Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сигналы в линейных цепях систем передачи данных. Учебное пособие
.pdf
1.4. Энергетические характеристики комплексных сигналов
11
величины должны быть действительными несмотря на то, что сигналы комплексные [4, 6]. Рассмотрим это.
1. Мгновенная мощность комплексного сигнала определяется про-
изведением комплексного и комплексно-сопряженного сигналов
,
где ′ и – действительная и мнимая части комплексного сигнала.
2. Энергия комплексного сигнала на интервале времени
определяется выражением:
3. Средняя мощность комплексного сигнала на интервале вре-
мени
имеет вид
Энергия и средняя мощность от суммы двух комплексных сигналов
и на интервале времени
принимает вид
В данном выражении:
=
– энергия первого сигнала;
=
– энергия второго сигнала;
1. Сигналы. Детерминированные модели сигналов
12
=
– взаимная энергия пер-
вого и второго сигналов;
ср
=
– средняя мощность первого сигнала;
ср
=
– средняя мощность второго сигнала;
ср
=
– взаимная средняя
мощность первого и второго сигналов.
Как относительно вещественных сигналов, так и относительно ком-
плексных сигналов и , рассматриваемых на интервале времени
, выполняется условие ортогональности, если их взаимная сред-
няя мощность
ср
или взаимная энергия
равны нулю.
2.1. Описание сложных периодических сигналов рядом Фурье
13
2. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
2.1. Описание сложных периодических сигналов рядом Фурье
Сигналы делят на периодические и непериодические. Периодиче-
ский сигнал представляет детерминированный сигнал, мгновенные значе-
ния которого повторяются через равные промежутки времени. Параметр
T
, равный наименьшему интервалу времени, через который повторяются
мгновенные значения периодического сигнала, называется периодом. Таким образом, периодические сигналы удовлетворяют условию
, (4)
где n – любое целое число.
Непериодические сигналы условию (4) не удовлетворяют.
К основным энергетическим характеристикам сигналов относят его
мгновенную (1) и среднюю (3) мощность, а также энергию (2).
При анализе прохождения сигналов через радиотехнические цепи
важным является представление (аппроксимация) реальных детерминированных сигналов. В качестве критерия качества аппроксимации используют разность мощностей или энергий реального сигнала и предлагаемой
модели сигнала. Эта разность должна быть минимальной.
В большинстве случаев аппроксимировать сложный сигнал одной
функцией с достаточной степенью точности невозможно. Однако при аппроксимации сигналов можно использовать множество аппроксимирую-
щих функций , где ― номер аппроксимиру-
ющей функции. В этом случае каждая из этих функций будет вносить свой
вклад в точность аппроксимации исходного сигнала:
(5)
Таким образом, выбрав аппроксимирующие функции и определив коэффициенты аппроксимации , исходный сигнал можно
представить суммой произведений функций и коэффициентов
.
Для упрощения вычислений в качестве множества аппроксимирующих функций
используют ортонормированные функции, кото-
рые попарно отвечают условию ортогональности
2. Спектральное представление детерминированных сигналов
14
(6)
Из (6) следует, что для базиса ортогональных функций взаимная
энергия двух функций не равна нулю только при равенстве между собой
индексов этих функций. Таким образом, нулю не равна энергия от функции, умноженной само на себя, если при этом она сама не равна нулю.
Если для функции выполняется условие
, (7)
то подобная функция называется нормированной. Функции, отвечающие условиям (6) и (7), называются ортонормированными. Базис (множество) подобных функций используется в качестве системы действительных функций при описании периодического сигнала обобщенным рядом Фурье (5).
Аппроксимирующие функции из системы базисных функций могут
принимать комплексные значения . Пусть функция
представляет комплексно-сопряженную к . В этом случае условие ор-
тогональности принимает вид
А обобщенный ряд Фурье запишется в следующем виде:
При стремлении достичь точного представления сигнала наиболее
часто используют ортонормированную систему гармонических функций
и . Это определяется следующими соображениями:
– гармоническое колебание является простейшей функцией;
– гармоническое колебание не поддается дальнейшему разложению
на спектральные составляющие;
– гармонические колебания представляют единственные функции
времени, которые не изменяют своей формы при прохождении через линейные радиотехнические цепи (элементы этой цепи имеют постоянные
параметры), изменяется лишь амплитуда и фаза колебания;
2.1. Описание сложных периодических сигналов рядом Фурье
15
– использование гармонических колебаний в качестве аппроксимирующих сигналов позволяет применять символические методы (например,
метод комплексных амплитуд) для анализа линейных цепей в установившемся режиме.
Для записи обобщенного ряда Фурье (10) в тригонометрической форме
возможно использовать следующую систему ортогональных функций:
(8)
Ортогональность этих функций (8) выполняется на временном ин-
тервале, равном периоду изменения исходного сигнала .
Тогда обобщенный ряд Фурье (11) принимает вид:
(9)
где коэффициенты
равны
Используя преобразование Эйлера
, коэффициенты
можно представить к виду
, (10)
где
;
− коси-
нусоидальная и синусоидальная составляющие коэффициентов
.
Комплексное число, описывающее коэффициент
в алгебраиче-
ской форме (10), можно представить в показательной форме
,
где
– модуль, а
– аргумент ко-
эффициента
.
С учетом значений коэффициентов
можно записать комплексную
форму ряда Фурье (9):
(11)
2. Спектральное представление детерминированных сигналов
16
Так как при в базисе ортогональных функций (8) присут-
ствует только одна функция, равная единице, то ряд Фурье (11) можно
представить в более удобной форме:
(12)
Учитывая значения коэффициентов и
(10), тригонометриче-
ский ряд Фурье окончательно принимает следующий вид [7, 8]:
(13)
где
;
;
;
.
Рассматривая тригонометрический ряд Фурье (13) и коэффициенты,
входящие в него, можно обнаружить следующие свойства:
– если сигнал описывается четной функцией (сигнал симметричен
относительно начала координат и достигает максимума при
), то в ряде Фурье коэффициенты
будут равны нулю;
– если сигнал описывается нечетной функцией (при сигнал до-
стигает минимального значения), то в ряде Фурье коэффициенты
будут
равны нулю;
– структура частотного спектра исходного сигнала полностью опре-
деляется спектром амплитуд (модули коэффициентов
) и спектром фаз
(аргументы
комплексных коэффициентов);
– спектр амплитуд периодического сигнала является линейчатым
(дискретным), поскольку он состоит из отдельных спектральных составля-
ющих, каждая из которых имеет свою частоту
и свою амплитуду. На рис. 2.1 представлен спектр амплитуд для
коэффициентов
, а на рис. 2.2 − для коэффициентов
, соответ-
ствующих одному и тому же сигналу;
2.2. Зависимость спектра периодической последовательности импульсов…
17
Рис. 2.1. Коэффициенты
комплексного ряда Фурье
Рис. 2.2. Коэффициенты
тригонометрического ряда Фурье
– ширина спектра периодического сигнала определяется частотой
спектральной составляющей (
), имеющей амплитуду на огово-
ренном (заданном) уровне, например, амплитуда составляет 0,707 от максимальной амплитуды какой-либо спектральной составляющей.
2.2. Зависимость спектра периодической последовательности
импульсов от длительности импульсов
Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных
импульсов (рис. 2.3). Амплитуда каждого импульса равна A, длительность каждого импульса последовательности равна
и
, а период следования
импульсов − . Соответственно скважность этой последовательности будет
равна
и
.
Рис. 2.3. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Вычислим спектральный состав этой последовательности импуль-
сов. Для этого используем выражение (13). Пусть рассматриваемая после-
довательность импульсов, будет четной функцией. Тогда коэффициенты
и аргументы ряда Фурье будут равны нулю. Соответственно для
k
2. Спектральное представление детерминированных сигналов
18
проведения аппроксимации периодической последовательности импульсов
необходимо вычислить коэффициенты и
.
Коэффициент будет иметь вид
Коэффициент
для k-й гармоники спектра равен:
В соответствии с коэффициентами и
ряд Фурье, аппроксимирующий последовательность прямоугольных импульсов (рис. 2.3), принимает вид
Из выражения можно видеть, что модуль k-го коэффициента
ра-
вен:
В этом выражении аргумент функции
умножим и раз-
делим на
(14)
Это не изменит сути выражения, однако, позволит получить выра-
жение, которое обеспечивает проведение анализа спектра сигнала (рис. 2.4)
периодической последовательности импульсов.
Выражение (14) позволяет сделать следующие выводы относи-
тельно спектра периодической последовательности импульсов.
1. Функция
будет равна нулю на частотах
.
2.2. Зависимость спектра периодической последовательности импульсов…
19
2. Минимальная частота спектра периодической последовательно-
сти (частота следования импульсов в последовательности) равна
. Это говорит о том, что число спектральных составляющих в диа-
пазонах частот и, ии и т. д. равно
и . Таким образом, число спектральных составляющих в
спектре периодической последовательности импульсов растет с увеличе-
нием скважности
и
следования импульсов или же с уменьшением
длительности
и
импульсов. Частотный интервал между спектральными
составляющими уменьшается, а амплитуды спектральных составляющих
медленно убывают.
Рис. 2.4. Спектр периодической последовательности импульсов
3. Из математики известно, что при малых функция
принимает вид ии. В этом случае амплитуды спек-
тральных составляющих представляются в виде
Из выражения можно видеть, что при малых амплитуды спек-
тральных составляющих периодической последовательности импульсов
обратно пропорциональны скважности следования импульсов, т. е. амплитуды спектральных составляющих уменьшаются.
4. Спектр периодической последовательности импульсов (рис. 2.4)
состоит из бесконечного множества «лепестков», расположенных в диапа-
зонах частот и, и и, ... , и
2. Спектральное представление детерминированных сигналов
20
и
, ... , и имеющих свои спектральные составляющие. С учетом этого
выражение (20) можно свести к виду
где – номер спектральной составляющей в «лепестке» спектра;
номер «лепестка» спектра.
На границах частотных диапазонов «лепестков» спектра амплитуды
спектральных составляющих равны нулю. При выполнении равенства
и
и
амплитуды спектральных составляющих имеют макси-
мальное значение
. Это возможно при выполнении равен-
ства
, т. е. при . Максимальная амплитуда
спектральных составляющих в «лепестке» спектра уменьша-
ется пропорционально как номеру «лепестка», так и скважности следования импульсов.
5. Протяженность частотных диапазонов каждого «лепестка» спек-
тра имеет вид
Поскольку и , то частотный диапазон «лепестка» спектра ра-
вен П
, т. е. зависит от скважности следования импульсов. С ростом
скважности следования импульсов ширина спектра растет пропорцио-
нально скважности.
2.3. Мощность спектра периодического сигнала
Допустим, что сигнал , являющийся током или напряжением,
описывается сложной периодической функцией. Энергия этого сигнала (2)
представляет собой бесконечную величину, поскольку ∞, а ∞.
Для подобных сигналов большой интерес представляет оценка средней
мощности (3).
Периодический сигнал может быть описан обобщенным рядом
Фурье (11), в котором каждая спектральная составляющая имеет свою ампли-
туду
, а базисные функции
принадлежат ортонормированному базису
функций. Тогда мощность сигнала может быть рассчитана по формуле
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]