Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Учебно-методическое пособие
.pdf
В задачах 6.243 - 6.251 найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки
xysin
=
1
−
x
(
)
(
)
x
1
+
x
(
)
2
xy1
x
x
1
2
x
1
x
2
−
x
(
)
−
=
(
)
<
′
′>′
>
>
′
′<′
>
<′′<′
>
>′′>′
<
2
()()(
)
>
′′=′=−=
()()(
)
<′′=′==
()()()()(
)
<+′′>−′′=′′=′==
()()()()(
)
<+′′<−′′=′′=′==
5
()()(
)
>′′=′−=
=
перегиба функций:
3
1
6.243. . 6.244. . 6.245. .
6.246. . 6.247. . 6.248. .
+= xy
3
24 +−= xy
3
2
xy =
y
y
1
x
=
2
xx
21
−⋅−
=
+
6.249. . 6.250. . 6.251. .
y
2
1
=
2
1ln xy +=
=
2
x
−
ey
В задачах 6.252 - 6.260 найти асимптоты линий:
1
6.252. . 6.253. . 6.254. .
=
−
2
4
−
=
6.255. . 6.256. . 6.257. .
y
x
−
1ln
6.258. . 6.259. . 6.260. .
xy
2
x
=
y
1
xy
+=
−
2
x
=
y
y
+
1
x
ey
−=
4
x
=
3
x
xey =
В задачах 6.261 - 6.264 выяснить вид графика функции, если известно, что
в интервале :
6.261. . 6.262. .
6.263. . 6.264. .
ba ;
0,0,0
yyy 0,0,0
0,0,0
yyy 0,0,0
yyy
yyy
В задачах 6.265 - 6.273 построить фрагмент графика функции в
окрестности заданной точки :
x
0
1
( ) ( ) ( )
6.265. .
== xyxyxyx
′
,3,2
=
′′
0,
>
0000
6.266. .
6.267. .
xyxyxyx
xyxyxyx
0000
6.268. .
6.269. .
0,0,2,1
0000
0,3,1,2
xyxyxyxyxyx
000000
xyxyxyxyxyx
000000
00,00,0,0,4,3
00,00,0,0,4,4
3
6.270. .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−== xyxyxyxyxyx
′
,2,4
=
6.271. .
′′
=
xyxyxyx
0000
61
′′
0,2,4,2
<−
′′
000000
00,00,0,
>+
2
3
1
(
)
<
−
′
′
(
)
>
+
′
′
()()(
)
=+′−=−′==
(
)
>−′
′
(
)
<+′
′
( ) ( ) ( )
6.272. ,
== xyxyxyx
′
0,4,3
=−
′
0,
0000
3
,
−=+
xy
0
00
xy
0
6.273. ,
xy
0
00
.
xyxyxyx
0000
00
,10,10,3,2
xy
0
00
В задачах 6.274 - 6.283 по графику функции построить эскиз
возможного графика производной функции:
6.274.
6.275.
62
6.276.
6.277.
6.278.
63
6.279
6.280.
6.281
64
6.282.
(
)
(
)
125
()(
)
4
12x
−
1
x
x
2
−
x
1
2
x
1
x
+
4
−
x
41x
−
−
x
6.283.
В задачах 6.284 - 6.309 исследовать функции и построить их графики:
6.284. . 6.285. . 6.286. .
6.287. . 6.288. . 6.289. .
6.290. . 6.291. . 6.292. .
3 xxy −=
x
=
y
y
=
4
=
6.293. . 6.294. . 6.295. .
6.296. . 6.297. . 6.298. .
y
=
y
3
2
3
5
−
x
=
2
4
−
x
3
3
2
x
2
y
+
4
−
=
y
x
y
=
2
−
x
65
24
32
+−= xxy
2
21 −⋅+= xxy
xy −=
2
2 xxy −⋅=
4
x
3
4
xy +=
2
2
y
2
x
=
3
14
2
y +=
x
4
x
1
1
12x
−
(
)
xxy
ln
⋅
=
x
1
−
x
x
−
x
x
e
−
(
)
−
[
]
−
(
)
21x
[
]
[
]
−
[
]
−
[
]
−
[
]
−
(
)
+−=
a
a
y
6.299. . 6.300. . 6.301. .
=
−−
1
x
y
6.302. . 6.303. . 6.304. .
6.305. . 6.306. . 6.307. .
6.308. . 6.309. . 6.310. .
6.311. . 6.312. . 6.313. .
=
2
+
2
4ln xy −=
x
ln
y
=
x
exy ⋅=
3
2
xxy 23
+=
2
1 xxy −⋅=
x
ln
=
y
x
e
y
=
3
3
3xxy −=
3
y
=
x
e
y
=
2
3
1 xy −=
3
xxy
ln⋅=
x
ln1
2
xx
6.314. . 6.315. . 6.316. .
6.317. . 6.318. . 6.319. .
=
=
x
2
xxy2
+
4
=
y
+
x
3
exy
x
xy =
2
x
−
2
exy
⋅=
x
ey
−= 1ln
§6. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке
В задачах 6.320 - 6.327 найти наибольшее и наименьшее значения функций
на заданных отрезках:
2
=
6.320. , . 6.321. , .
6.322. , . 6.323. , .
6.324. , . 6.325. , .
y
( )
( )
2
=
x
6.326. , . 6.327. , .
1
++
xx
2
1
−
3
1 xxy ⋅+=
2
xxy ln
2
xxy
tgtg2 −=
0;2
3;1
2
ee ;
π
;0
3
x
y
=
=
6.328. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного
полукругом. Периметр сечения 18м. При каком радиусе полукруга площадь
сечения будет наибольшей?
6.329. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так,
чтобы с трёх сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертая
примыкала к стене. Для этого имеется погонных метров сетки. При каком
соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
6.330. На какой высоте над центром круглого стола радиуса следует
повесить электрическую лампочку, чтобы освещенность края стола была
−
2 xxey−
3
− 2;
3;25,0
0;4
2;2
1
2
2
xxy −+= 2
2
1ln
xxy
66
наибольшая? (Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения
2=z
−
=
=
−
=
+
=
−
=
+−=
−−=
−+=−+
−
−+=++
++=++
(
)
+=++−
k
t
t
a
⋅
2
49
1=k
36
2=k
18
лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника
света).
6.331. Найти такой цилиндр, который бы имел наибольший объём при данной
полной поверхности S.
6.332. Найти размеры цилиндрической закрытой цистерны с заданным объёмом
V и с наименьшей полной поверхностью.
6.333. В прямоугольном листе картона длиной 48см. и шириной 30см.
вырезаются по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивается
открытая прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемых
квадратов, чтобы объём коробки был наибольшим?
6.334. К реке шириной а метров построен под прямым углом канал шириной
b метров. Какой максимальной длины суда могут входить в этот канал?
t
6.335. При подготовке к экзамену студент за t дней изучает часть курса, а
+
забывает - ю часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы
была изучена максимальная часть курса :
1
=k
1) , ; 2) , ; 3) , .
2
=a
1
=a
1
=a
Глава 7
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
7.1. Построить радиусы - векторы, соответствующие комплексным числам:
1)
7).
; 2)
z
iz 32
; 8).
; 3)
iz 3
; 4)
iz 32
; 9).
iz 2
; 5)
iz 32 +=
; 10).
iz 32
; 6).
3
7.2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных
чисел: 1)
iyxiyix 18231732
; 4)
yxiiyix 429352
; 2)
iiyxyx 5425
.
iz 32
;
iz 32 −=
.
yxiiyix 6510429
; 3)
67
7.3. Найти модуль и аргумент комплексных чисел:
=
−
=
+
=
−
=
=
−
=
=
−
=
−−=
+
−
()(
)
+++
()(
)
+−+
()(
)
−−+
+
()(
)
++−
()(
)
−−++−
()(
)
()()(
)
−−+++
−
()()()(
)
−++−−−−
(
)
(
)
⋅
()(
)
+
−
()(
)
+
−
(
)
⋅
−
()(
)
()(
)
()(
)
()(
)
−+−++
()(
)
+−+
−
()(
)
+
−
()(
)
()(
)
()(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
m
+
1)
iz
; 2)
iz 5
; 3)
iz
1
; 4)
iz 22
; 5)
z
3
; 6)
3
z
; 7)
iz 3
; 8)
iz 3
; 9)
iz 22
; 10)
31 iz +=
; 11)
31 iz −=
; 12)
iz +−= 3
.
7.4. Дана точка, изображающая число
i23
. Какие числа изображают точки,
симметричные данной относительно: 1) действительной оси; 2) мнимой оси; 3)
начала координат?
§2. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
; 6)
+
iii
23
−
ii 3653
11
; 11)
53
ii
ii 4343 −+
; 11)
174523
; 15)
; 20)
ii31
5−+
+− i
2
;
31
ii 2345
; 4)
; 26)
ii25
3
; 32)
94 nm +
111
++
332313
iii
2
; 5)
i3
1
2
3
22
;
− ii
3
−
i
221
+−
i
23
31
−
i
2
−
2
2
7.5. Выполнить действия: 1)
3)
ii 833
; 4)
iii 436532
; 8)
ii 4745
; 5)
7.6. Вычислить: 1)
5432
iiiii ++++
; 8)
i
16
; 2)
i
25
; 3)
iiiii ++++
41312111
15
i
; 9)
; 4)
545 ii ⋅−
; 9)
66124
+ i
2
ii 32
1
+
−
1 i−
22
; 2)
iii
i−1
; 14)
; 18)
bia
; 24)
bia
12
; 30)
8
−
.
7.7. Выполнить действия: 1)
1
6)
; 7)
ii−+1
16)
32
+
( )( )
+
27)
33)
−
1−+ i
i
−+
bia
bia
ii +−− 12
; 13)
ii
224
−
2
; 34)
−
; 8)
ii5432+
; 22)
bia
−
bia
+
ii 4,05,03,02,0
223
( )( )
; 28)
− i
1 i+
31−
; 35)
++−+132
; 17)
ii
; 23)
ii
8
; 29)
7.8. Разложите на комплексные множители: 1)
22
3)
ba
+
169
; 4)
; 5)
32 +
; 6)
2
sin1+
ii 5124
ii 235
1
1
α
; 7) 3.
; 2)
iiii 262371
8
i−
; 5)
432
iiii ⋅⋅⋅
; 10)
i
−
; 19)
i
+
−
1 i+
.
; 10)
ii 3232
; 3)
aibbia
++
aib
17
; 31)
ii 2626
i−
; 25)
22
nm +
; 2)
; 6)
7
+
ii 1,18,01,02,0 −++
543630206
iiiii ++++
.
ii 5235 −+
; 12)
1
+
3
ii
; 21)
i
+
i
1
+ i
2
; 7)
; 7)
1
;
i+1
4
;
3
14
+
;
13
−
2
;
68
§3. Действия над комплексными числами, заданными в триго-
−
+
−
+
−
(
)
π
π
+
=
π
π
+
(
)
()(
)
()(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()(
)
[
]
(
)
нометрической форме
7.9. Представить в тригонометрической форме следующие комплексные числа:
i
; 3)
; 7)
1
; 8)
cos5
2
31 i− ; 9)
ππ
+
sin
i
0sin0cos3 i+
; 4)
2
.
1) 2; 2)
3
10)
2
i6
; 3)
1
i
−
; 11)
2
i322 +−
; 4)
i43
.
i22
; 5)
i−− 3
; 6) i3; 7)
7.10. Представить в алгебраической форме комплексные числа:
1)
cos4
3
2sin2cos2 iz
; 2)
ππ
3
−+−
sin
i
; 5)
3
=
sincos i
; 6)
cos2
+
4
cos2
4
sin
iz
+4sin
i
3
ππ
4
ππ
7.11. Найти произведения
i−3
;
5
ππππ
+⋅+
sin
ii
;
;
24
°+°⋅°+° 35sin35cos210sin10cos4 ii
;
1)
3)
5)
7)
; 2)
; 4)
cos3
8
cos
cos
+
cos2
cos2
2
3
5
6
sin
6
sin
3
sin
sin
⋅
cos3
3
2
3
5
6
6
cos5
cos
cos
+
sin
ii
12
2
3
sin
ii
4
sin
ii
2
+⋅+
sin
ii
ππππ
12
ππππ
−+−⋅+
4
ππππ
−+−⋅+
; 6)
2
2
ππππ
.
3
sin
8
cos
24
2sin2cos5sin5cos ii +⋅+
5
7.12. Выполните умножение, используя тригонометрическую форму комплекс-
ного числа:
1 i
1)
414
2
i
6
5)
7.13. Выполнить деление: 1)
3
cos3
4
sin
6
+−+
; 2)
6
°+°+ 15sin15cos55 ii
; 6)
3
4
cos:
++
2
cos3 +⋅−+−
ππππ
sin
ii
; 3)
2
32231 ii −−+
; 3)
ππ
sin
8
8
cos10
( )
3
3331 ii ++
; 4)
ii 33
.
3
4
+
sin
4
cos2:
ii 33326 −−+
;
ππππ
4
+
sin
ii
°+°°+° 150sin150cos210sin210cos : ii
;
; 2)
4
ππππ
cos:
3
sin
ii
6
4)
cos
sin
3
7.14. Возвести в степень: 1)
8
cos2
+
8
ππ
sin
i
; 4)
8
−+−−+−
35sin35cos
; 5)
6
6
cos
12
−
°+° i
.
+
i
6
sin
ππ
; 2)
6
3
− i
2
3
2
°−+°−°+° 120sin120cos150sin150cos : ii
.
10
3
2
1
− i
2
6
; 3)
69
§4. Извлечение корней из комплексных чисел
=
+−=
1
−
=
0138
4
x
x
−
x
(
)
x
−
x
+
(
)
x
(
)
+
x
27
+
xx1
−
x
7
5
x
4
x
7.15. Представить в показательной форме числа: 1)
iz 2
; 2)
iz
1
; 3) 1; 4)
i+3
; 5)
7.16. Представив числа
zz ⋅
1)
21
; 2)
7.16. Извлечь корни из комплексных чисел: 1) i; 2)
4
6)
z
z
322 i+−
33 i+
1
; 3)
2
; 7)
; 6)
6
6
z
1
1
; 4)
.
62 i+−
.
iz += 1
1
4
z
.
1
и
312iz −=
в показательной форме, вычислить:
; 3)
4
1−
; 4)
3
; 5)
i
4
3
1−
;
4
7.17. Найти корни многочлена второй степени (с комплексными
коэффициентами) на множестве комплексных чисел и разложить его на
множители
2
132)(
++++= ixixixxQ
.
7.18. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами,
если известен один из его корней
1
7.19. Решить на множестве комплексных чисел уравнение
ix 31
.
2
.
=+−
Глава 8
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§1. Непосредственное интегрирование
В задачах 8.1 - 8.24 вычислить интегралы:
2
x23
8.1. . 8.2. . 8.3. .
dx
x24
8.4. . 8.5. . 8.6. .
dx
x
3
x
−
8.7. . 8.8. . 8.9. .
8.10. . 8.11. . 8.12. .
1
2
+
x
1
( )
+⋅
xx
1
dx
2
dx
1
8.13. . 8.14. . 8.15. .
dx
2
2
+
x
1
x
−
1
x
dx
3
11
− dx
4
3
x
2
x
dx
1
2
dx
dx
2
−
x
1
3
2
3
2
+
21
( )
1
2
2
dx
+
+⋅
dx
−
x
x
dx
4
xx
dx
2
dx
22
xx
2
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]