Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Современные проблемы металлургии и материаловедения гидродинамика и массообмен в многофазных системах металлургии. Учебное пособие
.pdf
вида. Являясь комбинацией из величин, существенных для изучаемого объекта, комплексы представляют собой особого рода обобщённые переменные и константы. Все они не имеют размерности.
Переход от обычных физических величин к обобщённым переменным создаёт важные преимущества для проведения численных
исследований. Прежде всего сокращается число переменных задачи.
Кроме того, так как заданное значение комплекса можно получить
как результат бесчисленного множества комбинаций составляющих
его величин, то, следовательно, при рассмотрении задачи в обобщённых переменных исследуется не единичный частный случай,
а бесчисленное множество различных случаев, объединённых некоторой общностью свойств. Иначе говоря, расширяется область применения результатов решения конкретной задачи.
Таким образом, для проведения исследования изучаемого объекта необходимо составить его математическую модель и попытаться
решить задачу аналитически. Если это не представляется возможным, задача решается численно: либо с помощью компьютерной
техники, либо путём постановки лабораторного эксперимента. При
этом для усиления полученного результата целесообразно в процессе численного решения и при обработке его результатов использовать методы теории подобия.
1.1. Построение физических и математических
моделей изучаемого объекта
Физическая модель изучаемого объекта создаётся на начальной
стадии его изучения и представляет собой словесное описание процессов, протекающих в объекте, и его свойств. Она несёт определённую информацию об изучаемом объекте и позволяет составить список факторов, влияющих на изучаемое явление или аппарат. Такой
список позволяет осуществлять исследование, используя, например,
метод «чёрного ящика» или полный факторный эксперимент. Для
усиления результатов исследований, выполненных с помощью физической модели, используется специальный метод теории подобия,
называемый анализом размерностей. Серьёзным недостатком физической модели является её субъективность.
Математическая модель состоит из двух частей: системы главных
уравнений и условий однозначности.
Система главных уравнений описывает наиболее важные процессы, происходящие в изучаемом объекте: движение среды, передачу
теплоты и массы из одной точки в другую или от одного объекта
11
системы к другому, химические реакции, протекающие в объекте,
и т.д. Эти процессы, как правило, описываются уравнениями, выражающими фундаментальные законы природы: законы сохранения
массы, энергии, импульса и т.д., однако движение среды, перенос
теплоты и массы, а также одинаковые химические реакции протекают в бесконечном множестве объектов, и во всех этих случаях они
описываются одними и теми же уравнениями. Для того чтобы индивидуализировать составляемую математическую модель, к системе
основных уравнений добавляют условия однозначности, в которых
формулируют индивидуальные особенности описываемого объекта. Условия однозначности делятся на несколько групп, из которых
наиболее важными являются следующие:
1) геометрические условия, описывающие форму и размеры изуча-
емого объекта;
2) физические условия, включающие сведения о физических
свойствах изучаемого объекта;
3) начальные условия, содержащие значения всех переменных величин, характеризующих изучаемый объект в момент начала исследований;
4) граничные условия, описывающие взаимодействие изучаемого
объекта с окружающей его средой по границам объекта.
Совокупность системы основных уравнений и условий однозначности, записанных для изучаемого объекта, представляет собой его
полную математическую модель, которая может быть использована
для проведения исследований. При этом, если исследование проводится с использованием численных методов (на компьютере или на
лабораторной модели), для усиления его результатов целесообразно
эксперимент ставить по правилам теории подобия. Эти правила излагаются в трёх теоремах теории подобия.
1.2. Постановка и проведение лабораторного
и компьютерного исследования с применением
методов теории подобия
Согласно теории подобия частное решение, полученное в результате численного исследования конкретного явления или аппарата,
может быть перенесено на все подобные явления или аппараты. При
этом возникает, по меньшей мере, один вопрос: как определить подобие явлений и аппаратов?
12
1.2.1. Основная теорема теории подобия
Согласно основной теореме теории (теорема Кирпичёва – Гухмана) подобия явления и аппараты подобны, если они описываются
одинаковой системой главных уравнений и условия однозначности
их математических моделей подобны. В свою очередь, условия однозначности двух объектов подобны, если безразмерные комплексы,
составленные из одноимённых величин, заданных в условиях однозначности каждого из сопоставляемых объектов, численно равны
друг другу.
Сформулируем несколько понятий и определений теории подобия, необходимых для дальнейшего изложения.
Модель – процесс или аппарат, которые являются объектами исследования или по которым уже имеются результаты исследования.
Образец – процесс или аппарат, на которые хотят перенести результаты исследования модели.
Число (безразмерная независимая переменная или безразмерная
функция) – безразмерный комплекс, составленный по определённым правилам из величин, входящих в математическую модель изучаемого объекта, среди которых имеются независимые переменные
или искомые величины.
Критерий подобия (безразмерный параметр задачи) – безразмерный комплекс, составленный по определённым правилам из величин, заданных в условиях однозначности математической модели.
Критерии подобия всегда имеют физический смысл (мера отношения различных сил, мера отношения внешнего и внутреннего термического сопротивления тела и т.д.), в то время как числа представляют собой просто безразмерные переменные или искомые величины
(безразмерная координата, безразмерное время, безразмерная скорость и т.д.).
Из основной теоремы теории подобия следует, что у подобных
объектов должны быть численно равны не только критерии подобия, но и искомые величины, представленные в виде безразмерных
комплексов, т.е. чисел. Это положение доказывается с помощью
первой теоремы подобия – теоремы Ньютона. Поясним сказанное
на примере.
Предположим, что на модели исследуется процесс движения
твёрдого тела, имеющий место на образце. Тогда одним из основных
уравнений математической модели процесса будет уравнение второго закона Ньютона:
13
Fm
Обозначим массу тела модели через
время движения через
c
. Тогда имеем для модели
t
cc
fm
.
dt
c
, его скорость через
m
c
dw
. (1.2)
c
dt
(1.1)
c
w
и
dw
После аналогичных рассуждений запишем для образца
cc
cc cc
fm
dw
dt
(1.3)
.
cc
Если движения тел в модели и в образце подобны, то между всеми
одноименными величинами этих объектов существует линейная зависимость
xCx,
обр мод
– масштаб подобия по фактору х.
где С
х
x
Таким образом:
ccc
fCf
,
f
ccc
mCm
m
ccc
,
wCw
w
ccc
,
tCt
t
. (1.4)
Используя принцип взаимозаменяемости, согласно которому
cc
wdw
cc cc
wdw
и т.д., преобразуем с помощью (1.4) выражение (1.2):
cc
()
dC w
cc cc
Cf Cm
fm
w
cc
dC t
()
t
и сгруппируем все масштабы подобия. Тогда получим
CC
ft
CC dt
mw
fm
cc cc
dw
cc
.
cc
1.2.2. Первая теорема теории подобия
Из сопоставления последнего выражения с (1.3) ясно, что последнее уравнение справедливо только в случае, если
CC
ft
1
. (1.5)
14
CC
mw
Комплекс, составленный из масштабов подобия, называется индикатором подобия. Таким образом, установлено, что, как утверждает первая теорема теории подобия (теорема Ньютона), у подобных
объектов индикаторы подобия равны единице.
Преобразуем соотношение (1.5), заменив в нём масштабы подобия с учётом (1.4):
cc
ft
c c cc cc
ft f t
c c cc cc
mw m w
. (1.6)
Так как
f
c
и
cc cc
ft
cc
mw
cc cc
mw
cc
являются искомыми величинами, то из (1.6)
f
или
1
следует, что подобные объекты характеризуются помимо равенства
критериев подобия ещё и численно равными безразмерными искомыми величинами. Что и требовалось доказать.
Из приведённых выкладок следует ещё один вывод, имеющий важное значение для моделирования. Согласно (1.5), в процессе моделирования произвольно можно выбрать масштабы всех величин, кроме
одной, масштаб которой должен определяться из уравнения (1.5).
Для независимых переменных и искомых величин в процессе преобразования их к безразмерному виду в качестве масштабов подобия выбираются либо одноимённые величины, заданные
в условиях однозначности, либо масштаб подобия составляется из
нескольких величин, также заданных в условиях однозначности. Например, если в ходе исследования определяется значение скорости
в заданной точке потока в некоторый момент времени, то определя-
емую величину можно представить как
w
, если в начальных усло-
w
0
виях задано, например, значение скорости потока на входе в модель
w
. Здесь в качестве масштаба подобия скорости принята величина
0
1
C
w
. Если в условиях однозначности не задано ни одного значе-
w
0
ния скорости потока, безразмерную скорость можно выразить в виде
Qwl
0
следующего комплекса:
. Здесь в качестве масштаба подо
бия
l
скорости используется соотношение
0
, где
l
C
w
Q
– характерный
0
линейный размер модели, заданный в геометрических условиях однозначности, а
Q – кинематический коэффициент вязкости потока,
заданный в физических условиях однозначности.
15
1.2.3. ʌ-теорема теории подобия
И наконец, теория подобия утверждает, что зависимость между
безразмерными величинами, характеризующими явление или аппарат, всегда может быть представлена в виде обобщённого критериального уравнения. Иначе говоря, если искомая величина
представлена в виде комплекса
параметры модели через
для любых значений
S S S S
123
, ,...,
f . Это положение, которое называется теоремой
n
S , 3S ,…, S
2
S , 3S ,…, S
2
S , а независимые переменные и
1
, то зависимость между ними
n
можно выразить в виде уравнения
n
Бекингема, или S-теоремой, определяет, в каком виде необходимо представлять результаты численного исследования модели, если
оно выполнено по правилам теории подобия. Итак, при постановке
и проведении лабораторного или компьютерного исследования по
правилам теории подобия необходимо выполнить следующие этапы.
1. Составить математическую модель изучаемого объекта в виде
системы основных уравнений и условий однозначности.
2. Выполнить преобразование этой системы в безразмерную форму.
3. Выделить из числа полученных безразмерных комплексов критерии подобия и установить их численные значения на модели, а
также пределы их изменения в ходе исследования.
4. Установить, исходя из цели исследования, необходимые пределы измерения безразмерных аргументов (чисел). В зависимости от
возможностей модели выбрать шаг изменения каждого аргумента.
5. Провести численный эксперимент на компьютере или лабораторной установке и определить значения искомой функции, представленной в безразмерном виде, для всех сочетаний значений независимых переменных и критериев подобия.
6. Полученные результаты обработать по правилам математической статистики и получить в явном виде обобщённое критериальное уравнение
S S S S
123
, ,...,
f .
n
Как правило, обобщённое уравнение представляют в виде показательной функции нескольких переменных. Однако при желании
это уравнение может быть представлено, например, в виде полинома
n-й степени и т.д.
Полученное критериальное уравнение справедливо для всех подобных процессов и явлений. Оно устанавливает взаимосвязь между
искомой величиной, аргументами и параметрами математической
модели в пределах изменения критериев подобия и безразмерных
чисел, реализованных в эксперименте.
16
Задачей настоящего курса является ознакомление слушателей с
техникой составления математических моделей теплофизических
процессов, протекающих в многофазных металлургических системах, и приёмами работы с этими моделями во время исследования
этих процессов.
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое модель явления и почему математическая модель яв-
ляется более плодотворной, чем физическая?
2. Какова структура математической модели?
3. Какие два пути решения математической модели существуют и
в чём принципиальное различие между ними?
4. Какие два пути численного решения математической модели
существуют и чем они отличаются?
5. В чём существенный недостаток численного решения математических моделей и как можно усилить результат численного
решения?
6. На каком физическом постулате базируется теория подобия?
7. Какое преобразование исходной математической модели необходимо произвести, как выполнить численный эксперимент и
оформить его результаты при использовании в работе методов теории подобия?
8. Что такое модель, образец, число, критерий подобия?
9. Сформулируйте основную теорему подобия (теорему Кирпичёва – Гухмана).
10. Сформулируйте теорему подобия Ньютона и докажите, что
если модель и образец подобны, то искомая величина, представленная в безразмерном виде, будет для этих объектов одинаковой.
11. Объясните смысл теоремы Бекингема.
12. Объясните понятие автомодельности функции относительно
какого-либо аргумента.
13. Что такое условия однозначности и для чего они формулируются?
14. Какую информацию содержат граничные условия? Когда
формулируются начальные условия? Что в них задаётся?
15. Когда целесообразно использовать методы теории подобия?
16. Что такое масштаб подобия и что такое индикатор подобия?
17
2. МОДЕЛИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ В ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМАХ
МЕТАЛЛУРГИИ
Практически на всех этапах сложного металлургического производства технологические процессы получения металла связаны с
тепломассообменными процессами, протекающими в движущихся
многофазных потоках. Взаимное влияние фаз в этих потоках происходит по границам раздела, которые изменяются в пространстве и во
времени. На границах раздела фаз протекают химические реакции,
механическое (силовое) взаимодействие фаз, теплообменные и массообменные процессы. Эти процессы обусловливают своеобразный
характер изменений параметров многофазной системы: плотности,
полей скоростей, давлений, температур, концентраций целевого
компонента. В отличие от гомогенной среды, в которой перечисленные параметры изменяются монотонно, в многофазных (гетерогенных) системах благодаря процессам, протекающим на границах раздела фаз, они часто изменяются в пространстве скачкообразно. Это
обстоятельство крайне затрудняет математическое описание теплофизических процессов в многофазных системах.
Задача моделирования теплофизических процессов в гетерогенных системах распадается на две части: внутреннюю и внешнюю.
В пределах внутренней задачи исследуются взаимодействия фаз на
границах раздела. В пределах внешней – взаимодействие многофазной системы, как псевдогомогенного континуума, с окружающей
его средой (например, внедрение струи газа с твёрдыми частицами
или каплями мазута в ванну расплава).
При решении внутренней задачи рассматривают, как правило,
взаимодействие одиночной частички (твёрдая частица, капля жидкости, газовый пузырь) с неограниченной гомогенной окружающей
средой, в которую помещена частичка, или же взаимодействие двух
неограниченных сплошных сред по единой границе раздела фаз.
При этом математическое описание взаимодействий может быть выполнено с необходимой точностью.
При описании процесса взаимодействия системы дисперсных частиц с окружающей сплошной средой необходимо оговаривать правила поведения фаз в системе, т.е. принимать соответствующую физическую модель.
В самом общем случае при решении внутренней задачи необходимо найти положение гидродинамических, тепловых и диффузион-
18
ных пограничных слоёв, образующихся с обеих сторон межфазной
границы, а также поля скоростей, температур и концентраций целевого компонента в пределах каждого пограничного слоя.
В пределах внешней задачи многофазная система рассматривается как псевдооднородная, обладающая эффективными свойствами:
скоростью, плотностью, вязкостью, температурой и т.д. В этом случае решение теплофизической задачи сводится к определению полей скоростей, температур, давлений и т.д. для всего объёма многофазной системы, как функции координат и времени.
2.1. Основные характеристики многофазных систем
В пределах данного курса будем рассматривать двухфазные системы. Они ещё называются «дисперсные». В металлургии такие системы встречаются чаще всех остальных (газ, продуваемый через ванну
расплава, смесь металла и шлака в ванне плавильной печи, частички
уноса в потоке отходящих газов и т.д.).
Дисперсная система состоит из сплошной (дисперсионной)
фазы, в которой распределена дисперсная фаза (фаза, состоящая из
отдельных частичек – капелек, пузырьков или твёрдых частиц). Все
параметры дисперсной фазы будем помечать индексом «д», а сплошной – индексом «с».
Перечислим наиболее важные характеристики дисперсных потоков, используемые при рассмотрении внутренней задачи.
Массовая концентрация дисперсной фазы
M
,
где
M
и
M
д
– массовые расходы фаз, кг/с.
c
x
д
MM
дс
(2.1)
Очевидно, массовая концентрация сплошной фазы равна 1 – x.
Объёмная концентрация дисперсной фазы:
V
где
N
V
и
V
– объемные расходы фаз, м3/с.
д
c
д
VV
дс
, (2.2)
Очевидно, объёмная концентрация сплошной фазы равна (1 –
N).
19
Приведённые или расходные скорости фаз, м/с:
V
д
w
д
;
S
wS
c
V
c
, (2.3)
где S – площадь поперечного сечения канала, в котором осущест-
2
вляется течение дисперсного потока, м
.
Истинную скорость каждой из фаз можно определить, если известна часть площади поперечного сечения канала, занимаемого одной из фаз, например сплошной:
S
Z с (2.4)
где
S – площадь поперечного сечения канала, занимаемая сплош-
с
ной фазой, м
2
.
,
S
Величина
Z называется живым сечением потока. Используя Z ,
определим значения истинных скоростей фаз. Из формулы объёмного расхода сплошной фазы имеем
где
w
– истинная скорость сплошной фазы, м/с.
c
VwSw S Z, (2.5)
cc c
Из (2.5) легко получить выражение для истинной скорости
сплошной фазы:
w
w
c
c
. (2.6)
Z
По аналогии можно определить значение истинной скорости
дисперсной фазы:
w
д
.
w
д
(2.7)
1
Z
Разность истинных скоростей равна скорости проскальзывания
фаз друг относительно друга:
Очевидно, значение
www (2.8)
отн д c
w весьма важно при рассмотрении взаи-
отн
.
модействий фаз по границам раздела внутри двухфазного потока.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]