Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сигналы в линейных цепях систем передачи данных. Учебное пособие
.pdf
5.2. Пример выполнения первого контрольного задания
71
Таким образом, в соответствии с выражениями (41), (42), (43) и (44),
ряд Фурье будет иметь следующий вид:
На рис. 5.3 представлены выражения в среде программы математи-
ческого моделирования Mathcad, а в табл. 11 и табл. 12 приведены значения
коэффициентов a
k
b
k
, рассчитанные в среде Mathcad при различных ко-
эффициентах k и n.
Рис. 5.3. Выражения для расчета коэффициентов ak и bk в среде Mathcad
Таблица 11
Величины коэффициентов ak при различных значениях
коэффициентов k и n
Значения коэффициентов k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
Величины коэффициентов ak
1
0,1
–0,3
–0,22
0,15
0,23
–0,03
–0,15 0 0,1
–0,01
0,8
0,15
–0,14
–0,27
–0,12
0,12
0,2
0,07
–0,1
–0,11
0
0,6
0,16
--
–0,15
–0,2
–0,13
0,006
0,12
0,15
0,08
–0,02
0,4
0,13
0,07
--
–0,07
–0,12
–0,14
–0,11
–0,06
0,004
0,06
0,2
0,07
0,07
0,05
0,04
0,02
--
–0,02
–0,04
–0,05
–0,06
Таблица 12
Величины коэффициентов bk при различных значениях
коэффициентов k и n
Значения коэффициентов k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
Величины коэффициентов bk
1
–1,55
–1,74
–0,87
–0,24
–0,3
–0,44
–0,28
–0,12
–0,21
–0,3
0,8
–1,06
–1,48
–1,15
–0,55
–0,19
–0,2
–0,34
–0,33
–0,19
–0,1
0,6
–0,63
–1,03
–1,09
–0,87
–0,52
–0,24
–0,12
–0,15
–0,23
–0,27
5. Первое (№ 1) контрольное задание
72
Окончание табл. 12
Значения коэффициентов k
1 2 3 4 5 6 7 8
n
Величины коэффициентов bk
0,4
–0,29
–0,53
–0,69
–0,74
–0,7
–0,58
–0,42
–0,28
–0,16
–0,1
0,2
–0,07
–0,15
–0,21
–0,27
–0,31
–0,34
–0,36
–0,37
–0,36
–0,35
Анализ данных табл. 11 и табл. 12 показывает, что системной зави-
симости относительно амплитуд и знаков коэффициентов ak и bk при различных длительностях импульсов (значение коэффициента n) не отмечено.
5.2.4. Исследование зависимости формы импульса от числа
спектральных составляющих и длительности импульса
Проводя графическое суммирование в среде Mathcad спектральных
составляющих ряда Фурье, рассмотрим форму сигнала в зависимости от
коэффициента k (номер спектральной составляющей) и коэффициента n,
определяющего длительность импульсов входного сигнала. В соответствии
с этим на рис. 5.4, рис. 5.5 и рис. 5.6 представлены результаты аппроксима-
ции сигнала рядом Фурье при k=5, k=10 и k=0, n = 1.
Рис. 5.4. Аппроксимация входного сигнала рядом Фурье при k=5, n = 1
5.2. Пример выполнения первого контрольного задания
73
Рис. 5.5. Аппроксимация входного сигнала рядом Фурье при k=, n = 1
Рис. 5.6. Аппроксимация входного сигнала рядом Фурье при k=, n = 1
5. Первое (№ 1) контрольное задание
74
На рис. 5.7−5.9 представлены результаты аппроксимации сигнала
рядом Фурье при k = 5, k = 10 и k = 30, n = 0,6.
Рис. 5.7. Аппроксимация входного сигнала рядом Фурье при k=, n = 0,6
Рис. 5.8. Аппроксимация входного сигнала рядом Фурье при k=, n = 0,6
Рис. 5.9. Аппроксимация входного сигнала рядом Фурье при k=, n = 0,6
5.2. Пример выполнения первого контрольного задания
75
На рис. 5.10–5.12 представлены результаты аппроксимации сигнала
рядом Фурье при k = 5, k = 10 и k = 30, n = 0,2.
Рис. 5.10. Аппроксимация входного сигнала рядом Фурье при k
=, n = 0,2
Рис. 5.11. Аппроксимация входного сигнала рядом Фурье при k=, n = 0,2
Рис. 5.12. Аппроксимация входного сигнала рядом Фурье при k
=, n = 0,2
5. Первое (№ 1) контрольное задание
76
Анализ функций, представляющих собой аппроксимацию входного
сигнала рядом Фурье (рис. 5.4–5.12), показывает, что увеличение числа
спектральных составляющих (увеличение коэффициента k) ряда Фурье
позволяет получить более точную аппроксимацию входного сигнала. При
этом при уменьшении длительности импульса входного сигнала (уменьшается коэффициент n) необходимо увеличивать число спектральных составляющих в ряде Фурье при желании повысить точность аппроксимации сигнала, например, сравнение сигналов, представленных на рис. 5.9 и
рис. 5.12. Для повышения точности аппроксимации сигнала, представленного на рис. 5.12, было увеличено число спектральных составляющих до
k = 100. Это позволило более точно отразить форму входного сигнала
(рис. 5.13).
Рис. 5.13. Аппроксимация входного сигнала рядом Фурье при k=, n = 0,2
В тригонометрической форме ряд Фурье можно представить также
в следующем виде:
где
– амплитуда k-й спектральной составляющей;
– фазовая характеристика k-й спектральной составляющей.
В наших исследованиях будут интересовать амплитуды
спек-
тральных составляющих, количество и величины которых будут определять мощность сигнала, исходя из его спектрального состава.
5.2. Пример выполнения первого контрольного задания
77
5.2.5. Расчет амплитуд спектральных составляющих сигнала при различном их числе и различных длительностях импульсов
Используя выражения (43) и (44), описывающие коэффициенты
и
ряда Фурье, рассчитаем амплитуды
спектральных составляющих
(различные k) при различных длительностях импульсов (различные коэффициенты n). Для расчетов используем программу математического моделирования Mathcad.
Расчет выполним в соответствии с выражением
.
Данные, полученные в ходе расчета, сведем в табл. 13.
Таблица 13
Данные расчета амплитуд
спектральных составляющих
при различных коэффициентах k и n
Значения коэффициента k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
Данные расчета амплитуд
1
1,56
1,73
0,9
0,28
0,37
0,45
0,32
0,12
0,23
0,3
0,8
1,07
1,49
1,19
0,56
0,23
0,29
0,34
0,34
0,22
0,1
0,6
0,65
1,03
1,1
0,89
0,54
0,24
0,17
0,21
0,25
0,27
0,4
0,32
0,54
0,69
0,74
0,71
0,59
0,44
0,28
0,16
0,11
0,2
0,1
0,16
0,22
0,27
0,31
0,34
0,36
0,37
0,37
0,35 1 0,21
0,08
0,16
0,2
0,15
0,06
0,12
0,16
0,12
0,05
0,8
0,16
0,23
0,23
0,14
0,07
0,11
0,15
0,15
0,1
0,05
0,6
0,24
0,16
0,08
0,09
0,14
0,17
0,18
0,14
0,09
0,05
0,4
0,13
0,14
0,16
0,17
0,18
0,17
0,15
0,11
0,07
0,05
0,2
0,33
0,3
0,26
0,22
0,18
0,14
0,11
0,08
0,06
0,06
В соответствии с амплитудами спектральных составляющих, пред-
ставленными в табл. 13, произведем расчет средней мощности сигнала.
5.2.6. Расчет средней мощности сигнала по его
спектральному составу
Для расчета средней мощности сигнала за период его изменения ис-
пользуем выражение (32):
5. Первое (№ 1) контрольное задание
78
Данные расчета средней мощности сигнала при различном числе
спектральных составляющих и различных длительностях импульсов сведем в табл. 14–18.
По заданию оговорено, что для анализа прохождения сигнала через
линейную цепь необходимо ограничиться числом спектральных составляющих, число которых обеспечит не менее 95 % средней мощности сигнала
(41). В связи с этим число спектральных составляющих должно отвечать
условию
(45)
Таблица 14
Данные расчета мощности сигнала при различном числе
спектральных составляющих при n=1
k 1 2 3 4
12
13
14
3,75
1,22
2,77
3,18
3,22
3,54
3,55
3,57
0,325
0,74
0,847
0,857
0,943
0,947
0,952
Таблица 15
Данные расчета мощности сигнала при различном числе
спектральных составляющих при n=0,8
k 1 2 3 4
15
16
17
3,0
0,581
1,686
2,388
2,547
2,834
2,84
2,852
0,194
0,562
0,796
0,849
0,945
0,947
0,951
Таблица 16
Данные расчета мощности сигнала при различном числе
спектральных составляющих при n=0,6
k 1 2 3 4
20
21
22
2,25
0,214
0,745
1,352
1,748
2,129
2,131
2,136
0,095
0,331
0,601
0,777
0,946
0,947
0,95
5.2. Пример выполнения первого контрольного задания
79
Таблица 17
Данные расчета мощности сигнала при различном числе
спектральных составляющих при n=0,4
k 1 2 3 4
31
32
33
1,5
0,052
0,196
0,432
0,708
1,422
1,423
1,429
0,035
0,13
0,288
0,472
0,948
0,949
0,95
Таблица 18
Данные расчета мощности сигнала при различном числе
спектральных составляющих при n=0,2
k 1 2 3 4
61
62
63
0,75
0,006
0,018
0,042
0,078
0,71
0,711
0,712
0,008
0,024
0,056
0,104
0,949
0,949
0,95
Анализируя данные табл. 14–18, можно отметить следующее:
– при снижении длительности импульсов (уменьшается коэффици-
ент n) уменьшается и средняя мощность сигнала, рассчитанная в соответствии с его спектральным составом;
– при снижении длительности импульсов в 5 раз (n=1 и 0,2) и сохра-
нении при этом периода следования импульсов средняя мощность сигнала,
рассчитанная в соответствии с его спектральным составом, также уменьшается в 5 раз, а число спектральных составляющих возрастает в 4,5 раза.
Используя данные табл. 14–18, проведем графоаналитическое по-
строение сигналов при максимальном числе спектральных составляющих
и различных длительностях импульсов (различные значения коэффициента n) (рис. 5.14–5.18).
Рис. 5.14. Форма сигнала при значениях коэффициентов:
5. Первое (№ 1) контрольное задание
80
Рассматривая данные табл. 14–18 и рис. 5.14–5.18, можно заклю-
чить, что, выбранное число спектральных составляющих (табл. 19), при
различных длительностях импульсов, вполне удовлетворяет использованию аппроксимации сигнала рядом Фурье для дальнейших расчетов.
Рис. 5.15. Форма сигнала при значениях коэффициентов:
Рис. 5.16. Форма сигнала при значениях коэффициентов:
Рис. 5.17. Форма сигнала при значениях коэффициентов:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]