Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Синтез линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
Окончание табл. 2.1
Z
Z
Z
№
п/п
2
3
Тип резонатора
bY
Основные
соотношения
1
tgYl
вх
вФ
bCYn
0 эв
;
ln
2
1
CctgYl
вх
11
0 вФ
0
v
ctg csc
в
00 0
v
2
1, 2, 3 . ..n
вФ
ctgCl
0
Ф
2
0
v
0
v
l
2
2.2. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ
ОТРЕЗКОВ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ
При проведении синтеза линейных СВЧ цепей весьма полезными
оказываются эквивалентные схемы отрезков ЛП на сосредоточенных
элементах [12]. В табл. 2.2 приведены два вида эквивалентных схем и
расчетные формулы для их параметров. Отметим, что такие эквивалентные схемы справедливы для ограниченной области частот.
Из приближенных формул для параметров П- и Т-схем замещения
коротких
отрезков ЛП следует, что сосредоточенная индуктивность может быть замещена короткозамкнутым отрезком ЛП, волновое сопротивление которого относительно большое, практически
100Z
в
Ом.
Последовательно включенная в тракт СВЧ сосредоточенная индуктивность может быть также приближенно заменена отрезком линии передачи с большим волновым сопротивлением. В области частот до
31
500…1000 МГц это замещение оказывается достаточно точным и
X
Z
Z
адекватным. Аналогично сосредоточенная емкость замещается разомкнутым отрезком ЛП, волновое сопротивление которого удовлетворяет неравенству
Эквивалентные схемы отрезка линии передачи с Т-волной
Отрезок линии Эквивалентные схемы Расчетные формулы
10...20Z
в
Ом.
Таблица 2.2
ll
ZZ
tg
вв
222
1
BlY
XZ lZ
Bll
222
sin
вФ
sin
вв
1
tg
вФ
v
Ф
l
в
v
l
v
Ф
Y
в
v
Приведенные в табл. 2.2 эквивалентные схемы отрезка линии передачи небольшой длины часто используются в практических конструкциях для реализации индуктивных и емкостных элементов, в том числе
подстроечных элементов.
2.3. МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ И ПЕРЕДАЧИ
Отрезки ЛП, одиночные или связанные, как показано выше, составляют основу (элементную базу) разнообразных устройств СВЧ,
которые по отношению к внешним портам (коаксиальным или коаксиально-полосковым переходам) могут рассматриваться как четырехполюсник.
Набор таких элементарных четырехполюсников соединяется отрезками ЛП разнообразной длины, образуя сложное СВЧ устройство. При
этом в соединительных
отрезках ЛП должен выполняться согласованный режим передачи электромагнитной энергии для каждого последовательно включенного каскада.
32
Если волна, падающая от генератора, является полезной, то волна,
отраженная от нагрузки при достаточной ее амплитуде может служить
источником разнообразных вредных явлений, таких как искажение
АЧХ и ФЧХ в рабочей полосе частот или самовозбуждение усилительных каскадов. Следовательно, на входе и выходе каждого четырехполюсника должна решаться задача обеспечения режима согласования
при котором минимизируются отражения.
Сколь угодно сложная линейная СВЧ цепь, имеющая входы и выходы в виде однородных линий передачи (рис. 2.2), в которых распространяется преимущественно основной тип волны, описывается системой алгебраических уравнений относительно комплексных амплитуд
падающих и отраженных волн в заданных сечениях (референсных
плоскостях) [1].
Рис. 2.2. Система падающих и отраженных волн
четырехполюсника
,
Токи и напряжения на входах четырехполюсника (рис. 2.2) с учетом того, что в подводящих однородных линиях существует неполное
согласование, могут быть представлены в следующем виде:
UU U
11пад 1отр
1
IUU
;
11пад 1отр
Z
в
1
UU U
22пад 2отр
1
22пад 2отр
Z
в2
,
()
,
()IUU
33
,
где
Z
s
заданных сечениях подключения линий;
,,,UU I I – комплексные амплитуды напряжений и токов в
1212
, , , UU UU –
1пад 2пад 1отр 2отр
комплексные амплитуды соответственно падающих и отраженных
,
волн в тех же сечениях;
Z – волновые сопротивления входной и
в1 в2
выходной линии передачи.
Связь между падающими и отраженными волнами определяется с
помощью волновой матрицы передачи и матрицы рассеяния:
UU
tt
1пад 2пад
UU
1отр 2отр
U
1отр
U
2отр
11 12
tt
21 22
ss
11 12
ss
21 22
U
U
, (2.8)
1пад
, (2.9)
2пад
где
t и
ij
– элементы ненормированных волновых матриц переда-
ij
чи (2.8) и матрицы рассеяния (2.9) соответственно.
Неоднозначность определения для волноведущих устройств тока,
напряжения и волнового сопротивления делает актуальным переход к
величинам, определение которых однозначно и не зависит от типа
волн, распространяющихся в подводящих ЛП.
Такой величиной, как показано в [10], может служить произведение
нормированных комплексно-сопряженных величин, пропорцио-
1
нальных средним значениям мощности падающей
1
отраженной волны, где
bb
nn
2
aZ
n
U
пад
n
, а
bZ
в
n
n
aa
2
U
пад
в
n
n
n
n
. Тогда
и
соотношения (2.8) и (2.9) примут вид
aTTa
111122
bTTb
121222
bSSa
111121
bSSa
221222
34
;
(2.10)
.
Формулы, связывающие нормированные значения ijT и ijS различ-
Z
Z
ZZ
ных четырехполюсников и восьмиполюсников, приведены в [5, 6] и
могут быть полезны как для понимания физических процессов распространения волн в отрезках ЛП, так и для аналитического описания характеристик СВЧ цепей различного назначения.
В большинстве случаев матрицы рассеяния позволяют полностью
описать многокаскадное и разветвленное СВЧ устройство без строгой
формулировки электромагнитной
задачи и определения граничных
условий.
Элементы матрицы рассеяния четырехполюсника, как следует
из (2.10), представляют набор величин, связывающих между собой падающую и отраженные волны в сечениях соединяемых между собой
СВЧ компонентов. Такая матрица рассеяния описывает поведение
СВЧ устройства при любых заданных значениях (комплексных коэф-
фициентах отражения) его нагрузок.
Рассмотрим линейный четырехполюсник (
он может быть активным
или пассивным), находящийся между двумя отрезками линий передачи
(ЛП) с волновым сопротивлением
казано на рис. 2.2. Чаще всего
и
в1
в1 в2
трансформацией сопротивлений. Далее, полагая
соответственно, как по-
в2
, кроме случаев, связанных с
0a
и
1
0a
, по-
2
лучим
b
1
S
11 0
|
(2.11)
a
2
a
1
– коэффициент отражения от входа четырехполюсника, при согласо-
ванной нагрузке на выходе;
b
1
|
S
12 0
a
(2.12)
a
1
2
– коэффициент передачи из второго плеча четырехполюсника в первое,
при согласованной нагрузке на входе;
b
S
2
|
(2.13)
21 0
a
35
a
2
1
– коэффициент передачи из первого плеча четырехполюсника во вто-
рое, при согласованной нагрузке на выходе, определяет ослабление
или усиление;
b
S
2
|
(2.14)
22 0
a
1
a
2
– коэффициент отражения от выхода четырехполюсника, при согласо-
ванной нагрузке на входе.
Необходимо отметить, что все введенные выше элементы (2.11)–(2.14)
матрицы рассеяния являются безразмерными.
2.4. ВЗАИМНЫЕ И СИММЕТРИЧНЫЕ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
Математически условие взаимности для четырехполюсника и многополюсника формулируется следующим образом: необходимым и
достаточным условием является симметрия его матрицы рассеяния.
При этом для четырехполюсников это дает
форме записи
[] []SS
, где []St – транспонированная матрица рассе-
t
SS
12
, или в матричной
21
яния.
У симметричных обратимых четырехполюсников элементы матрицы рассеяния сохраняются неизменными при изменении направления
передачи энергии. Математически это формулируется следующим образом:
SS
11 12
[] ,
S
SS
12 11
[] .
TT
T
11 12
TT
12 22
(2.15)
Антиметричным называется четырехполюсник, у которого нормированное входное сопротивление в режиме холостого хода при прямом
(обратном) направлении передачи СВЧ сигнала равно нормированной
входной проводимости при прямом (обратном) направлении передачи.
Антиметричные четырехполюсники описываются матрицами:
SS
11 12
[] ,
S
SS
12 11
36
TT
T
11 12
TT
12 22
.
(2.16)
Реактивные четырехполюсники (без потерь) подчиняются условию
Z
E
[][][1],
унитарности
SS
t
с матрицей []S ; [1]
где
[]
S
– матрица эрмитово–сопряженная
t
единичная матрица. Для обратимого четырехпо-
люсника без потерь будем иметь:
22
11 12
SS S S
1;SS
11 12 21 22
22
21 22
0
. (2.18)
1SS, (2.17)
Из соотношений (2.17) и (2.18) следует
SS
11 21
и
SS
22 12
.
11 22 12 21
Для взаимного четырехполюсника, включенного между генерато-
ром с внутренним сопротивлением
и сопротивлением нагрузки,
G
как показано на рис. 2.3, ослабление сигнала (рабочее затухание или
вносимое ослабление) определяется выражением [10]
2
/4
Z
G
10 lg
a
p
UI
22
[дБ].
Рис. 2.3. Определение рабочего затухания, вносимого
реактивным четырехполюсником
37
Учитывая то, что для четырехполюсника на СВЧ
Z
Z
Z
n
(волновые сопротивления подводящих ЛП) рабочее затуха-
в2
ние рассчитывается по соотношению
и
Z
G
в1
10 lg 10 lgaT
.
р 11
2
1
2
S
21
2.5. ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ
ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
В данном подразделе рассмотрена задача оптимизации параметров
широкополосных линейных цепей различного назначения. Проведен
обзор математических методов оптимизации, сделан сравнительный
анализ описанных методов оптимизации. На основании проведенного
обзора и анализа сделан вывод о предпочтительном методе оптимизации СВЧ устройств, в том числе с диссипативными потерями, и сделана оценка полученных результатов.
В
компьютерных САПР используются многообразные методы оп-
тимизации: случайный локально (random local), симплексный (simp-
lex), градиентный (gradient), равномерное генетическое изменение (genetic uniform mutation), гауссовское генетическое изменение (genetic
Gaussian mutation), симплексный метод имитации отжига (simulated
annealing simplex), локальный метод имитации отжига (simulated
annealing local) и некоторые другие методы.
Опыт проектирования и разработки СВЧ устройств показывает, что
во многих случаях наиболее эффективными оказываются симплексный
и градиентный методы оптимизации
[3, 15]. Кратко рассмотрим оба
этих метода.
Сущность симплексного метода состоит в следующем. Симплекс –
это правильный многогранник, показанный на рис. 2.4 и имеющий
вершин, где n – число факторов, влияющих на процесс оптими-
1n
зации. Так, например, если на процесс влияют два фактора, то симплекс имеет вид правильного треугольника.
Началом серии опытов являются вершины исходного треугольника
(симплекса), точки 1, 2 и 3. Из области значений факторов берутся
38
условия первых опытов, соответствующих наиболее благоприятным из
известных режимов оптимизируемого процесса. Далее на основе
сравнения между собой результатов
опытов в исходных точках (точки 1,
2 и 3) определяется самый неблагоприятный из них – исходя из выбранного критерия оптимальности.
Допустим, что в нашем случае самым плохим опытом оказался опыт
в
точке 1, относительно других
опытов – в точках 2 и 3. Отметим,
что в качестве критерия оптимизации обычно принимается значение
коэффициента стоячей волны в
заданной полосе частот, либо отклонение АЧХ от номинального
значения. Для СВЧ цепей с диссипативными потерями рекомендуется
Рис. 2.4. Симплексный метод
оптимизации
сформировать целевую функцию из
перечисленных выше двух параметров
с соответствующими весовыми
коэффициентами. В этом случае оптимизация называется векторной.
Следующий шаг: сравниваются результаты опытов нового симплекса (точки 2, 3 и 4). Сравниваем результаты между собой и исключаем вершину (точку 2), результаты опыта в которой оказались худшими. Далее определяем новую вершину симплекса (точка 5). Данная
операция повторяется в
течение всего процесса оптимизации.
Процесс оптимизации и, как следствие, дальнейшее продвижение
симплекса прекращается, если выполняется условие достижения экстремума в соответствии с критерием оптимальности. Это означает, что
при дальнейшем продвижении симплекса алгоритм вернет его в
предыдущую точку факторного пространства. Также отметим, что
симплексный метод, как и большинство других методов оптимизации,
является локальным методом поиска экстремума. Поэтому, если функция имеет несколько экстремумов критерия оптимальности, то симплексный метод найдет тот экстремум, который ближе всего находится
к точкам исходного симплекса. Из этого следует, что если существует
задача поиска нескольких экстремумов, необходимо начинать оптимизацию каждый раз из разных областей факторного пространства. После
39
чего нужно провести сравнительный анализ найденных оптимальных
Р
условий и выбрать из них наилучший.
Необходимо заметить, что при использовании данного метода не
обязательно повторять опыты, так как ошибка в каком-то одном опыте
лишь замедлит оптимизацию, и если следующие опыты выполняются
без ошибок, то продвижение симплекса к оптимальному значению
продолжается.
Частный случай
симплексного метода оптимизации – это поиск оптимального экстремума по деформируемому многограннику. Он представляет собой распространенный метод локального поиска. Его еще
называют методом Нелдера–Мида, по
фамилиям авторов этого метода. Предположим, что существуют также две
переменные, влияющие на процесс. Тогда симплексом соответственно будет
являться равносторонний треугольник.
И точки
испытаний находятся в верши-
нах этого симплекса (треугольника),
ис. 2.5. Симплекс для двух
переменных в форме равносто роннего треугольника
представленного на рис. 2.5.
Тогда из вершины симплекса, где
целевая функция минимальна, в данном
случае это точка 1, спроецируем пря-
мую, проходящую через центр тяжести симплекса. После чего необходимо построить новый, так называемый отраженный симплекс из
новой точки 4 и старых точек 2
и 3. При этом точка 4 находится на
проецируемой прямой с надлежащим расстоянием до центра тяжести
симплекса. Данная операция, при которой с каждым шагом симплекса
исключается вершина (точка) с максимальной целевой функцией,
обеспечивает движение к экстремуму. Также существует правило
предотвращения циклического движения в области минимума и уменьшения размера симплекса.
Применение регулярных многогранников имеет ряд недостатков,
таких как неоптимальный поиск в искривленных областях, замедление
поиска экстремумов в некоторых ситуациях. В свою очередь деформация многогранника симплекса позволяет изменять свою форму и
размер, что обеспечивает более эффективный поиск оптимума в многомерных поверхностях. Пример работы метода деформируемого многогранника представлен на рис
. 2.6.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]