Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Учебно-методическое пособие
.pdf
a
n
∞
→
n
∞
→
n
−
x
x
0
x
0
0
x
x
%
p
t
t
n
∞
→
n
x
xytg
=
11x
−
+
x
≠
2
5.270. . 5.271. . 5.272. .
lim
→
e
1
−
x
lim
2
→
5.273. Первоначальный вклад в банк - денежных единиц. Банк
x
cosln
x
2
ee
−
x
2sin
A
0
lim
→
x
2
выплачивает ежегодно годовых. Найти размер вклада через лет при
непрерывном начислении процентов.
Указание: Найти размер вклада через лет при начислении процентов
A
n
по вкладу раз в году и перейти к пределу при .
5.274. Дан правильный треугольник со стороной
треугольника строится новый правильный треугольник и так
предел суммы площадей всех треугольников при
. Из трёх высот этого
раз. Найти
.
5.275. В круг радиуса R вписан квадрат, в квадрат вписан круг, в этот круг
опять вписан квадрат и так n раз. Найти предел суммы площадей всех кругов и
площадей всех квадратов при
.
§4. Непрерывность функции. Точки разрыва
Найти точки разрыва и построить графики функций:
3
y
5.294. . 5.295. . 5.296. .
5.297. . 5.298.
5.300. . 5.301. .
=
1
x
+=
=
y
1
+
x
3
xx
y
=
+
x
2
xy
4xxx
y
=
4
1
x
. 5.299. .
1
−
x
2
−
3
−
В задачах 5.302 - 5.304 найти точки разрыва функций:
1
5.302. . 5.303. . 5.304.
y
x
21−=
y
1
2
−
x
2
=
В задачах 5.305 - 5.306 построить графики функций и указать точки
разрыва. Какие из условий непрерывности в них выполнены и какие не
выполнены?
y
=
y −= 2
y
2
x
x
.
33+=x
5.305. . 5.306. .
,2
2
,4
−=
xy
,4
x
x
2,0
±==
xx
20
<<
2
>
51
y
x
=
,
2
,0
2
xпри
2
=
xпри
5.307.
a
≤
−
5
3
+
=
x
y
x
x
xysin=xyln
=
xycos
=
3
x
x
x
x
3
1
3
+
+
t
t
x
(
)
Исследовать функцию на непрерывность
1
,
π
+
x
π
−<
x
2
2
x
π
≤≤−
,
0
xe
.
2
1
>
0,
x
−
ln1
x
( )
xf
2
−
arctg
π
=
ctg
При каком значении функции непрерывны на всей числовой оси:
2
( )
=
xf
5.308. . 5.309. .
≠+−
2,65
xxx
( )
=
2,
xa
=
xf
2
1,1
xx
>−
1,2
xax
Глава 6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§1. Производная функции
В задачах 6.1 - 6.9 найти производные функций по определению:
2
xxy 2
6.1. . 6.2. . 6.3. .
y
6.4. . 6.5. . 6.6. .
xy =
=
−=
1
y =
6.7. . 6.8. . 6.9. .
В задачах 6.10 - 6.27, пользуясь формулами и правилами
дифференцирования, найти производные функций:
2
2
x
3
6.10. . 6.11. . 6.12. .
6.13. . 6.14. . 6.15. .
6.16. . 6.17. . 6.18. .
y
=
s
2
2
+−=
4
2
t
xxxy tg
+= 3ctg33+⋅=
y
y +=
3
x
5
5
sin
xy xey
3
23
3
2
x
5
ln
x
2
x
3
x
+−=
x
y −
=
3
xy =
1
2
1
y
=
−
3
x
cos3
−
x
x
x
7
arcsin⋅=
52
(
)
−⋅=
2
x
e
ln
+
x
ln
x
arcsin
e
3
+
xy4
sin
=
(
)
2
12x
x
(
)
x
4
cos
ln
e
cos
x
3
sinln1
x
3
x
cos
e
xy2
arccos
(
)
ctg3
xx
3
x
x
x
x
1
−
arccos
arcctg
log
2
+
6.19. . 6.20. . 6.21. .
6.22. . 6.23. . 6.24. .
6.25. . 6.26. . 6.27. .
y
y
x
x
−
=
x
x
=
log10 ⋅=
ln
22 −
xy
7
xe
arctg
y
=
arcctg
arccos
y
=
1log
xxy
5
y
=
x
y
=
x
x
xx
y
=
В задачах 6.28 - 6.69 найти производные сложных функций:
4
xy
6.28. . 6.29. . 6.30. .
6.31. . 6.32. . 6.33. .
6.34. . 6.35. . 6.36. .
6.37. . 6.38. . 6.39. .
y
5
3
=
1 −
y
6.40. . 6.41. . 6.42. .
=
arcctg
y
6.43. . 6.44. . 6.45. .
=
3
cos
345 +⋅= xy
4
312 ++= xy
3
++
3
x
x
2
e
x
+
x
6.46. . 6.47. . 6.48. .
9
xy
x
ln
9⋅=
1
6.49. . 6.50. . 6.51. .
y =
x
6
2
tg=
41 xxy −+=
2
4
x
2ln51 ++⋅= xxy
2
3
−
arctg2
=
y
x
y −=
3
6
x
y
3sinln
=
1
xeyln
=
2
x
y
4
tg2
⋅=
y
=
2
xy
3
xy ⋅=
1
=
4
y
=
49
x
10⋅=
ctg
−
+
xy arcsin=
5
2
1−= xy
2
x
5
2
sin1 xy +=
x
23
1
x
2
2
x
sin1
x
cos1
6.52. . 6.53. . 6.54. .
y 2arcsin=
x
xxy +=
5
3
xy ++⋅=
5
12
x
6.55. . 6.56. . 6.57. .
y
3
x
2
ln
6.58. . 6.59. . 6.60. .
2
x
6.61. . 6.62. . 6.63. .
=
ctg
ey
x
1arccos xy −=
tg
2
2
y
+=
4
x
3
=
arctgln
y 2arctg
=
y
53
1
+
1
x
x
3
12−=xx
=
2
x
2
x 2
−
xy 593ln
−=
xy
sinarctg3=
xy
tg5
2
1
x
+
e
bya
(
)
−+=
(
)
+
=
(
)
=
⋅
yyx
sin
+
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
(
)
−
=
=
6.64. . 6.65. . 6.66. .
y
tgarcsin
y1arctg
6.67. . 6.68. . 6.69. .
=
3
2
x
3
y
y
arccos
=
ln
=
x
2
2
x
4
x
tg1
+
x
ctg1
−
y
y
=
=
arcctg
log
3
x
e
−
1
6
x
2
−
x
5
−
x
−
В задачах 6.70 - 6.81 найти производные неявно заданных функций:
xy
2
1
=+
2
22
yex
=+
x
y
2cos
yxy
y
x
sin
22
cossin
y
x
e
y
3
0
=−+
0145
=−+− xyyx
yxxy
x
xyx
2
23
6.70. . 6.71. . 6.72. .
6.73. . 6.74. . 6.75. .
6.76. . 6.77. . 6.78. .
xy
6.79. . 6.80. . 6.81. .
2 yx
2xyxy −=
y
xey += 1
yx
eeyx +=+
22
−=
x
2
y arcsinln =
В задачах 6.82 - 6.85 найти производные неявно заданных функций в
указанных точках:
22
1
6.82. в точке . 6.83. в точке .
=+ yx
22
3
6.84. в точке . 6.85. в точке .
=++ yxyx
2
−
2
2
;
2
3;0 −
xy
xeyeyx −=− 1
0;0
1;1
В задачах 6.86 - 6.94 найти производные функций, используя метод
логарифмического дифференцирования:
x
x
6.86. . 6.87. . 6.88. .
6.89. . 6.90. . 6.91. .
6.92. . 6.93. . 6.94. .
xy =
x
x
y
=
x
y
=
x
+
1
x
−
1
x
+
1
xy
x
y
cos
xy
sin=
x
sin
2
1+=
x
arcsin=
=
=
y
3
=
arcsin
xy
xxyln
x
3
5
( )
x
4
−
21
−⋅+
xx
2
3
В задачах 6.95 - 6.106 найти производные функций, заданных
параметрически:
6.95. . 6.96. . 6.97. .
2
+=
tx
2
1
3
−=
tty
3
−
t
=
ex
2
t
=
ey
54
( )
ttax
sin
−=
tay
cos1
+
−
=
(
)
=′′
′
xyln
=
(
)
(
)
(
)
=′′
′
(
)
=′′
(
)
=′′
=′′
(
)
+
=
=′′
+
dx
te
s+=1
dt
=
dx
=
dx
(
)
−
=
ϕ
ϕ
dx
=
t
x
6.98. . 6.99. . 6.100. .
y
x
6.101. . 6.102. . 6.103. .
y
6.104. . 6.105. . 6.106. .
1
=
t
−
t
1
=
=
=
cos
sin
3
tax
3
tay
t
=
=
t
sin
cos
tex
tey
t
3
+
1
=
=
t
=
sin
cos
sin
cos
t
2
ty
ttx
−=
tty
=
arccos
1ln
−=
−=
tty
+=
tx
arctg
tx
2
2
tty
2
+
1
t
2
3
at
2
+
1
t
=
x
2
+=
tx 1
3
t
⋅=
ety
В задачах 6.107 - 6.122 найти производные указанного порядка от
заданных функций:
23
xxxy 42
6.107. , 6.108. ,
5
6.109. , 6.110. ,
6.111. , 6.112. ,
xy =
2
x
ey =
6.113. , 6.114. ,
6.115. , 6.116. ,
tg ?
−+=
5
?
=y xy2sin=
?
y
2
⋅+=
yxy
xxy arctg1
y
?
y
?
y
exy
=
4
?
=y
6
?
=y
2
1ln xxy ++=
33
03
=+− yxyx
yx
y
2
yd
=
2
?
y
?
?
2
sin
cos1
ϕ
sd
?
=
2
3
yd
?
=
3
2
yd
?
=
2
6.117. , 6.118. ,
6.119. , 6.120. ,
=
6.121. , 6.122. ,
s
tax
cos
tby
sin
ax
( )
−=
ay
=
atx
=
bty
ty
2
3
ln
tx
2
−=
1
arcsintytx
( )
−=
1ln
2
xd
?
=
2
dy
2
yd
?
=
2
2
xd
?
2
dy
=
2
55
§2. Дифференциал функции. Применение дифференциала в
f
∆
df
(
)
0=x
3,0
=
∆
x
(
)
1=x
01,0
=
∆
x
(
)
3=x
01,0
−=∆
x
′
=
4=x
41,0
=
∆
x
9=x
01,0
−=∆
x
xysin
2
=
2
(
)
ϕ
ω
+⋅=
11u
⋅
2
x
xy2
sin
e
5
2
−
x
x
sin
1
−
(
)
(
)
(
)
−
приближённых вычислениях
В задачах 6.123 - 6.125 найти приращение функции
дифференциал
6.123. в точке , если .
6.124. в точке , если .
6.125. в точке , если .
(используя определение дифференциала):
3
xxf =
2
6
xxxf +=
2
xxxf 2
−=
и её
В задачах 6.126 - 6.127 найти приращение функции и её дифференциал
(используя формулу ):
6.126. в точке , если .
xy =
dxydy
2
y
6.127. в точке , если .
=
x
В задачах 6.128 - 6.151 найти дифференциалы следующих функций:
2
6.128. . 6.129. . 6.130. .
s =
gt
cos
tas
0
v
6.131. . 6.132. . 6.133. .
6.134. . 6.135. . 6.136. .
6.137. . 6.138. . 6.139. .
6.140. . 6.141. . 6.142. .
6.143. . 6.144. . 6.145. .
6.146. . 6.147. . 6.148. .
6.149. . 6.150. . 6.151. .
6.152. Вычислить , если .
=
y −=
=
y
2
−
x
492x
1
x
ln
ey
1
x
3 +=
1
=
3
sinln
2
1
x
2
y
y
=
π
2
2
−= xy
1arctg
+= xy
05,1f
y
2
ϕρ
sin
1
x
cosln
2cos
x
xey
log⋅=
5
x
π
+=
24
xy
10
=
xy
y1arctg
=
a=
2=
1
y
=
3
xy5arctg
x
2sinln
4=
2
⋅=
exf
=
xxy sin
xx
11,0
log
1
=
y
y
=
2
9
ln
cos
1
x
10⋅=
xxyarcsin
x
x
ln
9⋅=
3
x
−
e
−
1
6
x
5
x
+
x
6.153. Вычислить приближенно:
3
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
70 5 17
56
98,7
(
)
e
−
e
984
,0ln
55,1
sin54,0arcsin
96,0
arctg
(
)
(
)
(
)
(
)
−
(
)
=
=
xyln
=
=
xxyln2
−
=
=
2
−
xy3
arccos
=
(
)
=
(
)
(
)
(
)
8
9
(
)
−
−
xxy
ln
=
032
2
=+−
y
x
4
5) ; 6) (1,01)9; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) ; 16) .
8,15
03,0
0
46tg
8
98,0
0
′
0345tg
1,0
0
44tg
§3. Применение производной в геометрии и физике
В задачах 6.154 - 6.167 написать уравнения касательной и нормали к
кривым в заданной точке:
6.154. , точка .
2
6.155. , точка .
6.156. в точке с абсциссой .
6.157. в точке с абсциссой .
2
3
1−= xy
34
−+= xxxf
23
52
+−= xxxf
342
−−+= xxxxf
6.158. в точке с абсциссой .
6.159. в точке с абсциссой .
1
arcsin
=
6.160. в точке пересечения кривой с осью x.
y
x
2;1
4;1
2
x
0
9
x
0
ex
0
1
x
0
6.161. в точке пересечения кривой с осью y.
6.162. в начале координат.
6.163.
6.164. в точке .
3xy =
6.165. в точке .
6.166. в точке .
6.167. в точке .
xxf 2tg
23
12
−+= xxy
в точке пересечения этой кривой с параболой .
34
55
34
22
yx
=−
02
=−+ xyyx
=−+ xyyx
1
3;3
1;1
032
M
1;1
8;9
2
2xy =
6.168. Написать уравнение касательной к кривой в точке, в которой
нормаль к этой кривой параллельна прямой .
В задачах 6.169 - 6.172 написать уравнения касательной и нормали к
кривой, заданной параметрически:
57
(
)
0=t
=
0=t
−
=
2
π
7
2
034
2
=−+
y
x
023
4
=+−
y
x
1
+
x
kx
y
=
2
2
=
+
y
x
1
3
tts
===
t
t
xωcos
=
x
0=t
6.169. в точке с координатами .
6.170. в точке, соответствующей значению параметра .
2
=
tx
3
=
ty
t
=
ex 2
−t
=
ey
8;4
6.171. при .
6.172. в точке, для которой .
6.173. Написать уравнения касательных к кривой , которые
tx sin
t
=
ay
ttx
sin
=t
−=
ty
cos1
22
yx
1
=−
перпендикулярны прямой .
32
6.174. В какой точке касательная к кривой перпендикулярна прямой
xy =
?
1
=
6.175. На линии найти точку, в которой касательная параллельна оси
y
2
абсцисс.
3
6.176. На кривой найти точку, в которой касательная параллельна
xy =
биссектрисе первого координатного угла.
6.177. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии:
2
1) и ; 2) и ; 3) и .
xy =
6.178. Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость
и ускорение точки для моментов времени (s дается в
3
xy =
2
xy =
22
4
=+ yx
2
−+=
2,1,0
ttt
210
метрах, - в секундах).
6.179. Точка совершает колебательное движение по оси абсцисс по закону
. Найти момент времени, когда скорость равна нулю. Чему в это
время равно ?
6.180. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с
момента , определяется формулой . Найти силу тока в
2
132
++= ttQ
конце десятой секунды.
58
§4. Правило Лопиталя
0
0
x
x
1
−
x
+
x
x
2
sin
x
ln
−
x
−
x
−
x
x
sin
−
x
−
−
x
sin
x
ln
4
5
+
−
x
x
2
x
x
4
sin
1
x
−
π
∞
∞
x
x
x
8
3
+
+
x
x
π
x
2
sin
ln
(
)
x
e
x
+
(
)
−
В задачах 6.181 - 6.198 вычислить пределы, раскрыв неопределенности
вида :
→
→
→
→
→
7
1
−
x
9
1
x
e
1
−
0
sin
xx
0
π
4
3
x
sin21
x
3cos
6
2
16
−
x
2
x
2
sin41
−
6
1
2
6.181. . 6.182. . 6.183. .
6.184. . 6.185. . 6.186. .
6.187. . 6.188. . 6.189. .
6.190. . 6.191. . 6.192. .
6.193. . 6.194. . 6.195. .
6.196. . 6.197. . 6.198. .
lim
0→
1
−
→
x
3
1
x
1
−
x
1
lim
x
lim
x
1
→
xx
sintg
lim
x
0
→
−
bxax
ee
−
lim
x
0
→
4
16
−
x
lim
2
−→
x
+
lim
lim
→
x
lim
x
→
lim
x
→
lim
x
→
lim
x
π
xx3sin
xx2tg
lim
0→
x
cos1
x
lim
π
−
cos1
x
2
0
arctg
0
3
x
−
xx
3
1
x
lim
x
lim
x
lim
1
x
5
ex
51
0−+→
2
x
lim
x
→
В задачах 6.199 - 6.209 вычислить пределы, раскрыв неопределенности
вида :
x
e
lim
x
lim
x
lim
x
x +∞→
∞→
∞→
lim
0→
3
3
16
−
x
24
x
5sinln
x
2
ex
⋅
x
6.199. 1) , 2) . 6.200. . 6.201. .
6.202 . 6. 203. . 6.204. .
6.205. . 6.206. . 6.207. .
6.208. . 6.209. .
lim
x −∞→
x
e
3
lim
tg
xxln
∞→
lim
x
x
lim
π
x
x
lim
x
→
3tg
2
x
e
+
1ln
∞→
x
1ctg
lim
x
→
x +∞→
1
lim
x
ln
0→
ctg
tg
2
( )
−
1ln
ln
100
x
x
x
2
x
x
lim
x
→
1
( )
x
−
1ln
59
В задачах 6.210 - 6.224 вычислить пределы, раскрыв неопределенности
[
]
⋅∞
[
]
∞ −∞
1
∞
0
0
0
∞
0
0
∞
∞
2
(
)
(
)
(
)
(
)
3
2
x
xxy
ln
=
−
xxy
cos
+
=
4
x
x
−
x
xxy
arctg
−
=
вида , , , , сведением их к неопределенностям
0
, путем алгебраических преобразований:
x
( )
6.210. . 6.211. . 6.212. .
6.213. . 6.214. . 6.215. .
6.216. . 6.217. . 6.218. . 6.219.
π
x
→
2
1
lim
x
0
→
x
π
π
x
→
∞→
x
lim
→20
x
2sinlim
tg
sin
x
cos
x
x
. 6.223. . 6.224. .
tglim
x
⋅−
1
ex
1
. 6.220. . 6.221. . 6.222.
x
−⋅
1lim
1
−
xx
x
x
x
lnlim
x
∞→
x
0
→
lim
→
2
x
x
lim
xx0
→
3
+
1lim
∞→
x
1
x
x
2
1
−
−
2
x
x
x
x
→
xe
ctg1lim
⋅−
2
2
−
4
x
0⋅→
lim
→
x
lim
x
1lim
x
∞→
x
sin
x
ctglim
0
1
→
xx
lnlim
x
−
sin
x
0
ln
1
+
x
1
ln
xx
−
1
x
x
§5. Исследование функций и построение графиков
В задачах 6.225 - 6.233 определить интервалы монотонности
следующих функций:
2
6.225. . 6.226. . 6.227. .
6.228. . 6.229. . 6.230. .
6.231. . 6.232. . 6.233. .
xy =
3
2
2
2
xxy
+=
xxy ln2
−=
y
В задачах 6.234 - 6.242 исследовать функцию на экстремум:
3
6.234. . 6.235. . 6.236. .
xy =
3
52
−+= xxy
4
21 xxy +−=
1
=
−
x
2
exy
=
1
24
32
+−= xxy
2
x
1
y
+
=
6.237. . 6.238. . 6.239. .
6.240. . 6.241. . 6.242. .
=
2
3
xxy −=
y
2
ln
=
xyln1
2
2 xxy −=
=
x
1
2
x
exy
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]