Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Синтез линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
решение электродинамической задачи для поперечного сечения ЛП в
f
H
E
f
H
E
f
случае бесконечно протяженной волноведущей структуры. В общем
случае решение электродинамической задачи для одной области частот получено в виде прямой и обратной волн, образующих распространяющуюся без затухания в ЛП бегущую электромагнитную волну. Для другой области частот прямая и обратная волны быстро
затухают. Эти волны существуют только вблизи источника возбуждения или возникают на неоднородностях волноведущей структуры.
Следовательно, собственные волны линии передачи – это электромагнитные волны, которые могут распространяться только в определенной полосе частот.
При выборе линии передачи большое значение имеет тип бегущей
волны, определяемый структурой электромагнитного поля в поперечном
сечении ЛП и критической частотой
– частотой, на кото-
кр
рой начинает прекращаться процесс переноса энергии.
Приведем классификацию ЛП по типам используемых волн:
– линии передачи с поперечной (Т-волна) электромагнитной вол-
ной (рис. 1.1,
го или электрического поля
в–д), не содержащие продольных компонент магнитно-
(
)
,
z
при однородном диэлектриче-
z
ском заполнении. Они существуют только в ЛП, имеющих не менее
двух изолированных проводников (прямой и обратный провод коаксиальной или полосковой линии), причем для них критическая часто-
кр
;
та
– линии передачи, у которых процесс распространения электромаг-
нитной волны поддерживается наличием продольных компонент поля
(
, )
z
, структуры, Е- и Н-волны (рис. 1.1, а, б);
z
– линии передачи с гибридной волной (рис. 1.1,
е), содержащей все
шесть компонент электромагнитного поля [1, 7].
1.2. СОБСТВЕННЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ
Как правило, линии передачи используются в режиме
волны
, имеющей наименьшую критическую частоту. Значение
основной
–
кр
для конкретного типа волны, и остальные параметры ЛП определяются
геометрическими размерами поперечного сечения и физическими параметрами линии передачи.
11
К основным параметрам линий передачи относятся следующие:
f
Постоянная распространения (коэффициент распространения)
собственной волны ЛП-. Этот комплексный параметр характеризует
изменение амплитуды и фазы распространяющейся электромагнитной
волны вдоль координаты
мость от координаты
множителем
Коэффициент фазы
координаты z при прохождении волной единицы длины ЛП. Коэффициент фазы измеряется в радианах на метр и равен действительной части постоянной распространения
Коэффициент затухания
электромагнитной волны при прохождении единицы длины ЛП. Таким
образом, за счет диссипативных потерь в металле коэффициент распространения
j , (1.1)
exp ( )it z
является комплексной величиной:
z. Для заданной частоты 2
z и времени t описывается экспоненциальным
.
показывает изменение фазы волны вдоль
([рад/м])
.
определяет уменьшение амплитуды
зависи-
где
фронта гармонической составляющей компоненты поля Е или Н вдоль
оси z в линии передачи без потерь. Уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн, имеют вид
где – вектор, лежащий в плоскости перпендикулярной оси z. Волновой фронт этой волны, как плоскость постоянных фаз, не меняющих-
ся при движении, должен удовлетворять уравнению consttz
После дифференцирования получим выражение для фазовой ско-
рости
1j .
Фазовая скорость – определяется как скорость распространения
,,
zt
,,
zt H
v
m
exp ( )
m
ddz
Ф
t
12
jt z
. (1.2)
,
.
Длина волны в волноводе
том волны за период колебания Т. Так как период равен
равна расстоянию, пройденному фрон-
в
2
T
2
v Т
вФ
. (1.3)
, то
Дисперсией называется зависимость фазовой скорости от частоты.
Дисперсионная характеристика обычно задается графически или определяется аналитическим выражением [2]. В последующем материале
данного пособия основное внимание будет сосредоточено на ЛП с
Т-волнами, у которых дисперсия в случае однородного диэлектрического поперечного сечения отсутствует. Фазовая скорость в них на
любой частоте равна скорости распространения плоской электромагнитной волны в среде, заполняющей ЛП:
с
v
Ф
rr
,
где с – скорость света в вакууме.
Линии передачи, работающие на других типах волн, в частности
микрополосковая (рис. 1.1, е), обладают дисперсией.
Характеристическое сопротивление волны
W – равно отно-
,,TEH
шению поперечной составляющей напряженности электрического поля к поперечной составляющей напряженности магнитного поля бегу-
щей волны. Соответствующие формулы приведены в таблице.
Допустимая мощность линии передачи ограничивается электриче-
ским пробоем диэлектрического заполнения или перегревом проводников, особенно в месте стыка (перехода) с одного поперечного сечения ЛП на другое
.
Волновое сопротивление линии передачи определяется типом вол-
ны, распространяющейся в ЛП. Важно отметить, что понятие волновое
сопротивление было введено в технику СВЧ из теории цепей с распре-
деленными параметрами [5, 6]. Это позволило учитывать ряд важных
факторов и особенностей. Во-первых, волновые сопротивления для
разных типов волн имеют различное значение. Во-вторых,
неоднозначность в определении волнового сопротивления связана с различной картиной электромагнитного поля собственных волн ЛП в попе-
13
речном сечении. Введение волнового сопротивления ЛП позволяет во
H
E
многих случаях более просто решать вопросы соединения и согласования различных типов линий передачи.
Формулы для расчета характеристик собственных волн ЛП
Наименование
характеристики
Коэффициент фазы β
Коэффициент затухания за счет диэлектрических потерь
дБ
Фазовая скорость
Длина волны
v
Ф
в
Характеристическое
сопротивление
W
,,THE
1.2.1. ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
,
В ЛИНИИ С ТЕМ (
Т-волна Е- и Н-волны
00 rr
27,3 tg /
r
/rrc
001/rr
2/
00
=
/
0
W
00
Trr
W
0/rr
376,7W
0
0 rr
0
rr
rr
/
Ом
Т
) ВОЛНОЙ
00кр
00кр
/(/)
c
/(/)
00кр
WW
HT
WW
ET
(/ )
rr
27,3 tg
r
(/ )
rr
rr
0 кр
rr
/1( / )
/1( / )
0 кр
0 кр
2
2
2
2
2
2
Для волн типа Т продольные составляющие электрического и магнитного поля отсутствуют, поэтому система дифференциальных уравнений Максвелла для коаксиальной ЛП (см. рис. 1.1, в) [5], с учетом
EH и симметрии, имеет вид:
zz
0
1
rz
z
rjE
jH
0rr
14
; (1.4)
r
r
0
; (1.5)
E
j
Е
j
r
Согласно закону полного тока
0rH
и
IrHd
constrH
. (1.6)
2
0
2 rH
, полный ток
равен току, протекающему как по внешнему, так и по внутреннему
проводнику коаксиальной линии. Дифференцируя (1.4) по
(...)
и
z
•
подставляя
z
Зависимость H
22
где
Для определения напряженности электрического поля
из (1.5), получим
r
2
z
от z согласно (1.7) будет иметь вид
00 rr
(коэффициент фазы).
HH
He
2
I
0
2
r
002rr
. (1.7)
Z
, (1.8)
восполь-
r
зуемся (1.4) и (1.8). Из данных соотношений следует, что
EZ e
r
I
0
Z
с
, где
2
r
Z
0
с
rr
rr
0
376,7
[Ом] – характери-
стическое сопротивление среды.
Далее определим разность потенциалов между внутренним и
внешним проводником коаксиальной линии
rr
22
U E dr Z e dr Z e
r
rr
11
II
00
сс
jZ jZ
22
rr
ln
r
2
.
1
15
Разделив Uна I, получим волновое сопротивление коаксиальной
линии передачи
r
U
ZZ
вс
I
1.2.2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
1
2
. (1.9)
ln
2
r
1
Соотношение (1.9) для волнового сопротивления коаксиальной линии передачи устанавливает связь между комплексными амплитудами
напряжения и тока. Волновое сопротивление можно также определить
по известной величине мощности, проходящей через линию передачи:
(,)
ZPII , (1.10)
в
ZPUP
(, )
в
P
2
2
U
. (1.11)
В соотношениях (1.10) и (1.11) мощность находится по соотношению
1
Re ,
PEHdS
2
S
. (1.12)
Как следует из соотношения (1.12), мощность P является средним
по времени потоком активной мощности, проходящим через поперечное сечение S линии передачи. Подынтегральное выражение в (1.12)
есть вектор Умова–Пойнтинга. Следовательно, понятие волнового сопротивления ЛП зависит от способа его определения. В случае линий
передачи с Т-волной все три формулы (1.9)–(1.11) дают
одинаковый
результат, что подтверждает корректность математического описания
и закон сохранения энергии.
16
В соответствии с анализом электрического и магнитного поля в
поперечном сечении коаксиальной линии, согласно [2], вводятся погонные индуктивности и емкости:
L
r
ln
r
2
[Гн/м],
r
1
0
2
С
2
rr
ln ( / )
0
r
21
[Ф/м].
Из последних двух соотношений приходим к очевидному равен-
ству
ZC
L
в
[Ом], которое дает такой же результат, как и соотноше-
ния (1.9)–(1.11). Следует сказать, что в настоящее время наряду с волновым сопротивлением в современных схемотехнических САПР для
описания линий передачи используются погонные параметры [3].
Аналогичные соотношения для погонных параметров несиммет-
ричной микрополосковой линии передачи имеют вид
LZ c
где
60 8
Z
в
ln
e
в
2
hw
22
wh
ной микрополосковой линии;
/
,
e
– волновое сопротивление несимметрич-
0,5 1 ( 1)(1 10 / )
–
err
2
/CLZ
, (1.13)
в
hw
0,5
эффективная диэлектрическая проницаемость; h – толщина диэлектрической подложки;
– относительная диэлектрическая проницаемость
r
подложки.
Отметим, что эффективная диэлектрическая проницаемость количественно описывает частотную дисперсию в несимметричной микрополосковой линии передачи.
1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
Длинной линией, или фидером, в радиотехнике и технике средств
связи принято называть одну из ЛП (см. рис. 1.1, а–г) предназначен-
ную для передачи электромагнитной энергии как от передатчика к антенне, так и от антенны к приемнику. Если длина такой ЛП больше
или соизмерима с длиной волны в свободном пространстве
17
()l ,
0
а расстояние между проводниками для структуры (см. рис. 1.2, г)
R
x
x
x
x
xt
x
R
d , передача энергии вдоль ЛП происходит с минимальными по-
0
терями на излучение. На сверхвысоких частотах (СВЧ) отрезки ЛП,
длина которых кратна четверти длины волны, служат основой для построений колебательных систем (резонаторов) распределенного типа.
Условие
l означает, что вдоль ЛП будет укладываться боль-
0
шое число длин волн и последняя уже не является системой с сосредоточенными параметрами. Следовательно, как двухпроводная ЛП
(см. рис. 1.1, г), так и другие типы ЛП представляют собой системы с
распределенными параметрами. Для описания ЛП (см. рис. 1.1, в, г),
как уже было отмечено
С
и индуктивность L, а также сопротивление потерь
G
мость утечки
на единицу длины (погонные параметры), как показа-
выше, применяются распределенная емкость
и проводи-
но на рис. 1.2.
i
idx
i
S
u
t
длиной dx
du
du
1
2
u
dx
u
udx
Gdxu Cdx
dx
Рис. 1.2. Эквивалентная схема участка линии передачи
В соответствии с электрической схемой (рис. 1.2) можно записать
соответствующие линейные дифференциальные уравнения, которые
называются
телеграфными уравнениями ЛП:
uRiL i
, (1.14)
Для однородной линии
ординаты
х. Для неоднородной линии они являются функциями от х.
iRuC u
L
,
, G
18
. (1.15)
t
и С не зависят от текущей ко-
Когда ток и напряжение меняются по синусоидальному закону с угло-
f
R
R
R
вой частотой 2
, соотношения (1.14) и (1.15) записываются отно-
сительно комплексных амплитуд:
x
IGUjCU
x
;URIjLI
(1.16)
. (1.17)
Дифференцируя (1.16) по
2
2
x
где
()( )
jL G jC j
х и используя (1.17), получим
()( )URjLGjCU U
2
,
– коэффициент распростра-
нения.
Далее соотношения (1.16) и (1.17) представим в виде:
UZI
IU
; (1.18)
в
, (1.19)
Z
в
– комплексное и частотно
где
Z
в
() (/)
jL L R L j
()(/)
GjC C GCj
x
x
зависимое волновое сопротивление ЛП с потерями.
Для дальнейшего анализа формулу для коэффициента распространения запишем в виде
()( )RjLGjC
(/ )(/ )LC R L j G C j
. (1.20)
Как видно из (1.20), если для погонных параметров выполняется
G
условие
LC
, то ЛП с потерями не будет вносить искажения
19
в передаваемый сигнал. Он будет отличаться от входного сигнала
Z
R
Z
Z
Z
xl
только уменьшенной амплитудой и запаздыванием по фазе, что приведет к появлению задержки во времени.
Проведя несложные алгебраические преобразования для неискажающей ЛП с потерями, получим следующие соотношения:
,
Из анализа соотношений (1.20) следует, что неискажающая линия с
потерями при равенстве сопротивления генератора волновому сопротивлению
но независимой величиной
согласования на всех частотах. Это является следствием постоянства и
частотной независимости реальной составляющей коэффициента распространения
В СВЧ диапазоне для погонных параметров линии обычно выполняются неравенства
небречь влиянием потерь и считать, что
дует, что в линии без потерь выполняются соотношения:
в
/constZLC; 0
LC
в
, которое в данном случае является постоянной и частот-
в
2LC
. Ранее приведенная формула (1.3) позволяет записать
. (1.21)
constRG
LR
и CG
; j . Из формулы (1.21) следует, что
расчетное выражение для фазовой постоянной
. (1.22)
Постоянная величина волнового сопротивления
GjLC j
, обеспечивает режим
в
.
constZLC
. В этом случае можно пре-
0R
и 0G
. Из этого сле-
:
2LC
в
в линии без по-
в
терь позволяет сделать вывод о том, что если сопротивление нагрузки
равно сопротивлению генератора и волновому сопротивлению
, то
в
такая ЛП будет работать в согласованном режиме. В линии от генератора к нагрузке будут распространяться только падающие волны, а отраженных волн не будет.
Если для ЛП длиной
отсчета при
0x
l, как показано на рис. 1.3, положить начало
, а для
определить граничные условия,
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]