Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Учебно-методическое пособие
.pdf
2.73. При каком значении
α
{
}
{
}
=
a
b
с
=
=
(
)
{
}
−
=
{
}
{
}
−
=
(
)
(
)
(
)
−
(
)
(
)
−
−
5=V
(
)
−
(
)
(
)
−
D
(
)
(
)
−
(
)
(
)
−
063
2
=−+
y
x
0243
4
=+−
y
x
025
3
=−−
y
x
012
5
=−+
y
x
1052
=
+
y
x
043
=
+
y
x
025
=
−
x
052
=
+
y
0
2
=
−
x
3=b
30
632
=
+
y
x
423
=
−
y
x
1243
=
−
x
y
xy4
6
−
=
компланарны?
2.74. Векторы
,
и
перпендикулярны. Зная, что
2.75. Даны три вектора:
векторы
, образующие правую тройку, взаимно
4
a
,
a
с
kjia ⋅++=
α
,
3
c
2=b
,
3;1;1
,
, вычислить
0;1;0=b
,
,
с
1;2;2−=b
1;0;3
cba
.
5;2;3
.
Вычислить
2.76. Даны вершины тетраэдра:
D
cba
.
1;3;2A
8;4;5
. Найти длину высоты, которая опущена из вершины D.
,
B
2;1;4
,
2.77. Найти объём треугольной призмы построенной на векторах
kjib ++= 42
и
2.78. Объем тетраэдра
A
1;1;2
,
1;0;3B
и
jic −= 2
.
. Три его вершины находятся в точках
C
3;1;2
. Найти координаты четвертой вершины
, если известно, что она лежит на оси y.
2.79. Дана пирамида с вершинами в точках
A
4
Найти: 1) длины рёбер
угол между рёбрами
5) длину высоты пирамиды на грань
1;3;4
.
AA
21
,
AA
21
и
AA
31
,
AA
31
; 4) объём пирамиды
AAA
A
1
AA
41
; 2) площадь грани
321
.
3;2;1
A
2
,
AAAA
7;3;6C
и
kjia 32 ++=
,
1;4;2
A
3
,
4321
;
AAA
321
; 3)
3;6;7
,
Глава 3
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
§1. Прямая линия на плоскости
3.1. Построить прямые:
1)
5)
3.2. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси y отрезок
образующей с положительным направлением оси x угол
3.3. Уравнения прямых привести к виду в отрезках на осях. Прямые построить.
1)
3.4. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси x отрезок длиной
; 2)
; 6)
; 2)
; 7)
; 3)
; 3)
; 8)
; 4)
21
; 4)
=
α
; 9)
0
.
;
.
и
.
3 ед., а на оси y отрезок длиной 4 ед. Построить прямую.
(
)
−
(
)
(
)
−
OA
(
)
2
−
=
y
4=y
054
3
=−−
y
x
A
AB
1
−
=
x
3=x
1
2
+
=
x
y
A
AB
x
y
−
<
2
2
−
>
x
2
−
>
y
x
y
−
>
2
4<x
0<y
12/4/
≤
+
y
x
2
+
≥
x
y
4
−
≥
x
xyx
+<<−−
2
2
4
2
<<−
x
0294
3
=−−
y
x, 0195
2
=++
y
x
ABC
AB
053
4
=−+
y
x
0103
=+−
y
x
AC:0
2
=
−
x
043
2
=++
y
x
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
−
−
(
)
(
)
(
)
−
(
)
(
)
−
−
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
A
B
3.5. Написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и
через точку
3.6. Даны точки
диагонали которого пересекаются в точке
3;2
. Построить прямую.
0;0O
и
A
0;3
. На отрезке
построен параллелограмм,
2;0B
. Написать уравнения сторон
и диагоналей параллелограмма.
3.7. Прямые
и
пересекают прямую
соответственно в точках
и B. Построить вектор
, определить его длину
и проекции на оси координат.
3.8. Прямые
точках
и B. Определить длину вектора
и
пересекают прямую
и его проекции на оси координат.
соответственно в
3.9. Изобразить геометрическое место точек, координаты которых
удовлетворяют неравенствам:
1)
3)
3.10. Найти точку пересечения двух прямых
3.11. Стороны треугольника
BC:
,
,
,
,
; 2)
,
; 4)
,
заданы уравнениями:
. Определить координаты его вершин.
,
,
;
.
:
Примечание. Здесь и везде в дальнейшем под уравнением сторон мы будем
понимать уравнения прямых, на которых лежат стороны.
3.12. Дана прямая
проходит через точку
1;2M
. Составить уравнение прямой, которая
:
1) параллельно данной прямой; 2) перпендикулярно к данной прямой.
3.13. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника
A
3.14. Даны середины сторон треугольника
4;5
B
,
3;1
и
C
2;3
параллельно противоположным сторонам.
M
1;2
1
,
M
3;5
2
M
3
,
4;3
Составить уравнения его сторон.
3.15. Даны вершины треугольника
1;2A
B
,
1;1
,
2;3C
. Составить
уравнения его высот.
3.16. Даны вершины треугольника
A
Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины
проведенную из вершины
.
1;1
,
B
1;2
и
5;3C
на медиану,
,
.
.
22
3.17. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
072
5
=−+
y
x
0362
5
=−+
y
x
0107
3
=−+
y
x
053
2
=+−
y
x
072
3
=−+
y
x
(
)
−
(
)
−
035
4
=+−
y
x
Q
(
)
−
033
2
=−−
y
x
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
(
)
(
)
−
−
053
=+−
y
x
013
=−+
y
x
014
3
=+−
y
x
073
4
=+−
y
x
0715
6
=+−
y
x
034
10
=−+
y
x
0512
9
=+−
y
x
0136
8
=−+
y
x
012
=−−
y
ax
046
=−−
byx
032
=+−
y
x, 0
3
=++
y
x
0
13
=−+
y
ax
0124
3
=−−
y
x
(
)
12
(
)
−
072
=−−
y
x
,
и уравнение одной из его диагоналей
Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника и второй
диагонали.
3.18. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
и одна из его вершин
A
3;2
. Составить уравнения двух
других сторон этого прямоугольника и его диагоналей.
.
A
P
и
4;6
на прямую
, симметричной точке
3;7
12;8
B
B
и
на прямую, проходящую через
M
2
2;1
.
15;11
.
3;5
относительно прямой,
.
5;3P
13;5
на
P
3.19. Найти проекцию точки
M
3.20. Найти координаты точки
относительно прямой
3.21. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
одинаковых расстояниях от точек
3.22. Найти проекцию точки
точки
A
3.23. Найти точку
проходящей через точки
3;2
B
и
M
1
, симметричную точке
1;5
.
4;3A
3.24. Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны.
1)
3)
,
,
; 2)
; 4)
,
,
;
.
.
,
3.25. Определить, при каких значениях a и b две прямые
:
1) имеют одну общую точку; 2) параллельны; 3) совпадают.
3.26. Определить, при каком значении a три прямые
будут пересекаться в одной точке.
3.27. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой
координатного угла.
3.28. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку
отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной
3.29. Точка
A
лежит на прямой
5;2
является вершиной квадрата, одна из сторон которого
. Вычислить площадь этого квадрата.
23
кв.ед.
6;8P
и
,
от
и
3.30. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
052
3
=−−
y
x
073
2
=++
y
x
(
)
−
032
=++
y
x
(
)
−
(
)
063
2
=+−
y
x
(
)
−
−
(
)
−
0104
3
=−−
y
x
058
6
=+−
y
x
02612
5
=+−
y
x
01312
5
=−−
y
x
0153
4
=+−
y
x
0256
8
=+−
y
x
03910
24
=+−
y
x, 0265
12
=−−
y
x
012
5
=−−
y
x
072
5
=+−
y
x
092
5
=−−
y
x
052
3
=+−
y
x
013
4
=−+
y
x
3
−
=
b
022
=−+
y
x, 0235
=−−
y
x
(
)
−
(
)
−
−
024432
=−−
−
zyx
07532
=−+
−
zyx
034
=−+
zyx
632
=
+
z
x
1232
=
−
z
y
432
=
−
x
y
052
=
−
z
x
023
=
+
y
x
0
=
−
z
y
072
=
−
z
053
=
+
y
063
=
+
x
0
2
=
−
z
0
3=y
0=x
063
2
=−−
+
zyx
(
)
−
−
и одна из его вершин
A
1;2
. Вычислить площадь этого
прямоугольника.
3.31. Доказать, что прямая
точками
M
1
1;5
,
M
2
3.32. Доказать, что прямая
точками
M
1
3;2
M
2
,
7;3
.
2;1
.
пересекает отрезок, ограниченный
не пересекает отрезок, ограниченный
3.33. Вычислить расстояние d между параллельными прямыми в каждом из
следующих случаев:
1)
3)
3.34. Доказать, что прямая
,
,
; 2)
; 4)
,
параллельна прямым
;
.
и
и делит расстояние между ними пополам.
3.35. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
прямых
отрезок
.
,
и отсекающей на оси ординат
3.36. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку
пересечения прямых
ограниченный точками
M
6;5
и
N
и делит пополам отрезок,
4;1
.
§2. Плоскость
,
3.37. Найти точки пересечения плоскости
с осями
координат. Построить плоскость.
3.38. Построить плоскости:
1)
5)
10)
; 6)
; 11)
3.39. Дано уравнение плоскости
; 2)
; 7)
; 12)
; 3)
; 13)
; 4)
; 8)
; 9)
; 14)
. Написать для нее уравнение
;
;
.
в отрезках. Построить плоскость.
3.40. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
M
4;3;2
и отсекает на координатных осях отрезки одинаковой
величины. Построить плоскость.
24
(
)
−
−
(
)
−
−
(
)
−
3
−
=
a
2=c
(
)
−
OM
07532
=−+
−
zyx
03532
=++
−
zyx
05424
=+−
+
zyx
012
2
=−+
+
zyx
023
=+−
z
x
076
2
=−−
z
x
(
)
−
010232
=−+
−
zyx
03235
=−+
−
zyx
(
)
−
−
053
2
=+−
z
x
(
)
−
(
)
−
−
M
MN
(
)
−
{
}
−
=
{
}
(
)
−
(
)
{
}
−
=
(
)
0
=−−
zyx
x
y=2
(
)
−
(
)
−
−
(
)
052
3
=−−
−
zyx
023
9
=+−
+
zyx
3.41. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки
M
1
1;4;1
M
2
,
10;2;13
и отсекает на осях абсцисс и аппликат
отрезки одинаковой длины. Построить плоскость.
3.42. Плоскость проходит через точку
отрезок
, а на оси аппликат отрезок
M
1;10;6
и отсекает на оси абсцисс
. Составить для этой плоскости
уравнение в отрезках. Построить плоскость.
3.43. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
M
3;2;1
и
перпендикулярной вектору
.
3.44. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют
параллельные плоскости:
1)
2)
3)
и
3.45. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости
и
и
.
;
;
M
5;4;3
.
3.46. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало
координат параллельно плоскости
.
3.47. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
M
3.48. Даны две точки
7;2;3
параллельно плоскости
M
2;1;3
и
.
N
1;2;4
. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точку
3.49. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно двум векторам
a
3.50. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
2;1;3N
параллельно вектору
a
3.51. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярной к плоскостям
перпендикулярно вектору
1;1;3
и
1;2;1 −=b
.
M
4;1;3
.
и
.
M
.
5;4;3
3;1;2
и
2;0;0
и
3.52. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
M
1
2;1;3
,
M
2
1;1;4
и
M
3
2;0;2
.
3.53. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют
перпендикулярные плоскости:
1)
,
;
25
2)
033
2
=−−
+
zyx
0
5
=+−
−
zyx
052
=+−
zyx
032
=−+
z
x
1
=++
zyx
073
2
=−+
−
zyx
013
2
=−+
−
zyx
0
2
=++
zyx
(
)
−
012
=+−
z
x
{
}
072
=−+
−
zyx
022
=+−
+
zyx
0112
3
=−+
−
zyx
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
−
M
(
)
−
−
032
2
=++
−
zyx
(
)
−
−
01512
16
=+−
zyx
(
)
−
045
=
+
y
(
)
−
013
4
=−−
z
x
d
(
)
−
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
−
0122
2
=−−
−
zyx
062
2
=−−
−
zyx
3)
4)
,
,
,
;
;
.
3.54. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало
координат перпендикулярно к двум плоскостям:
.
3.55. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
перпендикулярно плоскости
1;2;1 −=b
.
3.56. Установить, что три плоскости
и параллельно вектору
,
M
имеют одну общую точку. Вычислить ее координаты.
3.57. Составить уравнение плоскости, которая проходит через:
1) точки
1) точки
2) точки
M
M
M
1
1
1
3;1;0
0;1;3
3;0;3
и
и
и
M
M
M
5;4;2
2
2
2
параллельно оси x;
0;3;1
параллельно оси z;
0;0;5
параллельно оси y.
3.58. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку
M
3;4;2
и через: 1) ось x ; 2) ось y; 3) ось z.
3.59. Составить уравнение плоскости, которая проходит:
1) через точку
2) через точку
3) через точку
M
N
P
3.60. Вычислить расстояние d от точки
3;3;2
параллельно плоскости xy;
4;2;1
параллельно плоскости xz;
1;2;5
параллельно плоскости yz.
от плоскости в каждом из
следующих случаев:
3;2;1
3;4;2
,
,
; 2)
; 4)
от точки
M
1
7;6;3
1;1;2
,
,
3;1;2
,
2;1;1
до плоскости,
M
3
2;5;4
.
M
M
P
1;1;1
M
2
,
M
1)
M
3)
3.61. Вычислить расстояние
проходящей через три точки:
3.62. В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между двумя
параллельными плоскостями:
1)
и
;
и
;
.
1;1;2
и
26
014632
=−+
−
zyx
0211264
=++
−
zyx
022
2
=−−
+
zyx
4=d
(
)
−
09623
=−+
−
zyx
01151612
=++
−
zyx
012
2
=−−
+
zyx
=
=
=
(
)
{
}
−
=
+
=
13221
−=−=−
(
)
−
{
}
−
=
r
11225
+=+=−
=−+
−
−
=
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
−
(
)
−
(
)
(
)
−
−
(
)
−
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
−
−
(
)
2)
и
.
3.63. На оси y найти точку, отстоящую от плоскости
расстояние
.
3.64. На оси z найти точку, равноудаленную от точки
M
0;2;1
и от
на
плоскости
.
65. На оси x найти точку, равноудаленную от двух плоскостей:
,
.
§3. Прямая в пространстве
3
y
3.66. Построить прямые: 1)
z
=
; 2)
3
направляющие векторы.
3.67. Написать уравнения прямой, проходящей через точку
параллельно вектору
u
3.68. Построить прямые
1;1;1
.
zx
5
и
−=
zy
24
направляющие вектора.
3.69. Составить канонические уравнения прямых, проходящих через точку
M
1) вектору
3;0;2
параллельно:
a
5;3;2
; 2) прямой
2
y
; 3)
+=
1
xz
3
1
zyx
x 4
=
zyx
. Определить их
yz
; 3) оси x;
−
0;3;4A
и указать их
13
tx
+−=
32
ty
.
+=
25
tz
4) оси y; 5) прямой
zyx
zyx
0352
; 6) прямой
=+−+
022
3.70. Составить канонические уравнения прямых, проходящих через две
данные точки:
1)
3)
1;2;1
3;1;2
и
и
1;1;3
; 2)
51;2
; 4)
0;1;3
4;4;4
и
и
3;0;1
;
2;4;4
.
3.71. Составить параметрические уравнения прямых, проходящих через две
данные точки:
1)
3)
2;1;3
и
и
1;1;2
; 2)
; 4)
27
2;1;1
и
1;1;2
и
0;1;3
;
1;1;2
.
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
−
C
(
)
−
(
)
−
(
)
−
=−+
−
(
)
−
=
−
=−+
−
=
=
−
=−−
+
=−−
+
1
213
−
−=+
=−+
=−+
=−−
+
+
=
=++
+
3.72. Написать уравнения траектории точки
точки
A
3.73. Через точки
1;3;4
, движется со скоростью
M
1
5;6;6
и
M
.
2
zyxM ;;
, которая, выйдя из
1;6;12
проведена прямая.
Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.
3.74. Даны вершины треугольника
A
7;6;3
B
,
3;2;5
C
,
2;7;4
Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины
.
3.75. Написать уравнения прямой, проходящей через точки
B
2;6;2
. Найти направляющие косинусы прямой.
A
3;2;1
и
3.76. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку
zyx
zyx
M
5;3;2
параллельно прямой
3.77. Написать уравнения прямой, проходящей через точку
yx
.
+=
122zy
параллельно прямой
0723
.
=+−+
0323
M
1;4;1
3.78. Составить канонические уравнения следующих прямых:
0
1)
zyx
zyx
0432
=−−+
04523
; 2)
x
zy
; 3)
=++
0123
y
z
03
.
=+
01
3.79. Составить параметрические уравнения следующих прямых:
0432
=++−
01253
; 2)
zyx
zyx
062
.
=++−
012
1)
zyx
zyx
3.80. Проверить, будут ли данные прямые параллельны:
zyx
;
=−−−
0850zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
0152
;
=−+−
0932
023
.
=−−−
023
1)
2)
3)
2 zyx
=
и
03
tz
zyx
=+−
zyx
52
tx
+−=
2
ty
и
−=
7
и
0
.
28
321
zyx
+
=
3
211
−
−
=+−
+
+
=
=+−
+
=−−
+
=++
+
+=−
2
+=−=+
−
=
−
=
=−−
−
=+−
−
−
=
111
−=−
=−+
−
=−+
+
−
=
+
=
3.81. Показать, что прямая
==
перпендикулярна к прямой
3.82. Доказать перпендикулярность прямых:
0153
;
=+−+
03832
0242
;
0454
zyx
0522
.
=+−−
0222
1)
2)
3)
=
=
zyx
и
12
tx
−=
23
ty
и
+−=
16
tz
zyx
013
и
=−−−
zyx
0292
zyx
zyx
zyx
=+−−
zyx
zyx
3.83. Найти острый угол между прямыми:
3 zyx
2
=
1
1
−
1
−=
xzxy1
и
2
.
2
3
5
zyx
.
1
3.84. Найти тупой угол между прямыми
1
23
tx
=
0
y
и
+−=
3
tz
3.85. Определить косинус угла между прямыми:
=−−+
054
и
0422
zyx
zyx
0266
.
=−++
.01922
zx
и
+−=
1212zy
zyx
zyx
04
и
=+−+
0522
=
zyx
zyx
3.86. Определить угол между прямыми:
3.87. Найти угол между прямыми:
3.88. Доказать, что прямые, заданные уравнениями
12
tx
=
0
y
.
−=
3
tz
zyx
.
tx
ty
tz
−=
+−=
04
=−−+
0632
32
23
и
64
.
zyx
zyx
5
tx
−−=
14
ty
, пересекаются.
−=
4
tz
29
3.89. Даны прямые
413
2
−
−
+
274
−=−=−
l
l
(
)
−
{
}
−−=
53213
−
−=+=−
(
)
(
)
−
(
)
(
)
−
23211
+=+=−
21211
+=−=−
(
)
−
−
02536
=+−
−
zyx
(
)
−
−
42312
+
−
−=+
(
)
−
−
=
−
=
042
=−+
+
zyx
13
2
=
=
zyx
и
x
zy
. При каком
значении
они пересекаются?
3.90. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку
M
прямую
3.91. Написать уравнения прямой, проходящей через точку
3;2;1
перпендикулярно к вектору
1
zyx
.
a
3;2;6
и пересекает
cba ;;
:
1) параллельно оси z; 2) перпендикулярно к оси z.
3.92. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
M
4;8;2
на
ось z.
Указание: Искомая прямая проходит ещё через точку
3.93. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
4;0;0
M
.
5;3;2
на
ось y.
3.94. Найти расстояние между параллельными прямыми
2
zyx
и
1
zyx
.
§4. Прямая в пространстве и плоскость
3.95. Составить уравнения прямой, проходящей через точку
перпендикулярно плоскости
3.96. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
3
перпендикулярно прямой
zyx
=
3.97. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
2
x
перпендикулярно прямой
3.98. Найти угол между прямой
.
=−
1
zy
13xzxy
+−=
.
.
и плоскостью
232
M
M
M
5;3;2
1;1;1
3;2;1
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]