Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сигналы в линейных цепях систем передачи данных. Учебное пособие
.pdf
2.4. Спектральный анализ непериодических сигналов
21
Поскольку интеграл в квадратных скобках этого выражения равен
периоду , то значение средней мощности определяется выражением [4]
Таким образом, средняя мощность периодического сигнала опреде-
ляется суммой квадратов амплитуд спектральных составляющих, на которые разлагается этот сигнал.
Используя в качестве ортогонального базиса гармонические функ-
ции, средняя мощность сложного сигнала может быть представлена в виде
Интеграл во втором слагаемом равен нулю, поскольку интеграл от
гармонической функции за период ее изменения равен нулю. Тогда формулу для расчета средней мощности можно преобразовать к виду
(15)
Таким образом, и в этом случае, когда используется аппроксимация
сигналов рядом Фурье в тригонометрической форме, получаем, что средняя мощность периодического сигнала может быть описана суммой квадратов амплитуд спектральных составляющих, на которые разлагается
сложный сигнал.
2.4. Спектральный анализ непериодических сигналов
Известно, что сигналы могут быть как периодическими, так и непе-
риодическими. Периодические сигналы можно аппроксимировать рядом
2. Спектральное представление детерминированных сигналов
22
Фурье (12) и (13). Учитывая, что множество сигналов в радиотехнических
устройствах являются непериодическими функциями, распространим выражения, относящиеся к ряду Фурье на непериодические сигналы.
Допустим, что имеется непериодический сигнал s(t), представлен-
ный в виде одиночного импульса, отличный от нуля на временном интервале [t1, t2].
Определим для этого импульса интервал времени (0, Т), на котором
он существует. Тогда его можно представить в виде периодического сигнала с периодом повторения T. Периодический сигнал описывается рядом
Фурье, например, в комплексной форме:
(16)
В выражении (15) k-й коэффициент ряда Фурье может быть рассчи-
тан по формуле
(17)
Подставляя (17) в (16), находим аппроксимацию непериодического
сигнала рядом Фурье:
(18)
Для периодической функции разложение сигнала в ряд Фурье при-
водит к получению дискретного спектра. При этом каждому коэффициенту
сk соответствует круговая частота k
1
. Таким образом, составляющие спек-
тра сигнала отстоят друг от друга на величину
.
Если для периодического сигнала период Т устремить к бесконечно-
сти, то можно перейти к одиночному импульсу, т. е. непериодическому сиг-
налу. В этом случае будет стремиться к бесконечно малой ве-
личине . Частоты спектральных составляющих
будут представлять
собой текущие частоты , поскольку
Заменяя в выражении (18) операцию суммирования относительно
бесконечно малых величин операцией интегрирования, имеем [2, 3, 7]
2.4. Спектральный анализ непериодических сигналов
23
(19)
В выражении интеграл в круглых скобках
является функцией частоты и называется спектральной плотностью сиг-
нала s(t). В случае, когда интервал интегрирования неопределен, спектраль-
ная плотность сигнала рассматривается в диапазоне частот от
−
до
+
(20)
Подставляя (20) в выражение (19), получим
(21)
Выражение (20) называется прямым, а (21) – обратным преобразо-
ваниями Фурье. Первое из этих выражений позволяет провести анализ не-
периодических сигналов в частотной области, а второе – во временной области, т. е. восстановить сигнал по его спектральной плотности.
Экспоненциальную функцию в выражении (27) можно представить
в виде суммы функций и , тогда выражение для спектральной
плотности будет иметь вид
где
и
― действи-
тельная и мнимая части спектральной плотности;
и
― модуль и аргумент спектральной плотности непе-
риодического сигнала.
2. Спектральное представление детерминированных сигналов
24
2.5. Основные свойства преобразования Фурье
С целью качественного решения задач, связанных со спектрами сигналов, проследим связь спектральной плотности сигналов (20) и описанием
сигналов во временной области (21). Это можно сделать, рассматривая
свойства преобразований Фурье, связанных с преобразованиями сигналов,
как функций времени, так и спектров сигналов, как функций частоты [4].
2.5.1. Сдвиг сигналов по оси времени
Пусть имеется некоторый произвольный сигнал . Допустим,
что этот сигнал расположен на оси времени в пределах временного интер-
вала от до
. При этом этому сигналу соответствует спектральная плот-
ность (20).
Выполним сдвиг сигнала во времени на постоянную величину
. В результате получим новый сигнал, отвечающий условию
. Спектральная плотность вновь образованного сигнала
принимает следующий вид:
Произведем замену переменной интегрирования t на = t − t0. В этом
случае спектральная плотность сигнала представится в виде
Рассматривая спектральную плотность сигнала , который был получен за счет перемещения по временной оси сигнала на
величину
, можно сделать следующие выводы:
– спектральная плотность амплитуд спектральной плотности
сигнала не изменяется;
– спектральная плотность фаз спектральной плотности сигнала пре-
терпевает изменение на величину
;
2.5. Основные свойства преобразований Фурье
25
– добавление фазового сдвига
к фазе каждой спектральной со-
ставляющей сигнала позволяет говорить о том, что сигнал по
временной оси сдвигается на
.
Для понятия данного свойства спектральной плотности сигнала рас-
смотрим следующий пример. Пусть имеется последовательность, состоя-
щая из N прямоугольных импульсов длительностью
и амплитудой А. Эти
импульсы находятся на одинаковом расстоянии T друг от друга (рис.2.5).
Необходимо вычислить спектральную плотность, рассматриваемой последовательности импульсов.
Рис. 2.5. Последовательность прямоугольных импульсов
Решение задачи проведем в следующем виде. Поскольку в задаче
рассматривается последовательность одинаковых прямоугольных импульсов, то используем при решении задачи спектральную плотность прямоугольного импульса, которая описывается выражением
Пусть этот импульс в последовательности будет первым.
Согласно свойства спектральной плотности о сдвиге сигнала по оси
времени, можно заключить, что спектральные плотности второго, третьего
и т. д. до N-го импульсов в последовательности, будут представлять собой
спектральные плотности первого импульса, где фазовые характеристики
изменяются на , где n = 1, 2, 3, …, N – номер прямоугольного им-
пульса в последовательности
2. Спектральное представление детерминированных сигналов
26
Тогда, суммируя эти выражения, можно записать спектральную
плотность последовательности, состоящей из N импульсов, в виде следующей суммы:
. (22)
В соответствии с этим выражением относительно спектральной
плотности последовательности импульсов можно отметить следующее:
– каждое слагаемое в квадратных скобках выражения (22) на часто-
тах , где n = 1, 2, 3 ,…, N – 1, равно 1, а в окрестности этой
частоты будет размещена спектральная плотность первого импульса
последовательности импульсов;
– модуль спектральной плотности амплитуд спектральной плотности последовательности импульсов, где имеется N импульсов, будет опре-
деляться следующим произведением . Таким образом
модуль спектральной плотности амплитуд последовательности импульсов
в N раз больше модуля спектральной плотности амплитуд одиночного импульса. Это обеспечивается тем, что спектральные составляющие импуль-
сного сигнала с частотами суммируются друг с другом с фазо-
выми сдвигами, которые кратны 2;
– суммарная спектральная плотность амплитуд последовательности
импульсов равна нулю на частотах и на частотах, когда в
квадратных скобках выражения (22) сумма слагаемых обра-
щается в нуль;
– модуль спектральной плотности амплитуд последовательности
импульсов задается геометрической суммой различных спектральных
плотностей отдельных импульсов на частотах , отличных от частот .
Для примера на рис. 2.6 представлен график, на котором отражен
модуль спектральной плотности амплитуд последовательности импульсов.
Последовательность импульсов имеет три равноотстоящих друг от друга
прямоугольных импульса. Длительность каждого импульса равна
, а пе-
риод следования импульсов равен
. На рис. 2.6 пунктирной линией
показан модуль спектральной плотности амплитуд одиночного импульса
из последовательности импульсов.
2.5. Основные свойства преобразований Фурье
27
Рис. 2.6. Модуль спектральной плотности амплитуд последовательности
прямоугольных импульсов, состоящей из трех равноотстоящих импульсов
2.5.2. Изменение временного масштаба импульсного сигнала
Пусть имеется некоторый импульсный сигнал . Длительность
этого сигнала равна
(на рис. 2.7 представлен сплошной линией).
Проведя изменение на n масштаба времени для этого сигнала, будем
иметь новый сигнал .
Рис. 2.7. Импульсный сигнал (1), копии сигнала: сжатый (2) и растянутый (3)
во времени
Новому сигналу на рис. 2.7 соответствует пунктирная линия при n1
(сигнал сжимается во времени), либо штрихпунктирная линия при n1 (сигнал растягивается во времени).
Импульсному сигналу будет соответствовать спектральная
плотность . Тогда для сигналов с измененным масштабом времени
спектральную плотность можно представить в виде
2. Спектральное представление детерминированных сигналов
28
Произведем изменение переменной интегрирования t на = nt. В ре-
зультате этого получим:
Выполненные расчеты позволяют сделать следующие выводы относительно сигналов, масштаб которых во времени изменяется в n раз.
Например, при сжатии сигнала в n раз происходит следующее:
– спектр сигнала по оси частот растягивается также в n раз;
– амплитуды спектральных составляющих спектральной плотности
амплитуд снижаются в n раз.
При растяжении сигнала по временной оси в n раз на оси частот про-
исходит уменьшение ширины спектра сигнала. Амплитуды спектральных
составляющих спектральной плотности амплитуд при этом увеличиваются
в n раз.
2.5.3. Перемещение спектра произвольного сигнала по оси частот
Пусть произвольный сигнал умножается на сигнал, изменяю-
щийся по гармоническому закону. Функции, представляющие гармониче-
ский сигнал, могут изменяться по косинусоидальному Θ или
синусоидальному Θ законам. При этом частота изменения
гармонических функций является постоянной величиной
.
Тогда в соответствии с выражением (20), описывающем спектральную плотность сигнала, можно описать спектральную плотность сигнала,
представляющего собой произведение произвольного сигнала и сигнала,
изменяющегося по гармоническому закону:
В этих выражениях произведем замену функций косинус и синус:
2.5. Основные свойства преобразований Фурье
29
В результате подобной замены получим:
В полученных выражениях, первый и второй интегралы отражают
спектральные плотности исходных сигналов Θ и
Θ в областях частот и . С учетом этого
выражения, описывающие спектральную плотность произведения произ-
вольного сигнала и сигналов, изменяющихся по гармоническому за-
кону, можно свести к виду:
В соответствии с этими выражениями можно отметить следующее:
– умножение исходного сигнала на сигнал, изменяющийся по
косинусоидальному Θ или синусоидальному Θ
законам с постоянной частотой, приводит к тому, что спектр этого сигнала
разделяется на две части; эти части спектра смещаются по оси частот на
величины и
;
– перемещение спектра произвольного исходного сигнала по оси
частот эквивалентно умножению этого исходного сигнала на сигнал, изменяющийся по гармоническому закону и имеющему постоянную ча-
стоту
.
2. Спектральное представление детерминированных сигналов
30
2.5.4. Функциональная связь суммы сигналов и спектральных
плотностей этих сигналов
Выражение прямого преобразования Фурье (20), которое определяет
спектральную плотность сигнала, как функции времени, представляется
линейным. Подобное позволяет говорит о том, что сумме
произволь-
ных сигналов
:
,
которым соответствуют спектральные плотности
будет
свойственна спектральная плотность, которая представляется в виде:
2.5.5. Связь операций интегрирования и дифференцирования
сигналов и спектральной плотности этих сигналов
Пусть имеется некоторый произвольный сигнал . Проведем
анализ связи операций дифференцирования и интегрирования произ-
вольного сигнала с его спектральной плотностью. При этом под
дифференцированием произвольного сигнала будем понимать дифференцирование множества спектральных составляющих этого произвольного сигнала, где спектральные составляющие изменяются по гармоническому закону.
В выражении, описывающем спектральную плотность сигнала (20),
присутствует функция . Дифференциал от этой функции равен
. Согласно этому можно отметить следующие тождества с
учетом того, что сигнал
равен дифференциалу от сигнала :
Это можно было бы получить, вычисляя спектральную плотность
сигнала
с использованием преобразования Фурье:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]