Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Учебно-методическое пособие
.pdf
4.128. . 4.129. .
(
)
ϕ
ρ
+
=
(
)
ϕ
ρ
+
=
(
)
ϕ
ρ
−
=
ϕ
ρ
3
cos
3
=
ϕ
ρ
sin
4
=
ϕ
ρ
cos
4
=
zzx
2
4
4925
41636
92536
4.130. . 4.131. .
cos12
sin12
sin12
4.132. . 4.133. .
§ 7. Поверхности второго порядка. Построение тел
В задачах 4.134 - 4.156 назвать и построить поверхности:
2
zzy 2
4.134. . 4.135. . 4.136. .
4.137. . 4.138. . 4.139. . 4.140.
2
4.143. . 4.144. . 4.145. .
4.146. . 4.147. . 4.148. .
4.149. . 4.150. . 4.151. .
−=
2
1 xy −=
22
. 4.141. . 4.142. .
xxy 2
−−=
22
−=
22
53 yxz +=−
22
0936
=−− zyx
−=+ 783
2
9 yz +−=
xy −−= 9
zzy 3
22
1243
=+ yz
22
32 zyx +=+
04
=++ zyx 03694
22
2
2
1 yx −=
2 yyz +=
xy 2−=
−=+ xyx
22
22
=−+ xzy
222
zyx
0
=+−
222
36432
4.152. . 4.153. .
zyx
4.154. . 4.155. .
zyx
4.156. .
=−− zyx 036494
222
01
=−−+
222
0
=−+
222
222
=++− zyx
02
=+++ zyyx
В задачах 4.157 - 4.177 построить тело, ограниченное следующими
поверхностями:
4.157. . 4.158. . 4.159. .
22
=+
1
yx
=++
3
zyx
=
0
z
2
−=
4
xz
=+
44
yx
===
0,0,0
zyx
z
2
y
=
2
=+
1232
yx
===
00,0
zyx
4.160. . 4.161. . 4.162. .
y
z
2
−=
4
yz
2
x
=
2
=
0
2
=
xy
22
zx
+
1
=
94
0,0
==
zy
2
=
xy
22
+=
yxz
==
0,1
zy
41
4.163. . 4.164. . 4.165. .
4.166. . 4.167. . 4.168. .
4.169. . 4.170. . 4.171. .
22
yx
=
2
=
z
yx
=
( )
−=
xz
=
y
zy
2
=+
16
2
yz
0
=+
6
3
xy
==
0,4
zyz
2
1
x
2
==
0,0
22
+=
yxz
y
=+
2
4.172. . 4.173. . 4.174. .
4.175. . 4.176. . 4.177. .
yx
===
0,0,0
zyx
=
yz
=
xy
==
0,23zx
x
2
=
2
zyx
=
++
1
424
=
0
z
22
+=
yxz
,
−==
xyxy
==
0,1
zx
2
−=
4
yz
=+
2
yx
===
0,0,
xzxy
4
2
=
=
z
22
++=
124
yxz
=+
3
yx
===
0,0,0
zyx
2
=+
yx
2
−−=
yxz
2
===
0,0,0
zyx
zyx
=++
1
848
xy
0
2
=
xy
−=
1
z
xz
=
0
2
−=
4
xz
==
2,
xyxy
=+
1
zx
=
0
z
2
+=
4
yx
=+
2
yx
===
0,0,2
zxxy
=
3
zy
==
0,6
zx
42
Глава 5
2
3
+
−
x
x
x
x
−
(
)
(
)
1
−
+
x
(
)
x
2
cos
−
(
)
+
=
(
)
[
]
xyln
arcsin
=
2
−
24
10
+
−
−
x
x
(
)
(
)
3
−
x
−−=
2
+
x
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§1. Общие свойства функций
В задачах 5.1 - 5.20 найти область определения функций:
5.1. . 5.2. . 5.3. .
2
9 xy −=
3
2
4 xy −=
=
y
1
2
y
1
5.4. . 5.5. . 5.6. .
=
3
1
y
5.7. . 5.8. . 5.9. .
5.10. . 5.11. . 5.12. .
=
xx
+
xxy −+−= 64lg
1
2
= x
5.13. . 5.14. . 5.15. .
y
( )
1lg
−
x
5.16. . 5.17. . 5.18 .
+−=
5.19. . 5.20. .
xy
++
2
165lg1lg
+−−= xxy
13
x
y
arcsin321
y
=
arccos
xy −= 1
2
2
x
44log xxy −−=
3
x
−= 1
2
ln +−
= x
y
2
y +=
y
x
y
y
=
arccos
5
=
=
1
sin
1
xx
−
1ln
x
3
sin
x
x
1arctg
xy
−
21
x
4
4
5
В задачах 5.21 - 5.26 найти, при каких целых x определены функции:
x
xy
5.21. . 5.22. .
5.23. . 5.24. .
+−=
x
+
2
5ln216 −⋅−= xxy
5,0
x
−−
162
xy
−+=
93
1026log
−−−+= xxy
4
5.25. . 5.26. .
=
y
34
2
−+
xx
y
12
=
( )
3
2
−+
xx
2log
−
x
В задачах 5.27 - 5.37 найти множество значений функций:
5.27. . 5.28. . 5.29. .
xy
5.30. . 5.31. . 5.32. .
32
22 xxy −+=
2
43
2
5 xy −=
44 xxy ++=
2
y
1
=
2
6
−−= xxy
(
)
−
=
xysin42
−
=
[
]
∈
+
−
=
−−=
(
)
x
2
−
2
−
1
−
a
1
−
a
x
+
−
1
(
)
=
+
()(
)
=
+
()(
)
=
−
xy2
sin
=
3
2
xxy
cos
sin
+
=
xy4
tg
=
5
=
xxy3cos2sin
+
=
3
xy2
cos
lg
=
(
)
0
>
ε
ε
=
−
()(
)
=
−
xy3=xy3
2
−
=
(
)
≥
(
)
≤
(
)
≥
x
−
2
124
−+
5.33. . 5.34. . 5. 35. .
=
y
5.36. . 5.37. .
xx
2
y
=
=
y
2
xx
4
+−
2
xx
xxx
3,0,2
(
∈−+
8,3,1610
2
]
3log
xy
Определить, какие из функций 5.38 - 5.52 будут чётными, нечётными или
функциями общего вида:
2
3
5.38. . 5.39. . 5.40. .
5.41. . 5.42. . 5.43. .
5.44. . 5.45. . 5.46. .
y
=
y
5.47. . 5.48. . 5.49. .
=
xxy ⋅=
2
2
x
1
xxxy cos
⋅+=
3
xx
ee
+
x
=
5.50. . 5.51. . 5.52. .
5.53. Какова будет функция , если она определена на всей числовой оси и
для любых и , удовлетворяющих условию , выполняется
равенство: 1) ; 2) . ?
y
x
xf
x
1
x
2
xfxf
0
21
2
+=
xy 41
−
y
=
x
+
a
=
y
x
xxy 3cos
4
23
3ln
+⋅= xxy
xx
ee
1
xx
21
xfxf
0
21
2
⋅+=
xxxy 2sin
xy
x
sin
y
=
2
x
7
exy +=
x
y
1
=
ln
0
В задачах 5.54 - 5.65 найти наименьший положительный период функции:
5.54. . 5.55. . 5.56. .
y =
x
cos
3
xy
sin=
2
5.57. . 5.58. . 5.59. .
5.60. . 5.61. . 5.62. .
xy 2cos
=
2
xy 3cos
ctg=
sin xy
xy
4
3
−= 2
5
5.63. . 5.64. . 5.65. .
5.66. Функция определена на всей числовой прямой. Что можно сказать
xf
об этой функции, если для любых и найдется такое число , что
из условия будет следовать, что ?
xx
12
sin +=
x
1
x
2
xxy 2tg
xfxf
0
21
В задачах 5.67 - 5.81 найти функцию, обратную данной:
2
4
5.67. . 5.68. . 5.69. .
2
xxy 4
5.70. . 5.71. . 5.72. .
−=
2
x
2
44
2
x
54
+−= xxy
−= xy
y
0
x
3
=
x
y
−
2
(
)
≤
+
(
)
++=
2
1
+
xy2
sin
3
=
4
4
π
π
=
−
=1+
=
++=
x
=
x
x
−
x
+
x
−
1
+
x
1
+
+
x
−
−
+
−
xysin
=
xy2
sin
=
2
xysin
1
+
=
=
+
=
=
3
xy3
cos
4
=
1
5.73. . 5.74. . 5.75. .
5.76. . 5.77. . 5.78. .
5.79. . 5.80. , . 5.81. .
=
3
xy =
x
y
2
=
x
3
2
xy =
2
x
5
=
y
0
x
≤≤− x
3
4+= xy
4log2
xy
3
y
2log
x
В задачах 5.82 - 5.126 построить графики функций:
2
5.82. . 5.83. . 5.84. .
5.85. . 5.86. . 5.87. .
5.88. . 5.89. . 5.90. .
xy =
2
4 xxy −=
12
++= xxy
2
2
2xy −=
23 xxy −−=
2
2
132
−+= xxy xy =
2
1 xy −=
2
2
xxy −=
5.91. . 5.92. . 5.93. .
5.94. . 5.95. . 5.96. .
xy −= 1−= xy 21 +−= xy
xy
xy 12
xy
x
5.97. . 5.98. . 5.99. )*
y =
xxy
2
5.100. . 5.101. . 5.102. .
21 −−= xy
xy1
=
y
y 2=
y
=
32
x
x
1
−
x
1
=
3
2
x
=
ay
5.103. . 5.104. . 5.105. .
5.106. . 5.107. . 5.108. .
5.109. . 5.110. . 5.111. .
5.112. . 5.113. . 5.114. .
5.115. . 5.116. . 5.117. .
y
y
y
y
y
y 21 −=
=
=
=
= 2
=
y
=
x
1
=
y
2
=
y
x
x
1
x
4
x
x
y22
=
ey
=
−
*
.
3
2
1
2
−
x
2
x
x
sin2
5.118. . 5.119. . 5.120. .
y =
5.121. . 5.122. . 5.123. .
xy sin
xxy sinsin
sinπxy
−=
2
x
5.124. . 5.125. . 5.126. .
xy sin
y =
cos
45
§2. Числовые последовательности и их пределы
{
}
4
3
2
,...1,1,1,
1
−
−
,...9,7,5,
3
27
9
3
16
9
4
8
4
2
5
4
3
2
10
5
2
4
3
3
2
2
1
⋅⋅⋅
,...4ln,3ln,2ln
!
7
!
5
!
3
!
6
!
4
!
2
⋅⋅⋅
6,4,2
⋅⋅⋅−−
4,3,2,1
4
3
2
1,1,1,1
−
−
1
sin2sin3sin
2
ln
3
ln
4
ln
27
9
3
!
5
!
3
8
4
2
13
9
5
4
3
2
3
3
2
2
4
3
2
⋅⋅⋅
,3,3,2,2,1,
1
4
3
2
πππ
!
8
!
5
!
2
3
2
1
В задачах 5.127 - 5.141 записать вид общего члена последовательности
a
по виду её первых трёх членов:
n
1
1
1
5.127. . 5.128. . 5.129. .
5.130. . 5.131. . 5.132. .
,
1
1
,
1
5.133. . 5.134. . 5.135. .
,
,...
,
1
,...
,
4
3
2
,
−− ,...
,...
,
1
,
,1 ,...
1
1
,
,
1
1
,...
,
1
a
n
7
5
3
,
,
1
1
,
1
,
,...
5.136. . 5.137. +,-
1
1
1
5.139. . 5.140. . 5.141. .
,
,...
,
.
"
1
,
3
, +,-
2
5
.
/
, +,-
,
.
1 5.138. 23
0
32
3
,...
7
.
%
, 23
1
,
.
4
, 23
3
.
1.
5
5
⋅⋅⋅
,
В задачах 5.142 - 5.150 записать общий член последовательностей и
выяснить, какие из данных ниже последовательностей являются
ограниченными снизу, ограниченными сверху, просто ограниченными или
неограниченными:
3
2
1
5.142. . 5.143. . 5.144. .
5.145.
2
1
,
5.148. . 5.149. . 5.150. .
,
… 5.146. , , ,… 5.147. , , ,….
,
3
...,
6
4
,
,2 ⋅⋅⋅,
⋅⋅⋅,
,
1
1
,
...,
,
1
,
В задачах 5.151 - 5.159 определить, какие из данных ниже
последовательностей являются возрастающими, неубывающими, убывающими,
невозрастающими:
4
3
2
...,
,
,
5.151. . 5.152. . 5.153. .
,1 ...,
1
,
3
2
,
1
1
,
,1,1
1
1
,...
,
,
5
4
3
,...
,
,
5.154. . 5.155. . 5.156.
5.157. . 5.158. . 5.159. .
,2
cos
cos,
cos,
...,
1
,
46
,
⋅⋅⋅,
1
1
!
67"
!
67%
,
!
,
1 .
67/
8
4
,
⋅⋅⋅,
,
2
5.160. Пользуясь определением предела последовательности, показать, что при
3
2
n
16
9
4
n
n
+
(
)
n
(
)
1
+
n
n
nn2
100
+
n
n
(
)
+
+
n
n
(
)
(
)
n
−++
+
3
2
3
2
+
3
2
+
1
∞→n
последовательность имеет пределом
1
1,
1,2
1
,...
1...,,
+
число 1.
5.161. Пользуясь определением предела последовательности, показать, что при
∞→n
последовательность имеет пределом число 0.
1
,...
,
,
,1
1
1
5.162. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
число 2 не является пределом последовательности с общим членом
12
+
n
=
a
n
n
14
+
при
5.163. Существует ли предел последовательностей
∞→n
.
{ }
a
при
n
∞→n
( если да,
то найти его), где:
1)
4)
a 11 −+=
n
a
n
n
( )
cos
=
ln
; 2)
n
π
; 5)
n
n
a
1 +=
n
n
( ) ( )
121 +−= na
1
.
n
2
, 3)
na
n
⋅=
sin
π
;
2
n
В задачах 5.164 - 5.194 вычислить пределы числовых
последовательностей:
n
5.164. . 5.165. . 5.166. .
5.167. . 5.168. . 5.169. .
5.170. . 5.171. . 5.172. .
5.173. . 5.174. . 5.175. .
5.176. . 5.177. .
5.178.
lim
n
lim
n
lim
lim
n
lim
lim
n
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
2
+
n
1
+
n
2
3
2
+
n
( )
+
n
n
−
n
+
lim
∞→
2
∞→
n
+
nn
3
lim
1
!!2
nn
!3
n
K
n
+
3
1231
32
5.179. . 5.180. .
.
lim
n
lim
−
∞→
∞→
1
2
∞→
n
1
n
−
1
n
992
n
2
n
1
−+
1lim
3
+
n
( )
2
12
−+
nn
2
K21
32
lim
∞→
lim
∞→
lim
n
∞→
−
lim
n
nn
32
nn
∞→
n
+++⋅
lim
n
∞→
n
1
−
2
+
n
n
( )
n
23
110
+−
2
!
!!1
nn
−+
nn
−+
3
47
α
3sin
α
M
N
x
>
(
)
>
0
>
ε
N
x
N
x
<
(
)
ε
<
M
N
x
N
x
>
(
)
<
0
>
ε
N
x
>
(
)
ε
<
−
0
>
M
N
N
x
>
(
)
>
0
>
ε
0
>
δ
δ
<
−
(
)
ε
<
−
a
0
>
ε
0
>
δ
x
δ
<−<
(
)
ε
<
−
5.181. . 5.182. . 5.183. .
5.184. . 5.185. . 5.186. .
5.187. . 5.188. . 5.189. .
5.190. . 5.191. . 5.192. .
5.193. . 5.194.
lim
α
n
0→
lim
n
lim
n
lim
n
lim
n
∞→
∞→
∞→
∞→
n
α
n
n
2
+
1
n
n
n
n
+
2
n
n
2
12
−
n
12
+
3
+
n
12
−
n
12
+
n
lim
α
n
lim
n
lim
n
lim
n
0→
∞→
∞→
lim
n
∞→
sin
1
n
∞→
α
n
2
n
n
1
−
n
4
n
3
+
2
n
1
n
12
−
n
n
12
+
1
1
+
⋅
42
⋅
1
+
⋅
64
86
L
++
lim
n
lim
n
( )
lim
n
lim
n
∞→
∞→
1
nn
1
∞→
n
∞→
n
n
n
n
+⋅
222
n
5
−
n
n
−
2
n
n
−
12
+
12
2
n
12
−
12
+
.
§3. Функции непрерывного аргумента. Предел функции
в точке
Пусть функция определена на всей числовой прямой. Какому условию она
удовлетворяет, если:
5.195. для любого числа найдётся такое число , что для любого ,
удовлетворяющего условию , выполняется неравенство ?
Nx
Mxf
5.196. для любого числа найдётся такое число , что для любого ,
удовлетворяющего условию , выполняется неравенство ?
xf
5.197. для любого числа найдётся такое число , что для любого ,
удовлетворяющего условию , выполняется неравенство ?
Mxf
5.198. для любого числа найдётся такое число , что для любого ,
удовлетворяющего условию , выполняется неравенство ?
Nx
axf
5.199. для любого числа найдётся такое число , что для любого x,
удовлетворяющего условию , выполняется неравенство ?
Mxf
5.200. для любого числа и для любого числа из неравенства
ax
следует неравенство ?
Axf
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Какой
вывод можно сделать, если:
5.201. для любого числа существует такое, что для любого из
неравенства следует неравенство ?
ax0
48
Axf
5.202. для любого числа существует такое, что для любого из
(
)
M
0
>
δ
x
δ
<−<
(
)
<
0
>
ε
0
>
δ
x
δ
<−<
(
)
ε
<
M
0
>
δ
x
δ
<−<
(
)
>
2
+
x
x
5
−
x
x
x
x
2
+
x
2
2
+
−
x
x
2
3
2
+
−
−
x
x
x
3
2
−
−
x
x
1
1
−
x
x
8
+
x
1
+−−
xxx
x
0
x
5
x
x
(
)
x
0
x
x
неравенства следует неравенство ?
ax0
Mxf
5.203. для любого числа существует такое, что для любого из
неравенства следует неравенство ?
ax0
xf
5.204. для любого числа существует такое, что для любого из
неравенства следует неравенство ?
ax0
Mxf
В задачах 5.205 - 5.227 вычислить пределы:
2
1
−
5.205. . 5.206. . 5.207. .
lim
2
∞→
x
lim
x
3
∞→
2
32
+−
xx
lim
3
xx
32
+−
4
∞→
2
1
+
x
5.208. . 5.209. . 5.210. .
5.211. . 5.212. . 5.213. .
5.214. . 5.215. . 5.216. .
5.217. . 5.218. . 5.219. .
5.220. . 5.221. . 5.222. .
lim
x
lim
→
lim
→
lim
→
x
lim
→
∞→
1
3
4
−
2
2
x
2
4
1
−
x
3
1
−
1
x
x
3
−
1
21
−−
3
−
x
lim
→
x
lim
x
lim
x
lim
0
→
−→
→
lim
5
−
x
→
x
2
1
−
x
2
2
9
−
x
2
3
2
2
3
86
++
xx
2
x
11
−+
lim
→
x
x
2
11
−+
x
0
2
416
−+
x
0
lim
→
x
lim
x
lim
lim
→
x
1
0
→
→
x
3
2
1
+−
xx
−
4
x
2
−
2
−
x
2
xx
23
x
−+
2
2
−
1
−
x
13
+
1
xx
2
−+
11
xx
3
5.223. . 5.224. .
5.226.
lim
x
→
x
0
±∞→
5.228. Вычислить предел .
2
11
x
−+
2
2
4lim
xxx
−+
. 5.227. .
lim
→
x
sin
1
lim
x
1
−
x
3
1
−
x
22
∞→
3712
+−−−−
xxxx
lim
x
x
∞→
В задачах 5.229 - 5.251 вычислить пределы, используя первый
замечательный предел:
x
4sin
5.229. . 5.230. . 5.231. .
lim
x
x
0→
lim
x
x
2
x
5sin
0→
49
lim
→
2
3sin
x
2
(
)
0
2
3
0
x
0
x
x
−
x
(
)
9
3
−
−
x
x
x
0
2
−
2
(
)
−
1
x
π
1
−
−
x
(
)
x
0
(
)
x
0
x
0
(
)
x
+
0
(
)
x
0
−
+
e
x
−
5.232. . 5.233. . 5.234. .
lim
→
x
x
xx4sin
ctg
x
5.235. . 5.236. . 5.237. .
5.238. . 5.239. . 5.240. .
5.241. . 5.242. . 5.243. .
lim
lim
x
lim
5.244. . 5.245. . 5.246. .
lim
5.247. . 5.248. . 5.249. .
x
→
→
lim
x
→
→
⋅
3
x
2tg
x
3sin
0→
x
2arcsin
x
5
x
3sin
x
2sin
π
sin1
x
π
π
2
2
2
−
x
x
5.250. . 5.251. .
lim
→
( )
tg1
x
⋅−
2
lim
→
lim
x
→
lim
x
lim
x
→
lim
x
lim
0
0→
lim
→
sin
π
6
0xx→
3
arctg
0
3
∞→
sin
cos1
x
2
tg
x
( )
cos1
−
x
x
x
1
sin
x
−
cos1
−
cos
π
−
6
x
x
lim
0→
x
2
sin
2
lim
x→
2
lim
→
2
0
3tg
x
2
4sin
x
lim
x
0−+→
x
π
1
xxxtg
lim
→
−
2
π
cos1
x
lim
−+⋅
0
→
x
xx
xx2tg
x
22
xxxtg
⋅
11
Вычислить пределы 5.252 - 5.272, применяя второй замечательный предел:
x
1
5.252. . 5.253. . 5.254. .
5.255. . 5.256. . 5.257. .
lim
x
lim
→
∞→
1
−
1
x
x
1
x
−
lim
x
lim
x
1
∞→
1
∞→
1
1
x
−
x
x
+
1
1
+
x
lim
→
lim
x
1
+
1
∞→
x
1
x
x
2
3
+
x
x23
+
5.258. . 5.260. .
5.261. . 5.262 . . 5.263. .
5.264.
5.267. . 5.269. .
lim
x
lim
x
x
→
lim
→
x
∞→
2
x
2
∞→
x
tg1lim +
0
x
2
x
1
+
1
−
x
ctg
x
. 5.265. . 5.266. .
axa
lnln
lim
x x
( )
lim
→
2
x
2
∞→ 1
2
tg1
+
x
+
1
−
1
x
2
x
lim
x
lim
→
∞→
lim
x
x
50
x
x
∞→
1ln
lim
→
1
+
2
−
x
x
ax
x
12
−
x
2
x
1
+
1
−
x
1ln
ex
−
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]