Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сигналы в линейных цепях систем передачи данных. Учебное пособие
.pdf
2.5. Основные свойства преобразований Фурье
31
В полученном выражении при первое слагаемое будет равно
нуль. Это следует из условия интегрируемости сигнала. В результате дифференцирования сигналов и их спектров имеем
.
Можно показать, что сигналу, который является интегралом от ис-
ходного сигнала
соответствует спектральная плотность, которая представляется в виде
2.5.6. Определение спектральной плотности произведения
двух произвольных сигналов
Пусть есть сигнал s(t), который представляет произведение двух
произвольных сигналов , являющихся функциями времени. Вы-
числим спектральную плотность сигнала s(t), используя выражение (20),
являющиеся интегралом прямого преобразования Фурье. Спектральная
плотность представится в виде
(23)
Для дальнейших вычислений и функции времени , являю-
щиеся составляющими сигнала s(t), опишем, используя интеграл обратного
преобразования Фурье:
(24)
В соответствии с этим, в выражении (23) заменим сигнал , выра-
зив его через спектральную плотность сигнала (24), представив его частоту
как x. В результате получим:
2. Спектральное представление детерминированных сигналов
32
В полученном выражении интеграл в квадратных скобках относи-
тельно переменной t будет отражать спектральную плотность
произвольного сигнала f(t) на частоте . Упрощая полученное выра-
жение, придем к следующей записи спектральной плотности произведения
двух произвольных сигналов, как функций времени:
(25)
Полученное выражение (25) показывает, что спектральная плот-
ность произведения двух сигналов , являющихся функциями
времени, определяется интегралом свертки спектральных плотностей
и этих сигналов. Отличие состоит в том, что интеграл свертки
делится на .
Если принять, что частота отвечает условию , то из выраже-
ний (23) и (25) вытекает следующее равенство:
В последнем выражении произведем замену частоты х на частоту .
Это позволяет получить следующее равенство:
где
– комплексно-сопряженная к спектральная плотность.
Проведя подобный анализ, можно показать, что произведению двух
спектральных плотностей сигналов
2.5. Основные свойства преобразований Фурье
33
будет соответствовать сигнал s(t), который является продуктом вычисле-
ния интеграла свертки относительно сигналов :
(26)
Рассматривая выражение (26), можно отметить следующее. Допу-
стим, что имеется некоторая линейная цепь, которая представлена в виде че-
тырехполюсника. Исходя из этого, сигнал
может выступать в роли вход-
ного сигнала линейной цепи. Функция может рассматриваться как импульсная характеристика этой линейной цепи. Функция
может рас-
сматриваться как спектральная плотность входного сигнала. Функция
может рассматриваться как комплексная частотная характеристика линейной цепи. Все это говорит о том, что выражение (26) может быть использовано для анализа прохождения произвольных сигналов через линейные цепи.
2.5.7. Свойства спектральной плотности сигналов
Рассмотрим свойства спектральной плотности различных сиг-
налов s(t), как функций времени. Для этого используем выражение (20),
описывающее спектральную плотность сигнала.
Спектральная плотность сигнала в соответствии с (20)
описывается в виде
1. Функция
в выражении, описывающем спектральную
плотность сигнала, можно представить в виде
В соответствии с этим спектральную плотность сигнала можно опи-
сать следующим образом:
2. Спектральное представление детерминированных сигналов
34
Рассматривая это выражение, можно отметить следующее. В случае, когда сигнал s(t) будет описываться четной функцией относительно t,
то выражение, описывающее спектральную плотность сигнала, сводится
к виду
Обеспечивается это тем, что второй интеграл в выражении, описывающем спектральную плотность сигнала, будет равен нулю, так как в выражении пределы интегрирования симметричны, а произведение s(t)sin(ωt)
представляет собой нечетную функцию относительно t.
Кроме того, следует отметить, что, когда сигнал s(t) будет описываться четной относительно t функцией, то тогда спектральная плотность
сигнала S(jω), определяемая первым интегралом, будет представлять собой
вещественную и четную относительно ω функцию.
2. В случае, когда сигнал s(t), как функция времени, будет описываться нечетной функцией относительно t, то тогда в выражении, описывающем спектральную плотность, в нуль обратится первый интеграл. Спектральная плотность сигнала примет вид
Таким образом спектральная плотность S(jω) сигнала будет описы-
ваться функцией, являющейся нечетной и чисто мнимой.
3. В случае, когда сигнал s(t) нельзя отнести ни к четной ни к нечетной функции времени, его можно разделить на две функции, одна из кото-
рых будет четной , а другая будет нечетной . Тогда спектральная
плотность сигнала будет представлять собой комплексную функцию.
У этой функции действительная часть будет четной, а мнимая часть будет
нечетной относительно ω.
2.6. Автокорреляционная функция
Автокорреляционная функция сигнала u(t) характеризует степень
коллеляции (совпадения) этого сигнала с его копией , сдвинутой
2.6. Авторорреляционная функция
35
на величину . Описывается автокорреляционная функция следующим выражением [3, 7]:
(27)
где – некоторый сдвиг сигнала u(t) по оси времени; − сигнал
, сдвинутый по оси времени на величину .
Автокорреляционная функция имеет следующие свойства:
1. Значение автокорреляционной функции при = 0 равно энергии
сигнала Е:
2. Автокорреляционная функция при 0 снижается и становится
меньше энергии исходного сигнала:
.
3. Автокорреляционная функция представляет собой четную функ-
цию относительно
.
Можно показать функциональную связь между автокорреляционной
функцией
и спектральной плотностью энергии сигнала
. Для
этого сигнал, сдвинутый во времени на (27), выразим используя интеграл обратного преобразования Фурье (21). Подставим его в выражение
(27), проведем соответствующие преобразования. В результате получим
(28)
Из этого выражения можно получить и обратное утверждение
Для сигналов с неограниченной энергией автокорреляционная функ-
ция имеет вид
Подставив в это выражение описание автокорреляционной функции
через спектральную плотность сигнала получим следующее выражение:
2. Спектральное представление детерминированных сигналов
36
В этом выражении величина называется спектральной плот-
ностью мощности. Если известна корреляционная функция, то спектраль-
ная плотность мощности может быть найдена в соотвествии с этим выражением:
3.1. Преобразование линейными цепями периодических сигналов
37
3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
СПЕКТРОВ СИГНАЛОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
В общем виде сигналы, как физические явления способные обеспе-
чить перенос информации из одной точки пространства в другую, делятся
на периодические и непериодические сигналы. Периодический сигнал является детерминированным сигналом, который отвечает условию
, (29)
– наименьший интервал времени, через который повторяются значения
сигнала; – целое число.
Наименьший интервал времени T называется периодом повторения
мгновенных значений периодического сигнала.
Соответственно непериодические сигналы не отвечают условию (29).
В плане рассмотрения вопросов, связанных с прохождением сигна-
лов через линейные цепи, следует ответить на вопрос: что такое спектральный анализ сигналов? В общем виде под спектральным анализом рассматривают вычислительный процесс или экспериментальные исследования, направленные на отыскание спектрального состава сигнала в различных узлах систем передачи информации.
3.1. Преобразование линейными цепями периодических сигналов
У сигналов, проходящих через линейные цепи, спектр входного и
выходного сигналов совпадают. Это говорит о том, что линейные цепи не
изменяют спектральный состав сигнала, т. е. между входными и выходными сигналами и спектральными составляющими входного и выходного
сигналов существует взаимнооднозначное соответствие. Таким образом
линейные цепи обеспечивают изменение формы сигнала. С одной стороны,
эти изменения могут быть полезными и оправданными, когда сигналу на
выходе линейной цепи необходимо придать требуемую форму. Например,
на входе линейной цепи в качестве периодического сигнала используется
последовательность прямоугольных импульсов, а сигнал на выходе линейной цепи должен отражать дифференциал или интеграл от входного сигнала, либо в сигнале на выходе линейной цепи должна присутствовать
3. Теоретические особенности преобразования спектров сигналов в линейных…
38
только часть спектральных составляющих входного сигнала и т. п., а с другой стороны изменения формы сигнала могут быть паразитными. В любом
случае изменение формы сигнала обеспечивается изменением соотношения между амплитудами и начальными фазами спектральных составляющих входного и выходного сигналов. В соответствии с этим можно отметить, что под задачей анализа преобразования сигнала линейной цепью
можно понимать решение задачи, связанной с преобразованием спектра
входного сигнала при заданном операторе преобразования линейной цепи.
Решение этой задачи позволяет найти спектральные составляющие (амплитуды и начальные фазы) выходного сигнала.
Из математики известно, что для периодического сигнала множество
спектральных составляющих определяется множеством коэффициентов
обобщенного ряда Фурье:
где – коэффициенты обобщенного ряда Фурье;
– функции, входящие
в ортонормированный базис функций.
Одним из базисов ортонормированных функций является базис
тригонометрических функций и . Таким образом, если спек-
тральный состав сигнала найден, то это говорит о том, что найдены амплитуды и начальные фазы сигналов, изменяющихся по гармоническому
закону.
Если для нахождения спектрального состава сигнала используется
ортонормированный базис тригонометрических функций, то тогда ряд
Фурье записывается виде [3]
(30)
где амплитуда k-й спектральной составляющей;
– вещественная часть амплитуды k-й
3.1. Преобразование линейными цепями периодических сигналов
39
спектральной составляющей;
– мнимая часть
k-й спектральной составляющей;
– начальная фаза часть k-й
спектральной составляющей.
В соответствии с рядом Фурье (30) и коэффициентов, которые вхо-
дят в него, следует отметить следующие особенности ряда:
– в случае, когда исходный сигнал представляет собой четную функ-
цию (сигнал достигает максимального значения в начале координат
( ) и симметричен относительно начала координат ), то
коэффициенты
равны нулю;
– в случае, когда исходный сигнал представляет собой нечетную
функцию (сигнал достигает минимального значения в начале координат
( )), то тогда коэффициенты
равны нулю;
– дискретный спектр исходного сигнала определяется только спек-
тром амплитуд (амплитуды спектральных составляющих
) и спектром
фаз (начальные фазы
спектральных составляющих);
– спектр амплитуд периодического сигнала является линейчатым
(дискретным), так как этот спектр включает множество отдельных спектральных составляющих; каждая спектральная составляющая имеет свою
фиксированную частоту ; круговая частота
отражает собой частоту повторения периодического сигнала и опреде-
ляется выражением .
В общем виде средняя мощность сигнала
характеризует скорость
изменения энергии сигнала и описывается следующим выражением:
(31)
где
– временной диапазон, в рамках которого определен сигнал.
Зная амплитуды спектральных составляющих исходного сигнала,
среднюю мощность этого сигнала можно определить следующим образом:
(32)
Возможность разложения сложных периодических сигналов на
спектральные составляющие является мощным инструментом при
3. Теоретические особенности преобразования спектров сигналов в линейных…
40
решении задач анализа сигналов отклика на выходе линейной цепи. При
проведении подобного анализа используют метод спектрального анализа.
Суть этого метода состоит в выполнении следующих операций.
Допустим, что имеется линейная цепь, которая может рассматриваться, как некоторый четырехполюсник с двумя парами внешних зажимов. К одной паре зажимов, являющихся входными зажимами линейной
цепи, прикладывается периодический сигнал. Требуется найти сигнал
на второй паре зажимов, являющихся выходными данной линейной
цепи, используя спектральный метод анализа. Порядок расчета представляется в виде.
1. Пусть в соответствии со спектральным методом анализа исход-
ный сигнал представляется рядом Фурье (30). Для описания сигнала рядом
Фурье вычисляем коэффициенты и, амплитуды
и начальные фазы
Θ спектральных составляющих
2. Находим комплексную частотную характеристику коэффициента
передачи напряжения линейной цепи
,
где – модуль комплексной частотной характеристики коэффициента
передачи напряжения (амплитудно-частотная характеристика), а
−
аргумент комплексной частотной характеристики коэффициента передачи
напряжения (фазочастотная характеристика) цепи.
3. Распишем функцию через экспоненциальные функции
.
Учитывая, что , запишем выраже-
ние, описывающее мгновенный комплекс для k-й спектральной составляющей входного сигнала в соответствии с рядом Фурье
,
где
иΘ
– амплитуда и начальная фаза соответственно k-й
спектральной составляющей на частоте
.
4. Найдем мгновенный комплекс сигнала на выходе цепи в соответ-
ствии с к k-й спектральной составляющей исходного сигнала:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]