Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Учебно-методическое пособие
.pdf
Глава 10
+
x
2
(
)
(
)
(
)
++=
x
sin
(
)
(
)
=
x
x
yyx
z
+⋅=
x
x
yxz
−
=
uvv
⋅
(
)
+⋅=
Дифференциальное исчисление
функции нескольких переменных
§1. Область определения функции нескольких переменных
В задачах 10.1 - 10.12 найти и изобразить на координатной плоскости xy
области определения функций:
yx
10.1. . 10.2. . 10.3. .
=
yx
−
z
2
z
=
1
=
22
yx
−
z
1
22
44
−+
yx
10.4. . 10.5. .
yxyxz −−++= 1
1
( )
z ⋅−
10.6. . 10.7. . 10.8. .
yxz += ln
= ln
yx
−
22
10.9. . 10.10. . 10.11. .
z
10.12. .
1ln −−
=
2
yx
y
84ln
+−= xyz
2arcsin
xyz
22
11 yxz −+−=
2
yx
ln
z
=
z
⋅
xy
−
2
y
1
+
=
§2. Линии уровня функции нескольких переменных
В задачах 10.13 - 10.24 написать уравнения линий уровня функции
yxfz ;
и построить их:
2
xy
−
2
2
x
z =
2
y
2
yyxz +⋅=
yxz −=
10.13. . 10.14. . 10.15. . 10.16. .
2
xyz −=
z =
x
z
=
y
y
10.17. . 10.18. . 10.19. . 10.20. .
10.21. . 10.22. . 10.23. . 10.24.
z =
2
xyz −=
z =
1−⋅= yxz
y
3
yz2
=
.
§3. Частные производные функции нескольких переменных
В задачах 10.25 - 10.42 найти частные производные первого порядка:
10.25. . 10.26. . 10.27. .
3 yyxxz −⋅+=
32
yx
z
10.28. . 10.29. . 10.30. .
=
22
yx
+
81
1tg
yxz
u
z +=
yz2
=
10.31. . 10.32. . 10.33. .
yyxzarcsin
ln
+⋅=
x
x
z
=
(
)
e
z
=
x
(
)
zyx
u
⋅⋅=
zxzyyxu
⋅+⋅+⋅
=
x
u
=
x
u
′
′
′
′
′
′
(
)
3
(
)
+
(
)
=
(
)
⋅
=
e
z
e
u
=
dx
ayy
x
=−⋅
ln
(
)
x
∂
∂
czbya
z arctg=
y
y
10.34. . 10.35. . 10.36. .
=
x
sin
yz
y
10.37. . 10.38. . 10.39.
10.40. . 10.41. . 10.42. .
xz ln⋅=
ln yxxz ++=
y
z
В задачах 10.43 - 10.48 найти производные второго порядка , , :
10.43. . 10.44. .
10.45. . 10.46. .
10.47. . 10.48. .
ln yxxz ++=
x
ln
yz
=
5 yxyxxz ⋅−⋅+=
323
22
423
15 +⋅= yxz
22
z
xx
1
22
yxz +=
yx
z
=
arctg
xy
−
1
xyz arcsin
y
x
z
y
=
z
z
yy
xy
3
В задачах 10.49 - 10.52 найти смешанные производные указанного
порядка от следующих функций:
3
z
∂
10.49. от . 10.50. от .
2
yx
∂∂
2
u
∂
sin
10.51. от . 10.52. от .
yz
∂∂
yxz
222
xzzyxu 2
−++=
3
z
∂
2
yx
∂∂
3
u
∂
zyx
∂∂∂
2
xy
=
xyz
§4. Производные от функций нескольких переменных, заданных
неявно
dy
В задачах 10.53 - 10.58 найти производные от следующих функций:
433
10.53. . 10.54. .
axyyx =⋅−⋅
10.55. . 10.56. .
10.57. . 10.58. .
3
33
2
yyx =+
xy
yx =
В задачах 10.59 - 10.66 найти частные производные , от
следующих функций:
2
2
10.59. . 10.60. .
x
2
10.61. . 10.62. .
2
1
=++
2
2
222
12
=⋅+++ zxzyx
yxxy
eeyex
23
=⋅++ yxyx
0=−⋅+⋅
1cos
z
∂
222
3 azyxz =⋅⋅+
=++− zzyx
33
z
y
∂
0422
82
10.63. . 10.64. .
1,0,15,0,1,1
=∆=∆=
=
yxy
x
11,0
=
∆
x
02,0
−=∆
y
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
⋅⋅=⋅+⋅+
⋅
(
)
e
z
=
xyxz
sin
⋅
=
(
)
x
u
=
x
01,0,5,2
=∆=
=
yyx
(
)
016
,0,2,
1
=∆=
=
xyx
e
z
=
dz
(
)
(
)
(
)
z
0=⋅⋅− zyxe
z
yxe
coscos ⋅=
10.65. . 10.66. .
sin
zyxzyzxyx
zyxzx ⋅⋅=⋅ ln
§5. Дифференциал функции нескольких переменных.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
10.67. Найти частные дифференциалы первого порядка и полный
дифференциал для функций:
x
z =
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
10.68. Для функции вычислить частный дифференциал
y
ln yxz +=
22
3
yxz +=
при .
10.69. Для функции вычислить частный дифференциал
yx
yz
2
yz
xu +++−=
yxz ⋅= ln
zyx
zd
y
zd
x
при .
10.70. Для функции найти значение полного дифференциала при
yx
.
10.71. С помощью дифференциала найти приближенное значение приращения
функции в точке :
22
1) , , если
2)
−+=
22
xyyxz 532
−+=
; yxM
000
xyyxz 2011
M
0
при переходе от точки к точке
1;11
M
0
,
3;9
M
;
1
96,2;02,9
.
10.72. С помощью дифференциала найти приближенное значение числового
выражения:
1)
4)
7)
96,3
08,1
3
; 2)
99,1
+
; 5) 2
02,304,1
22
106,197,4 ++
; 8)
2
98,3
03,198,3 ⋅
03,111,0ln +
; 3)
⋅⋅+⋅
33
; 9)
07,194,2994,22
>
?@+AB
; 6)
2
03,2
;
22
;
98,302,3 +
33
;
705,103,2
++
10)
arcctg
01,5
; 11)
98,4
83
23
1
5
.
103,295,2 ++
10.73. Высота конуса H = 10 см, радиус основания R = 5 см. Как изменится
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
(
)
=
(
)
a
(
)
−
{
}
=
(
)
+
=
(
)
−
{
}
−−=
x
(
)
{
}
−
=
+
(
)
−
{
}
=
(
)
{
}
−
=
{
}
−
=
(
)
⋅⋅=
π
(
)
{
}
−
=
(
)
(
)
{
}
−
=
⋅
(
)
{
}
−−=
объём конуса при увеличении высоты на 2 мм и уменьшении радиуса на 2
мм?
10.74. Одна сторона прямоугольника a = 6 дм, другая b = 8 дм. Как изменится
диагональ прямоугольника, если a уменьшить на 4 см, а b укоротить на 1 см?
§6. Градиент и производная по направлению функции многих
переменных.
10.75. Для функции найти проекции градиента в точке
2
132
−+⋅−= yyxxz
2;1
. Вектор построить.
10.76. Для функции построить линию уровня и градиент в
точке .
10.77. Для функции построить линию уровня, градиент функции
в точке и найти модуль градиента.
10.78. Для функции найти и .
10.79. Найти производную функции в точке в
2;1A
2;1A
направлении .
10.80. Найти производную функции в точке
1;3N
в направлении, идущим от этой точки к точке .
10.81. Для функции в точке найти градиент и
zgrad
4 yxz −−=
z
=
4
22
yx
+
22
222
zyxu ++=
000
60cos;60cos;45cos=l
yxfz ;
ugrad
222
zyxu ++=
; yxM
000
ugrad
1;1;1A
223
133
+⋅+⋅−= yxyxxz
5;6M
производную по направлению вектора :
2
yxz 23
1) , , ;
2) , , ;
z arctg=
3) , , ;
+−=
yxz 23ln
y
M
M
0
0
M
3;1
2;1
1;1
0
a
a
a
8;6
4;3
12;5
4) , , ;
5) , , ;
6) , , ;
7) , , ;
8) , , ;
9) , , .
=
2
sin
ln yxz +=
=
z
22
yx
+
33
yxyxz ⋅+⋅=
yxz cos
⋅=
yxz
2
yx
22
1
++
yx
M
M
M
M
M
M
0
0
0
0
0
0
2;1
3;1
π
;1
2
1;1
4;3
1;0
84
a
a
a
a
a
a
2;1
1;2
12;5
1;1
8;6
1;1
z
yx
10.82. Найти производную по направлению наибыстрейшего роста функции в
(
)
(
)
(
)
−
=
(
)
(
)
⋅
=
(
)
(
)
(
)
e
z
(
)
(
)
(
)
x
z
(
)
zyzxu
cos
sin
⋅−⋅
=
9
(
)
(
)
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
(
)
(
)
−
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
точке :
, yxM
000
1
z
1) , ; 2) , ;
=
22
yx
+
M
1;1
0
yxz 45ln
M
1;2
0
3) , ; 4) , ;
arctg
yxz
M
1;1
0
x
z arcsin=
5) , ; 6) , .
y
M
2;1
0
3
=
7 yxz +=
22
yx
+
M
M
0
1;1
0
1;2
10.83. Найти наибольшую крутизну подъёма поверхности:
22
1) в точке ; 2) в точке .
4ln yxz +=
100ln;4;6
y
=
4;2;2
10.84. Каково направление наибольшего изменения функции
в начале координат?
xz
ln
10.85. Найти точку, в которой градиент функции равен
1
+=
y
16
−
.
ji
1
u
10.86. Найти производную функции в направлении её
=
222
zyx
++
градиента.
§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
10.87.
уравнением (или ) в точке :
1) , ; 2) , ;
3) , ; 4) , ;
5) , ; 6) , ;
7) , .
10.88. Cоставить уравнение нормальной прямой к поверхности, заданной
уравнением (или ) в точке :
1) , ; 2) , ;
3) , ; 4) , ;
5) , ; 6) , ;
Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной
0,,=zyxF
22
ln yxz +=
2
2
=−++ zyx
22
24
222
03
=−+ zy
222
105
=++ zyx
M
08
xxyyxxz +−+=
M
M
0,,=zyxF
M
M
0
0
0
M
0
0
3;2;1
0;0;1
0
2;0;1
01864
=−−+−++ zyxzyx
2;1;2
2;1;1
1;1;1
M
yxfz ;
2
0
yxfz ;
2;2;1
3 yxyxz +−=
0
222
−=−+ zyx
13
++= yxz
22
=−+ yx
0
22
21 yxz ++=
22
6
−+= yxz
34
zyxM ,,
M
1
05
M
M
M
M
zyxM ,,
0
0
0
0
0
3;2;2
3;;100yM
4;2;1
4;1;1
1;1;2
9;2;1
85
7) , .
(
)
e
z
=
(
)
(
)
(
)
=
D
≤
≤
≤
≤≤−
≤
yxxy
z
++−
=
3
222
=+−++−+ xzyzyxzyx
M
016232
0
3;2;1
§8. Экстремумы функции многих переменных. Наибольшее и
наименьшее значения функции в замкнутой области
В задачах 10.89 - 10.102 найти экстремумы функции:
10.89. . 10.90. .
10.91. . 10.92. .
10.93. . 10.94. .
10.95. . 10.96. .
4 yxyxz −−−=
10.97. . 10.98. .
22
22
22
22
10.99. . 10.100. .
10.101. . 10.102. .
3 yyxxz +⋅−=
484
−−−−= yyxz
123
+++= xyxz 2442
xyyxyxz 2
−−+−= yxyxyz 62+−−=
22
2069
+−+−−= yxxyyxz xxyyxz 61
22
33
yxyxz 21622099
++−−= 186
22
y
2
22
127 yx
−−
++−+= xyyxz
2
xyez
+=
22
+−−−=
33
++⋅−= yyxxz
52 yxyxxz ++⋅+=
2223
В задачах 10.103 – 10.111 найти наибольшее и наименьшее значения
функции в замкнутой области :
10.103. , .
10.104. , .
10.105. , .
yxfz ,
10
x
22
2
2
−+= xxyz
22
yyxxyz 844
−−+=
yxyxxyz 44996
++−−=
D
D
D
:
:
:
≤≤
20
y
0
y
2
−≥
44
xy
≥
0
x
≥
2
xy
≤
2
y
≤
0
x
22
xyxxyz 42
10.106. , .
10.107. , .
10.108. , .
53 yxxyz ++−=
5.0 xxyz +−=
+−+=
22
2
10.109. , .
86
:
D
:
D
y
:
D
≥
≥
x
y
D 4
:
≥
≤
0
y
−−≥
2
xy
11
x
≤≤−
11
y
8
2
2
xy
0
≤
xy
xycos
ln
=
=
′
−
=+′
′
=
=−′
(
)
++=
dx
(
)
=
te
x
=
−
dx
xCxycos
sin
+
=
yxxy
z
2
3
−−=
≤
≤
40
≤
≤
=
′
x
(
)
x
x
2
(
)
=++
(
)
=+−′⋅
−
2
1
−
x
:
D
D
≤≤
40
y
20
x
:
≤≤
30
y
10.110. , .
10.111. , .
2
yxxxyz −−+= 3
Глава 11
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§1. Основные понятия и определения
В задачах 11.1 − 11.11 проверить, являются ли решением данных
дифференциальных уравнений указанные функции (С – произвольная
постоянная).
11.1. для . 11.2. для .
2
5xy =
yyx 2
y −=
2
2
2
0
=− dydxxy
x
4
eCy
arctg
=
1
y
=
0
x
eCxy ⋅+=
для
для
Cyxy
′
′′
yy
x
eyy =−
22
( )
yx
t
,
.
04
22
yxy +=
Cyxyx =+−
dy
2
=+
t
ey
=
. Докажите,
1
11.3.
11.5.
3
eCy
11.7.
11.9. для . 11.10. для
=
y
=
11.12. Функция
3
xCy =
для
x
для
22
xС
−
для
3
yxyyx
. 11.4.
xy tg
. 11.6. для .
yxy
. 11.8. для .
03
yy
xdydxyx
. 11.11.
022
задана параметрически:
xy φ
что эта функция является решением уравнения
( )
xy
dy
2
01
=++ y
.
В задачах 11.13 − 11.18 составить дифференциальные уравнения
заданных семейств кривых ( – произвольные постоянные).
11.13. . 11.14. . 11.15.
11.16.
3
Cxy =
. 11.17. . 11.18. .
,, ССС
222
Сyx =+
eCeCy
+=
21
22
xx
0
=−+ Cxyx
.
+=
exCCy )(
21
.
x
87
11.19. Составить дифференциальные уравнение для семейства парабол, с
a
2
x
(
)
(
)
(
)
=
′
322
1
−
(
)
(
)
=
′
(
)
−=′
′
+−=
′1−=′
M
(
)
(
)
=
′
(
)
−
+
=
′
(
)
−
=
′
(
)
x
1
2
x
+=′
(
)
−=′
()(
)
=−−
+
вершиной в начале координат и осью, совпадающей: а) с осью абсцисс, б) с
осью ординат.
11.20. Составить дифференциальное уравнение семейства эллипсов, имеющих
постоянную большую ось, равную
.
11.21. Составить дифференциальное уравнение семейства линий, у которых
отрезок касательной между точками касания и осью абсцисс делится пополам в
точке пересечения с осью ординат.
В задачах 11.22 − 11.24 в семействе кривых найти ту, которая
удовлетворяет заданным начальным условиям.
22
11.22. , . 11.23. , , .
11.24. , , , .
Сyx =−
30=y
xxx
eCeCeCy
++=
00=y
21
y
x
2
exCCy
)( +=
10
y
10=y
y
20
00
В задачах 11.25 −11.27 для данного дифференциального уравнения
построить поле направлений. Методом изоклин построить приближённо
графики интегральных кривых.
2
′
11.25. . 11.26. . 11.27. .
xy =
yxy
xy
В задачах 11.28 − 11.32 для данного дифференциального уравнения
методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через
заданную точку .
11.28. , . 11.29. , . 11.30. ,
M yxy 2
′
. 11.31. , . 11.32. , .
1;0
2
xyy −=
2;1M
′
0;3M xyy
2
2 yy +=
2;1M xyy
2;4M
§2. Уравнения с разделяющимися переменными
В задачах 11.33 − 11.55 найти общее решение (общий интеграл) данных
дифференциальных уравнений.
x
′
11.33. . 11.34. . 11.35. . 11.36.
y =
y
11.37. . 11.38. . 11.39. .
′
2
0
=−
xyy
y
′
x
′
y
0=+
y
1
′
=
yy
+
2
′
11.40. . 11.41. . 11.42. .
xyx
11.43. . 11.44. . 11.45.
01
=+−
011
dyxdxy
′
2
1 xyxy −=
2
88
xydydxy =⋅+1
y
′
y
0=+
.
12
yyx
xyy ctg12
2
3
−+ dxy
2
(
)
=+−
′
4
()(
)
4
(
)
=
0
=
+
ydx
(
)
−
Ox
′
=
=′+
(
)
(
)
=+′
1
−
x
(
)
(
)
xdxyydy
x
sin
cos
sin
cos
⋅=⋅
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
′
x
(
)
−
(
)
()(
)
(
)
(
)
−
−
ydyxydy
=− . 11.46. . 11.47. .
11.48. . 11.49. . 11.50. .
11.51. . 11.52. .
11.53. . 11.54. .
11.55.
0ln
yxyy
22
−++ yxxyx 0
′
.
0sin1cos
xyxy
+ yyxxy
22
dxxyydyxydyxdx
3266 −=−
0222
=
′
1
0)( =−
xx
+
04 =−+ dxedyey
2
2
x
tg
ydxe
x
e
−
dy
yyy ln
2
xxyyy sin1
0tg
=− xdxydy
=
В задачах 11.56 − 11.70 найти частное решение дифференциального урав-
нения (задача Коши) удовлетворяющее данным начальным условиям.
1
1
11.56. , . 11.57. ,
11.58.
π
y . 11.60. ,
y . 11.62. ,
11.63.
1
=
2
π
1
=
2
1
22
2
+− dyx
0
=− dxydyx
22
y
=
, .
3
2
0
=−−+ dyyyxdxxyx
22
2
, . 11.59. ,
ey=0
10=y
( )
0 =y
π
. 11.61. ,
.
y
ππ
0coscos
=− ydxxdy
01
=+− dxyxdy
2
( )
1 =y
=+ xdyydx
π
.
0sin
dyxdxy =⋅ sin
11.64. , .
11.65. , . 11.66. , .
11.67. , . 11.68. , .
11.69. , . 11.70. , .
11.71. Определить и построить кривую, проходящую через точку
x
′
=
yx
yx
xey
22
02 =+ dxdye
012 =++ dxxdye
22=y
011
=−−− dxydyx
00=y
00=y
x
00=y
ydxdyy
=ln
yy
y
0=+
e
426
11=y
01=y
011
=+−+ dyxydxyx
10=y
, если
2;2
отрезок любой касательной к кривой, заключённый между осями координат,
делится точкой касания пополам.
11.72. Определить и построить кривую, проходящую через точку , для
которой отрезок, отсекаемый на оси
касательной к кривой в любой её
1;1
точке, равен квадрату абсциссы точки касания.
11.73. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое
количество бактерий. Из эксперимента известно, что скорость размножения
N
0
89
бактерий пропорциональна их количеству (коэффициент пропорциональности
=
xyx
(
)
α
−
=
0
>
α
x
x
+
(
)
=−+
(
)
=+−
+
x
x
xyx
x
k>0). Найти зависимость роста числа бактерий с течением времени.
tN
11.74. Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути.
Какой путь пройдёт тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за
1 секунду оно проходит путь 8 метров, а за 3 секунды – 40 метров?
11.75. Тело массы m падает вертикально вниз с некоторой высоты. Сила
вязкого трения, действующая на тело, пропорциональна величине скорости
, где - коэффициент трения. Определить зависимость ско -
тр
VF
рости от времени, если тело начинает движение с нулевой скоростью.
11.76. Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно
пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка
находилась на расстоянии 5 м от начала отсчёта пути и имела скорость
. Определить пройденный путь и скорость точки через 10 с. после
0
cмV /20
начала движения.
§3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
В задачах 11.77−11.94 найти общее решение (общий интеграл) данных
дифференциальных уравнений.
2
y
11.77. . 11.78. . 11.79. .
′
y
2
11.80. . 11.81. . 11.82. .
11.83. . 11.84. .
11.85. . 11.86. .
11.87. . 11.88. . 11.89.
′
y
=
2
2
′
2
′
yyx
+=
y
24
++=
′
y
−=
x
0
dyyxydx
2
yxy
+
xyx
+
22
2
y
yx
yyxyx ++=
′
+
′
=
′
y
=
yyx
+=
sin
yx
xdydxyx
22
′
=
yyx
+
22
232yx
+
x
′
yxyyxy
32
22
yxyx
52
−+
2
xyx
62
−
′
y
′
y
=
y
2
sin−=
yx
yx
−
.
02
y
y
′
11.90. . 11.91. . 11.92. .
y
y
11.93. . 11.94. .
′
y
x
2
cos+=
2
y
1
−+=
x
′
dy
=
dx
xeyyx +=
90
y
x
−
2
eyxy
⋅+
2
′
x
y
y
xyyx 2⋅+=
x
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]