в
условиях однозначности помимо граничных необходимо сформулировать ещё и начальные условия. Условия, характеризующие значения скорости, давления, плотности и температуры в начальный момент времени, задаются для каждой фазы следующими уравнениями:
26
JJGJJJG
,,, ,, ,
wxyzt w xyz
ii
,,, ,, ,
pxyzt p xyz
ii
,,, ,, ,
xyzt xyz
U U
где через i обозначается фаза (сплошная или дисперсная), для кото-
рой записываются уравнения системы (2.25).
Когда в рассматриваемых процессах имеет место перенос теплоты или массы примеси, в системе основных уравнений появляются
уравнения (2.16) или (2.17), а уравнение (2.14) записывается либо в
виде (2.14б), либо (2.14в). Для работы с такой системой уравнений
необходимо сформулировать дополнительные условия однозначности, характеризующие процессы тепломассообмена на межфазной
границе и на стенке аппарата.
Рассмотрим перенос теплоты при обтекании твёрдой частицы потоком. Перенос теплоты в неограниченном потоке осуществляется
главным образом конвекцией. При этом плотность теплового потока
складывается из теплоты, переносимой чисто конвективным механизмом, и теплоты, переносимой чисто молекулярным механизмом:
G
c
на по мере приближения к межфазной границе уменьшается скорость сплошной среды и соответственно роль чисто конвективного
переноса, а роль теплопроводности возрастает. Очевидно, вблизи
поверхности дисперсной частицы существует зона некоторой толщины, в которой потоки теплоты, обусловленные конвекцией и теплопроводностью, сравнимы по величине. Поскольку коэффициент
теплопроводности сплошных сред обычно величина небольшая, то
для этого необходимо, в соответствии с постулатом Фурье, чтобы
градиент температур в этой зоне был достаточно большим. Отсюда
следует, что в рассматриваемой зоне температура сплошной среды
должна резко изменяться в направлении, перпендикулярном поверхности частицы. Эта зона вблизи межфазной границы по аналогии с гидродинамическим пограничным слоем называется тепловым
G
ccc c c
ii
,,, ,, ,
Txyzt T xyz
ii
,,, ,,
Cxyzt C xyz
ii
2.3.2. Тепломассообмен в многофазной системе
grad .qwi T U O
0
0
0
0
0
При установившемся режиме теплообме-
½
°
°
°
при t = 0,
¾
°
°
°
¿
(2.25)
27
или температурным пограничным слоем. Таким образом, наиболее
существенное изменение температуры при межфазном теплообмене
происходит в пределах теплового пограничного слоя, в то время как
за его пределами температура почти не меняется. Уравнение энергии
(2.16) в этом случае описывает перенос теплоты в пределах теплового пограничного слоя. При установившемся режиме теплообмена
Ttw
§·
¨¸
w
©¹
и отсутствии химической реакции оно приобретает следу-
0
ющий вид:
TT T
www
сс с
wwa
xy
ww
xy
2
.
с
(2.26)
2
w
y
Сформулируем граничные условия для уравнения (2.26):
T
w
c
O D
с
w
y
2
T
w
c
aa
cд
22
yy
ww
TTT
cд
TT
w
w
2
w
½
,
f
°
°
°
T
°
д
,
при y = r0; (2.27)
¾
°
°
°
°
¿
TT
при у
c
const
f
of
(2.28)
.
В системе (2.27) первое уравнение называется дифференциальным уравнением теплоотдачи и выражает ту мысль, что при установившемся режиме теплообмена плотность теплового потока, переносимая от невозмущённого потока на поверхность дисперсной
частицы, равна плотности теплового потока, переносимого в тепловом пограничном слое теплопроводностью. В этом уравнении через
T обозначена температура границы раздела фаз, а через
w
T
– тем-
f
пература омывающей среды за пределами теплового пограничного
слоя. Второе уравнение системы (2.27) указывает на то, что в условиях стационарного режима конвективного теплообмена плотность теплового потока, подводимого от невозмущённого потока к межфазной границе, равна плотности теплового потока, отводимого от неё
во внутрь дисперсной частицы. Последнее уравнение системы (2.27)
является следствием условия неразрывности, согласно которому
температуры фаз, контактирующих на межфазной границе, равны
28
между собой. Уравнение (2.28) определяет значение температуры
сплошной среды на внешней границе теплового пограничного слоя.
Она равна температуре невозмущенного потока, что также является
следствием условия неразрывности.
2.3.3. Массообмен в многофазной системе
Рассуждения, аналогичные изложенным выше, приводят нас к
понятию диффузионного пограничного слоя при рассмотрении процессов массообмена. Очевидно, в движущемся неограниченном потоке перенос массы целевого компонента происходит в основном за
счёт конвективной диффузии:
GG
mwCDC U
iiii
сс
grad .
В пределах диффузионного пограничного слоя концентрация
этого компонента резко изменяется по нормали к межфазной границе, в результате чего соответствующим образом увеличивается поток
массы целевого компонента, переносимого за счёт молекулярной
диффузии. Одновременно уменьшается поток массы, переносимый
за счёт конвекции, что связано с уменьшением скорости омывающей среды в непосредственной близости от межфазной границы. В
случае установившегося режима конвективной диффузии и отсутствия химической реакции в пределах диффузионного пограничного
Ctw
§·
слоя
i
процесс переноса массы в этой зоне описывается
0
¨¸
w
©¹
следующим уравнением, являющимся частным случаем уравнения
(2.14б):
CC C
www
– концентрация целевого компонента в пределах диффузион-
где C
i
wwD
ного пограничного слоя, кг/м
D
– коэффициент молекулярной диффузии целевого компо-
i
нента в несущей среде, м
ii i
xyi
ww
xy
3
;
2
/с.
2
, (2.29)
2
w
y
Сформулируем граничные условия для уравнения (2.29).
В соответствии с гипотезой о сплошности среды, омывающей
дисперсную фазу, функция
,
Cxy на внешней границе диффузи-
i
29
онного пограничного слоя не имеет разрыва, т.е. концентрация целевого компонента на этой границе равна его концентрации в невозмущённом потоке (при
y of). Следовательно, одним из граничных
условий будет
при
y of
, const
Cxy C
ii
. (2.30)
f
Чаще всего в качестве второго граничного условия к уравнению
(2.29) записывается уравнение, аналогичное по смыслу первому
уравнению системы (2.27):
C
w
где
E – коэффициент массоотдачи, м/с;
C
– равновесная концентрация целевого компонента на границе
is
при y = r
DCC
0
i
E
iisi
y
w
, (2.31)
f
раздела фаз.
Во всех моделях массообмена, как не осложненных, так и осложненных химической реакцией, принимается, что на межфазной границе имеет место фазовое равновесие.
Уравнение (2.31) называется дифференциальным уравнением
массоотдачи и при стационарном режиме массоотдачи выражает равенство плотности потока массы целевого компонента, передаваемого конвективной диффузией, плотности потока массы этого компонента, переносимого в пределах диффузионного пограничного
слоя молекулярной диффузией.
При протекании на межфазной границе химической реакции,
в которой участвует целевой компонент, уравнение (2.31) удобно
представить в следующем виде:
w
C
при
m
где
– плотность потока массы целевого компонента, подводимого
1
yr
0
к межфазной границе за счёт диффузионных процессов, кг/(м
m – плотность потока массы того же компонента, которая
2
i
Dmm
i
w
y
, (2.32)
12
2
·с);
образуется (или расходуется) непосредственно на межфазной
границе в результате химической реакции, кг/(м
2
·с).
Процессы массообмена, сопровождаемые химической реакцией, в зависимости от скорости реакции могут протекать в различных
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]