Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии и материаловедения гидродинамика и массообмен в многофазных системах металлургии. Учебное пособие
.pdf
Функция
ние семейства изопотенциальных поверхностей имеет вид
(, ,,)xyztM
называется потенциалом скорости. Уравне-
причем время рассматривается как аргумент функции для нестационарного движения и выпадает из числа аргументов для стационарного движения.
Из (3.16) следует, что в прямоугольной системе координат проек-
ции вектора скорости безвихревого течения связаны с функцией
(, ,,)xyztM
Подставляя в уравнение неразрывности
екции вектора скорости, выраженные через потенциал скорости
(уравнение (3.18)) получим соотношение
называемое уравнением Лапласа.
Решив уравнение Лапласа и определив функцию потенциала скорости, можно с помощью формул (3.18) найти все три проекции вектора скорости.
Сопоставив выражения проекций вектора скорости через потенциал скорости, которые в случае плоского движения сводятся к системе двух равенств
формулами
w
222
wM wM wM
xyz
www
( , , , ) constxyztM , (3.17)
wM
;
x
x
w
222
wM
w
y
y
w
0
;
или
wM
(3.18)
w
w
w
w
w
www
xyz
2
y
x
0,M
w
w
z
0
про-
(3.19)
wM
w
и выражения тех же проекций через функцию тока
ходим к следующей системе уравнений:
wM w\
xy
ww
;
x
x
w
wM
w
y
wM w\
yx
ww
,
y
w
.
(3.20)
(, )xy\ (3.8) при-
(3.21)
41
Из (3.21) следует, в частности, что векторы grad M и
но перпендикулярны, т.е. изопотенциальные линии и линии тока в
любой точке плоскости течения взаимно перпендикулярны.
В заключение отметим, что в сферической системе координат
при осесимметричном течении проекции скорости следующим образом выражаются через функцию потенциала скорости:
wM
½
w
Приведённые выше методы упрощения математической модели,
разумеется, не исчерпывают все возможные случаи, однако они наглядно демонстрируют плодотворность творческого, сознательного
подхода к формулированию допущений при составлении математической модели изучаемого объекта.
w
,
r
T
°
°
r
w
1
r
(3.22)
¾
wM
°
.
°
wT
¿
grad\
взаим-
Вопросы для самоконтроля
1. В чём сущность метода постановки предельной задачи?
2. Изложите возможные способы упрощения исходной математи-
ческой модели движения сплошной среды.
3. Каким образом упрощается математическая модель теплофизических процессов, протекающих в дисперсной системе, при использовании системы сферических координат?
4. Обоснуйте целесообразность применения вспомогательных
скалярных функций при решении гидродинамических задач многофазных систем.
5. Поясните физический смысл функции тока. При описании каких течений целесообразно использовать функцию тока?
6. В каких случаях при описании течения сплошной среды целесообразно использовать функцию потенциала скорости?
7. Известно, что в общем случае математическая модель движения гомогенной среды содержит пять главных уравнений. Сведите
эту модель к одному главному уравнению при плоском движении
несжимаемой жидкости.
42
4. РЕШЕНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ
Как отмечалось ранее, математические модели теплофизических
процессов, протекающих в многофазных системах металлургии,
очень сложны и громоздки и в настоящее время большинство из них
не имеют аналитического решения. В связи с этим на стадии создания математической модели необходимо стараться предельно упростить её. В задачах, связанных с рассмотрением процессов движения
многофазной системы и межфазного тепломассообмена, для этого
используется теория пограничного слоя. Применительно к гидродинамическим задачам теория гидродинамического пограничного слоя
была предложена немецким физиком Л. Прандтлем и базируется на
ясных физических посылах. Согласно этой теории движущийся поток вдали от поверхностей, ограничивающих пространство, в котором он движется, или препятствующих его движению, за счёт интенсивных пульсаций энергично перемешивается и в связи с этим
скорость по сечению потока в этих областях постоянна, а, следовательно, в нём не действует сила вязкого трения, т.е. движение происходит по законам идеальной жидкости. Сила вязкого трения возникает в той части потока, которая располагается в непосредственной
близости от ограничивающих поверхностей или преград. Здесь на поверхности преград происходит либо полная остановка (прилипание)
частиц потока, либо их резкое торможение. Эффект торможения потока распространяется вдоль поверхности преграды и углубляется в
поток, формируя градиент скорости в направлении нормали к поверхности преграды. Область течения, в которой наблюдается градиент скорости, называется гидродинамическим пограничным слоем.
Движение в пределах гидродинамического пограничного слоя необходимо рассматривать как движение реальной жидкости, с учётом
действия силы вязкого трения, а движение остальной части потока –
как идеальной. При составлении математической модели движения
среды в гидродинамическом пограничном слое принято принципиальное допущение о том, что толщина этого слоя всегда существенно
меньше, чем размеры стенки или преграды, которую омывает поток.
Это допущение позволяет рассматривать движение в пограничном
слое как плоское (двумерное), а не пространственное. Кроме того,
так как толщина гидродинамического пограничного слоя принята
малой величиной, движение в нём можно считать потенциальным и
объединить в уравнении Навье – Стокса массовую плотность силы
43
тяжести с массовой плотностью силы давления. Всё это существенно
упрощает математическую модель как структурно, так и по количеству уравнений, входящих в неё. Аналогичным образом при решении
задач тепломассообмена в многофазной системе в рассмотрение вводятся понятия теплового и диффузионного пограничных слоёв. Более детально эти вопросы будут рассмотрены ниже.
4.1. Гидродинамика многофазных систем
4.1.1. Обтекание твёрдой сферической частицы потоком
идеальной несжимаемой жидкости (Re >> 1)
Рассмотрению подлежит наиболее простой, не реализуемый на
практике случай обтекания твёрдого шарика потоком идеальной
жидкости. Его рассмотрение целесообразно, так как позволяет сосредоточить внимание на ряде очень важных вопросов.
Очевидно, в данном случае невозможно применить теорию пограничного слоя и система главных уравнений в математической модели заключает в себе три проекции уравнения Эйлера и уравнение
неразрывности. Граничные условия формулируются на основании
анализа гидродинамических процессов, протекающих на поверхности шарика и вдали от него в невозмущённом потоке.
Для того чтобы избежать необходимости решать три нелинейных
дифференциальных уравнения в частных производных, вводим в
рассмотрение функцию потенциала скорости. Приступим к формулированию и решению поставленной задачи.
Шарик радиусом
Предполагаем, что движение жидкости безвихревое (жидкость идеальная) и осесимметричное. В этом случае направление вектора ско-
рости шара
G
совпадают (или противоположны).
w
f
G
и скорости жидкости на бесконечности (при y of)
u
Введём в рассмотрение декартову систему координат (x, y, z) так,
чтобы начало системы координат совпало с центром шарика, а его
скорость оказалась направлена вдоль оси 0z. Так как течение безвихревое, решение задачи о поле скорости жидкости, обтекающей сферу, сводится к нахождению потенциала скорости j, который определяется уравнением Лапласа
r движется в безграничной жидкости (рис. 4.1).
0
44
2
0M . (4.1)
z
u
u
n
θ
u
0
r
0
x
w
∞
y
Рис. 4.1. Обтекание сферы идеальной жидкостью
Граничные условия на поверхности сферы
при
G
где
– внешняя нормаль к поверхности шара;
n
u – проекция скорости шара на внешнюю нормаль.
n
rr
wM
0
w
, (4.2)
u
n
n
Граничные условия на бесконечности
при
ofr
wM
w
x
wM
,
0
y
w
wM
и
0
z
w
. (4.3)
w
f
В рассматриваемой задаче удобно использовать сферическую систему координат
циал скорости не зависит от азимутального угла
,,TEr . Вследствие осевой симметрии течения потен-
E , т.е.
,M M Tr .
Поэтому уравнение Лапласа в сферической системе координат принимает вид
wwMwwM
§·§·
r
¨¸¨¸
rr
w w wT wT
©¹©¹
Составляющие вектора
2
sin sin 0.
T T
JG
w
, направленного вдоль оси 0z, в сфе-
f
(4.4)
рической системе координат (угол T отсчитывается от оси 0z) равны
ww
f
r
T
ww
Tf
sin .
½
¾
¿
45
cos ,
T
Следовательно, граничные условия (4.2) и (4.3) можно записать в
виде
wM
T
uun при
n
w
cos
rr , (4.5)
0
wM
T
ww
r
w
r
1
T
ww
Tf
r
wM
wT
cos
f
sin
½
°
°
¾
°
°
¿
при
. (4.6)
r of
Таким образом, необходимо найти решение уравнения (4.4),
удовлетворяющее граничным условиям (4.5) и (4.6). На основании
вида уравнения и граничных условий можно представить искомую
функцию в виде произведения двух функций:
Подставляя (4.7) в (4.4), получаем для
, cos .MT 3 Trr
(4.7)
3 r обыкновенное диф-
ференциальное уравнение
Полагая, что
dd
dr dr
3 kr , имеем для определения k следующее ква-
3
§·
2
3
r
¨¸
©¹
20
. (4.8)
дратное уравнение:
Корни этого уравнения
120 kk . (4.9)
1; 2 .kk
12
Следовательно, общее решение (4.8) имеет вид
3
rCr
где С
и С2 – произвольные постоянные.
1
Используя (4.10), получаем из (4.7):
Постоянные С
wM
r
46
w
и С2 найдём из граничных условий. Так как
1
2
§·
C
T
1
¨¸
©¹
§·
M T
Cr
1
¨¸
©¹
C
2
3
r
cos
, а
C
2
1
C
r
wM
wT
, (4.10)
2
r
2
2
T
(4.11)
cos .
§·
Cr
1
¨¸
©¹
C
2
sin
2
r
,
то
при
r of
wM
T
1
r
w
1
wM
;
cosC
T
r
wT
1
. (4.12)
sinC
Сравнивая (4.12) с (4.6), находим, что
ное значение
C в выражение для
1
wM
при
rr
0
w
wM
wr
§·
T
w
¨¸
f
r
©¹
Из (4.5) и (4.13) находим для константы
wu
3
Cr
20
f
при r = r0, получаем
2
Cw. Подставляя найден-
1 f
2
C
2
3
r
0
C выражение
.
cos
(4.13)
2
. (4.14)
Таким образом, потенциал скорости имеет вид
§·
, cos .
MT T
rwr
¨¸
©¹
f
wu
f
2
Если жидкость на бесконечности покоится, то
3
r
0
2
r
(4.15)
0f w и выраже-
ние для потенциала скорости принимает вид
3
ru
Если шарик неподвижен, то
0
M T
2
2
r
. (4.16)
cos
0 u , и для потенциала скорости бу-
дем иметь выражение
§·
wr
M T
¨¸
f
©¹
3
r
0
cos .
2
r
2
(4.17)
Найдём распределение скоростей на поверхности шара. Из (4.17)
имеем
3
§·
ww
Tf
wM
ww
T
r
wM
1
T
r
wT
f
w
r
r
0
1cos
¨¸
3
r
©¹
§·
¨¸
©¹
3
r
0
1sin
r
2
(4.18)
,
3
.
На поверхности сферы
при
rr
w
r
0
0;
ww
3
T
Tf
2
. (4.19)
sin
47
На рис. 4.2 и 4.3 представлены распределения линий тока, омывающей шарик жидкости, при условии, когда шарик неподвижен и жидкость его омывает (см. рис. 4.2) и
когда шарик движется в неподвижной жидкости (см. рис. 4.3).
Точки А и В на поверхности шара, в
0T
T S
которых
и
ческими. В этих точках
, являются крити-
0. JGw Макси-
мальное значение вектора скорости на
3
§·
¨¸
©¹
32S
.
ff
с
достигается
w
f
2
22
(4.20)
.
2
Рис. 4.2. Обтекание
сферы идеальной
несжимае мой
жидкостью
поверхности шара
при
T
Распределение давления на поверхности
шара получим, используя теорему Бернулли:
2
w
pp
U U
сс
f
22
2
w
f
S
и
T
2
pp w w
или
U
Подставляя (4.19) в (4.20), находим распределение давления на
поверхности шара:
pp w
при
rr sin
0
U
c
2
9
ff
§·
1
T
¨¸
24
©¹
2
. (4.21)
Из этой формулы следует, что распределение давления сим-
метрично относительно плоскостей
22 2
sin sin sin 2T ST ST ). В связи с этим главный вектор
0;T
S
, (так как
T
2
сил давления, действующих на шар со стороны жидкости, равен
нулю, чего, естественно, быть не может. Этот результат известен, как
парадокс Даламбера для шара, обтекаемого потенциальным потоком
идеальной несжимаемой жидкости. В действительности при движении шара с постоянной скоростью безотрывное потенциальное движение жидкости вокруг шара не сохраняется. С поверхности шара
сходят вихри, и продольная симметрия линий тока нарушается. В результате появляется асимметрия в распределении давления, что приводит к возникновению силы сопротивления, действующей на шар.
В некоторых случаях можно наблюдать парадокс Даламбера. Напри-
48
мер, если шар начинает двигаться из
состояния покоя в неподвижной жидкости, то в моменты времени, близкие
к началу движения, наблюдается продольная симметрия линий тока. Течение
жидкости приближённо можно считать
потенциальным также, если шар совершает колебательные движения относительно стационарного среднего положения, причём амплитуда колебаний мала
по сравнению с диаметром шара. В этих
случаях на шар также не действует сила
сопротивления со стороны жидкости.
Вычислим кинетическую энергию
жидкости, обусловленную движением в
ней сферической частицы. Пусть жидкость на бесконечности покоится. Воспользуемся следующей формулой для
кинетической энергии жидкости:
Рис. 4.3. Движение
среды в идеальной
жидкости
EdS
кин с
На поверхности шара при
1
U M
2
rr
Следовательно,
S
U S
Erd
кин c
c
TSTT U
232
ru r u
00
43
22
(cos 2 sin ) .
³
0
Рассмотрим случай, когда шар движется в жидкости с переменной скоростью под действием некоторой силы
wM
§·
¨¸
³
w
©¹
M T и
0
0
(4.22)
.
n
ru
0
2
cos
JG
F
wM
r
w
(4.23)
.
Тогда полная кинетическая энергия системы, образованной шаром и жидкостью, вовлечённой в движение, равна
где
S Umr
m
– масса шара.
1
0,5 , EE mmu
кин кин
2
3
– присоединённая к шару масса жидкости;
c
0
3
11
2
(4.24)
.
ùu
49
Следует отметить, что присоединённая к шару масса жидкости не
равна массе жидкости, которую шар вытесняет, проходя через слой.
Масса жидкости, вытесненной шаром, равна
4
S Umr
Следовательно, движение шара в невязкой жидкости происходит
так же, как если бы жидкость отсутствовала, но масса шара увеличилась на величину, равную половине массы вытесненной жидкости.
С помощью закона сохранения энергии из (4.24) получим
00
3
.
3
c
GGJGG
или
m m udu Fudt
1
GG
JG
du du
mFm
1
dt dt
,
(4.25)
JG
F
где
– это внешняя сила, действующая на шар.
Если на жидкость и шар действует сила тяжести, то со стороны
жидкости на шар кроме силы
сила, направленная вертикально вверх и равная весу жидкости, вытесненной им. Тогда уравнение движения сферы под действием силы
JG
F
при условии, что движение жидкости безвихревое, имеет вид
Если на шар действует только сила тяжести, то из (4.26) находим
GG
JG JGJG
du du
mF mgmg
110
dt dt
du
Эта формула справедлива для моментов времени, близких к началу движения, если шар начинает двигаться из состояния покоя в неподвижной жидкости. Как следует из (4.27), при
мало влияет на начальное ускорение шара. При
получим
JG
F
будет действовать выталкивающая
m
0
2
G
mm
10
dt
m
1
G
du
JG
g
m
0
2
JG
2|
. (4.28)
g
.
(4.26)
.
!!mm
10
mm
10
(4.27)
жидкость
из (4.27)
dt
Условие (4.28) выполняется, например, при всплытии сферического газового пузырька в жидкости.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]