Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Учебно-методическое пособие
.pdf
15.36. Даны законы распределения двух случайных величин:
i
i
+=+
i
i
x
p
-4 0 4
0.25 0.5 0.25
y
p
2 4 6
0.2 0.3 0.5
Составить закон распределения их суммы. Проверить выполнение формулы
)()()( YDXDYXD
Глава 16
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
§1. Выборочный метод. Выборочные представления и
выборочные числовые характеристики
16.1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=120, полигон
частот которой имеет вид, изображенный на рисунке. Чему равна
относительная частота варианты x
=4 в выборке?
2
16.2. На рисунке приведена гистограмма плотности относительных частот f
выборки х
объемом n=20. Сколько значений выборки находятся в третьем
В
интервале значений от 4 до 6.
f
j
0,2
х
0 2 4 6
131
j
16.3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема
110
=
n
:
Чему равно значение n
?
6
16.4. Статистическое распределение выборки имеет вид:
Чему равно значение относительной частоты w
?
2
§2. Статистические оценки неизвестных параметров
распределения случайных величин
16.5. Из генеральной совокупности извлечена выборка:
Чему равна несмещенная оценка математического ожидания?
16.6. Из генеральной совокупности извлечена выборка:
Чему равна несмещенная оценка среднеквадратического отклонения?
16.7. Из генеральной совокупности извлечена выборка:
Чему равна интервальная оценка математического ожидания m
надежности 0,95?
16.8. Из генеральной совокупности извлечена выборка:
при
x
132
Чему равна интервальная оценка для среднеквадратического отклонения σ
(
)
=
при надежности 0,99?
16.9. Глубина моря измеряется прибором без систематических ошибок, а
случайная ошибка имеет нормальное распределение со среднеквадратическим
отклонением 15 м. Сколько нужно сделать независимых измерений, чтобы
определить глубину моря с ошибкой не более 5м при надежности оценки
равной 0,9.
16.10. Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 31; 33; 35; 36; 37. Тогда несмещенная оценка
математического ожидания равна …
16.11. Дан доверительный интервал (32,6; 41,1) для оценки математического
ожидания нормально распределенного количественного признака. Чему равна
точечная оценка математического ожидания равна?
16.12. Дан доверительный интервал (22,15; 23,65) для оценки математического
ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда
точность этой оценки равна …
16.13. По выборке 16 наблюдений вычислена дисперсия наблюдаемой
величины равная 64 м
2
. По уровню надежности 0,99 построить доверительный
интервал для среднеквадратического отклонения.
16.14. Для полученной в наблюдениях выборки вычислена дисперсия в 14 ед2. и
стандартное отклонение в 4 ед. Каков объем полученной выборки?
x
§3. Проверка статистических гипотез.
16.15. Цена автомобиля заданного класса в хорошем состоянии на вторичном
рынке есть нормальная случайная величина
купить такой автомобиль желательно дешевле. Какова для вас нижняя
критическая цена на предлагаемые автомобили, если вы, не желая рисковать,
готовы отказаться от хорошего автомобиля с вероятностью не более 0,05?
16.16. По выборке 16 наблюдений за нормальной случайной величиной
вычислено ее среднее выборочное равное 5,7 м и дисперсия 64 м
значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что значение математического
ожидания наблюдаемой величины равно 8 м.
16.17. По выборке 16 наблюдений за нормальной случайной величиной
вычислено ее среднее выборочное равное 5,7 м и выборочная дисперсия 72 м
По уровню значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что значение дисперсии
наблюдаемой величины равно 64 м
2
.
16.18. Имеются две выборки наблюдений объема 15 и 25 измерений. По ним
вычислены средние значения в 15 и 16,3 соответственно, а соответствующие
133
.р.т50.,р.т350NX
. Вам нужно
2
. По уровню
2
.
выборочные дисперсии равны 20 и 18. Проверить гипотезу о равенстве
20
=
n
ρ
дисперсий и математических ожиданий у наблюдаемых в выборках случайных
величин при уровне значимости гипотез 0,05.
16.19. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема
При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении
генеральной совокупности с математическим ожиданием равным выборочному
среднему и дисперсии равной выборочной дисперсии. Количество интервалов
в критерии Пирсона взять равным 4.
16.20. При наблюдении за пятью признаками, по 16 измерениям была
построена регрессионная зависимость с коэффициентом детерминации равным
0,5. Что можно сказать о его значимости по уровню 0,05?
16.21. В эксперименте получены выборки одновременно наблюдаемых
случайных величин x и y, с выборочными дисперсиями D
= 0,81; Dу = 0,64.
х
уравнение линейной среднеквадратической регрессии имеет вид: y + 0,28x= 1.
Определить выборочный коэффициент корреляции
.
ху
16.22. При построении тренда двух переменных с выборочными дисперсиями
25 и 36, полученными по 15 измерениям, был получен коэффициент наклона
тренда для второй переменной равным 0,75. Что можно сказать о значимости
тренда по уровню 0,01?
16.23. В четырех студенческих группах проведена контрольная работа, в
первой верно решено 60 из 105 задач, во второй 69 из 140, в третьей 63 из 125 и
в четвертой 105 из 160. По уровню значимости 0,05 проверить гипотезу о
несущественном различии в усвоении материала учебными группами.
134
1.4. 5 и 8. 1.6. 4 и 7. 1.8.
(
)
−
−
α
2
sin
=−=
−
−
−
−
−
(
)
−
(
)
(
)
−
=
353
(
)
−
(
)
3
−
≠
a
3
3
(
)
4
Ответы
Глава 1
103
−847
14
. 1.9. . 1.13. .
0
6
3717
−− 1619
009
1.16. . 1.19.
14
1.31. x = 2. 1.32. Нет решений. 1.33.
1.37. -1 и 6. 1.40. 3. 1.41. -2 . 1.43. . 1.46. .
1.58. 1) ; 4) ; 5) ; 8)
45
3. 1.66. 3. 1.67. 2 . 1.68. 2 . 1.69. – ½. 1.70. 7/9. 1.71. . 1.72. . 1.73. (3,
1, 1). 1.74. . 1.77. . 1.78.
( )
1.85.
1.90. (2; 2; - 1). 1.91.
( )
1.100. Несовместная. 1.102. . 1.103. Несовместная. 1.105.
; 9) . 1.61. 2 . 1.62. 2 . 1.63. 2 . 1.64. 3. 1.65.
64
75,1;1;75,1 −
( )
1;0;1
. 1.86.
1;1;0 −
. 1.96.
−
0;1;1
. 1.81.
( )
( )
( )
( )
0;1;2
2;1;1 −
1;0;0
. 1.92.
2;0;1−
. 1.97.
0250
. 1.22. . 1.30.
4900
− 226
1316
36
. 1.82.
. 1.87.
( )
( )
2
=x
1
122
0;0;1
( )
;
1;1;0
( )
1;1;2
1.93.
2;2;1
. 1.98.
5
3
2
+=
zx
3
7
+−=
zy
−
−
3
=x
2
− 22
( )
. 1.83.
3;2;1 −−
. 1.88.
( )
( )
;
3
55
2;0;2
( )
2;0;1−
131014
02510
53013
3
−=x
. 1.79.
1;2;2
. 1.84.
( )
1;0;0
. 1.94.
. 1.36. 29 и 0.
2,10
xx
21
0;1;1
( )
. 1.89.
( )
1;2;1
2;1;1 −
12=x
35
50
. 1.80.
( )
( )
. 1.95.
1;1;1
. 1.99. .
+=
0;1;2
0;2;3
12zyzx
1
.
.
.
. 1.106. . 1.107. . 1.109. .
1.110. 1) ; 2) ; 3) . 1.111. .
=
1.112. . 1.113. . 1.114. .
xx
31
−=
2xx
32
,3 ≠−= ba
1
135
1
−=
xx
31
2
1
−=
xx
32
3;2
,3 =−= ba
1
=
0
x
3
1;1;1
0;0;0
+−=
xxx
412
2
4
=
=
3
±
=
z
(
)
25
5
25
{
}
)
)
7
7
7
(
)
(
)
+−=
=
7
7
−
7
(
)
−
2
322
c
a
b
ab3
1,4
−==
β
α
(
)
(
)
(
)
−
135
=
α
45
=∠=
∠
C
B
2
5
3
3
=
3
6=S
k
2
−
2=S
22
2
S
5,24=S
ik2
−
c
a
×
2
c
a
×
21
{
}
−
−
{
}
{
}
2
3
5,1=S
1.115. . 1.116. .
1
−=
xx
31
4
5
+=
xxx
432
xx
41
=
xx
42
−=
xx
43
Глава 2
7
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.5. Да. 2.6.
2.8.
2.10. , , . 2.11. . 2.12. ;
a
cos =
α
12
2
−=
3
AKALBC
,
cos −=
β
4
3
3
cos −=
4
3
1;1;4
2
ALAKDC
−=
. 2.9.
,
2=x
,2 −==
βα
1=y
,
3
γ
16
2;2;2
1
.
1−=z
.
ba ⊥1
ba2
. 2.13. , , . 2.14. ,
cos =
1) Линейно независимые; 2) ; 3) Линейно зависимые, но вектор
неколлинеарен коллинеарным векторам и . 2.21. 22 . 2.22.
M
2.31. . 2.32 . . 2.33. -200 . 2.34. – 1/2. 2.35.
3
γ
2
. 2.16.
. 2.23. ; 2.25. . 2.26. и
−=
0;1
. 2.27. . 2.28. 1) - 6 ; 2) 9; 3) 13 ; 4) -61. 2.30. 0 .
r
kjir −+= 23
. 2.15. , , , ,
6
0
и
cos,7 ==
23
15=F
2
α
. 2.17. . 2.18. 7 . 2.19. . 2.20.
c
cos =
a
+=
β
3
cos =
u
kjiu 362
6;5;9
b
0
43
arccos
. 2.36. 2. 2.37. ; . 2.38.
( )
cos =ma
1325
ba =
. 2.39. . 2.40. . 2.41. ;
3
−
α
3
±=
6
γ
7
cos =
α
2
cos
β
3;3;23 −M
6
=
19
0;1;0M
M
5
( )
cos −=na
72
24
=aпр
b
a
0;7
1
2
7
64
=bпр
175
0;24;45
3
136
{ }
kji 646 +−
4
3
6=S
,
;
;0
5
21
−
5
1;5;7
5
== dd
3;2;1 −
. 2.47. 1)
=
4
. 2.60. .
3
−
;0
5
;
5
5
. 2.42. . 2.43. . 2.45. -7. 2.46.
j6−
, ; 2) , ; 3) , . 2.48.
. 2.49. . 2.50. 1) ; 2) ; 3)
; 4) 3. 2.51. . 2.52. , .
2.53. . 2.54. . 2.55. . 2.57. ;
173
=S
. 2.58. . 2.59.
aпр
+
cb
,21=S 2,4=h
sin =
ϕ
8;24;6
212
=h
2.61. 30 . 2.62. . 2.63. 16 . 2.64. . 2.65. .
390
−
390
390
{
}
{
}
−−−
,
51=V
bac
+
=
5
(
)
(
)
−
14
22=V
7
01234,
0
=+−
=
yxy034,
4
=−=
yxy
0=x
063
2
=+−
y
x
(
)
−
073
2
=−+
y
x
042
3
=−−
yx0336
7
=++
y
x
0332
5
=−−
yx0114
=−+
yx0183
2
=−−
y
x
0122
7
=−−
yx0285
=−+
yx0113
4
=−+
yx0
2
=++
y
x
0132
3
=−+
yx034
=−+
yx035
2
=+−
yx0265
2
=−−
y
x
0333
7
=−−
y
x
(
)
−
−
(
)
−
02811
=−−
y
x
0
8
=−+
y
x
(
)
−
(
)
−
−
3≠a
2,3
≠
=
b
a
2,3
=
=
b
a
7
−
=
a
0122
3
=−−
y
x
0248
3
=+−
y
x
03913
74
=++
yx0
7
=−−
y
x
(
)
(
)
−
(
)
−
236
0
5
=++
+
zyx088221
2
=++
−
zyx01223
2
=+−
−
zyx
28;4;20
ba
4;9;8
2.66.
cos
α
=
α
{ }
−
=
2
,
11;13;10−
cos =
3
36=S
,
=h
cos
,
2
β
3
37
. 2.71. 2.72.
3
α
cos =
,
=
cos =
,
β
1
γ
. 2.68.
3
1
. 2.74. 24. 2.75. -7. 2. 76. 11. 2.77.
10
13
,
γ
тройка левая. 2.69.
( )
. 2.67. 15,
( )
cos =
11
14=V
baaccb +=−−+
. 2.73.
5,12=V
. 2.78.
,
3
ϕ
0;8;0
и . 2.79. 1) ; 2) ; 3)
5
arccos
−=
221
0;7;0
; 4) ; 5) .
33
,132,17
Глава 3
3.2. . 3.5. . 3.6. , ,
, . 3.7. ; 3.8.
10=AB
54=AB
; 3.10. . 3.12. 1) ;
2) . 3.11. A(-2; 1), B(-1; 3), C(2, 4). 3.13. ;
; . 3.14. ;
; . 3.15. ; ;
. 3.16. . 3.17. ; ;
. 3.19. . 3.18. 2x – 3y – 13 =0, 3x +2y = 0, 68x + 15y –
91 = 0, 40x + 57y - 35 = 0. 3.20. . 3.21. ;
. 3.22. . 3.23. . 3.24. 1) параллельны 2) не
1;2
11;11
5;12
5;3
1;3
параллельны 3) параллельны 4) параллельны. 3.25. 1) ; 2) ;
2
3) . 3.26. . 3.27. . 3.28. ;
2
. 3.29. . 3.30. . 3.33. 1) d = 2,5 2) d = 3 3) d
= 0,5 4) d = 3,5. 3.35. . 3.36. .
3.37. ; ; . 3.39. .
0;0;12
5едS =
0;8;0
6едS =
2
6едS =
6;0;0
zyx
1
++
=
−
3.40. . 3.41. ; .
137
3.42. . 3.43. . 3.44. 1) параллельны; 2) не
0143
2
=−+
−
zyx
016232
=++
−
zyx0235
=+−
zyx
0273
2
=−−
z
x
023
=+−
−
zyx
0167
4
=++
+
zyx
0
=−−
zyx02
=++
zyx
083
3
=−+
+
zyx
057
=−−
zyx
(
)
−
073
2
=+−
z
y
043
=
+
z
y
023
=
−
z
x
0
2
=
+
y
x
0
3
=
−
z
0
2
=
+
y
0
5
=
+
x
3=d
25
5
2=d
4=d
2=d
5,3=d
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
1
131
−
−
−
533
2
+
−
132
5
−
+==−
030
1
+==−
532
3
+
−
−
21322
−=+=−
83010
+=+=−
55432
+
−=−
11242
+=−=−
4
712
+=−
31210
−
+
01031
+=−
параллельны; 3) параллельны. 3.45. . 3.46.
. 3.47. . 3.48. .
3.49. . 3.50. . 3.51. .
3.52. . 3.53. 1) перпендикулярны; 2) перпендикулярны; 3) не
перпендикулярны; 4) перпендикулярны. 3.54. . 3.55.
05432 =−++ zyx
. 3.56. . 3.57. 1) ; 2)
2;2;1
x + y – 4 = 0
;
3) 3x + 2x – 15 = 0. 3.58. 1) ; 2) ; 3) .
29
3.59. 1) ; 2) ; 3) . 3.60. 1) ; 2) ; 3)
14
=d
; 4) . 3.61. . 3.62. 1) ; 2) .
4
3.63. , . 3.64. , . 3.65.
11
и . 3.66. 1) 2) 3) . 3.67. .
43
0;7;0
0;0;
2
3.69. 1) ; 2) ; 3) ; 4)
=
0;5;0
zyx
2;0;0
2
=
−
zyx
6;0;0
13
2
=d
0;0;2
4 zyx
=
zyx
=
−
2
; 5) ; 6) . 3.70. 1)
1
zyx
=
2
zyx
=
zyx
; 2) ; 3) . 3.71. 1)
−
=
2
+=
2
tx
+−=
12
ty
; 2) ; 3)
+=
1
tz
x
−=
1
y
4)
−=
38
tz
+=
42
. 3.72. . 3.73. A(33/2, - 9, 0), B(3, 0, 3), C(0, 2, 11/3).
3.74. . 3.76. . 3.77. .
2 zyx
3.78. 1) ; 2) ; 3) .
tx
−=
33
ty
+=
1
tz
2
zyx
1
zyx
=
−
=
−
zyx
=
=
=
zyx
−
138
+=
600135
21
26
3
=
l
63322
+
−
−=−
=
+
55336
+
+=−
0115
8
=−+
−
zyx
122
=−+
zyx
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
052
=−+
zyx
(
)
−
114
5
+
−
032
=++
zyx
(
)
−
−
051111413
=++
−
zyx
0913
8
=+−
−
zyx
()(
)
()(
)
()(
)
(
)
3
=
+
y
x
()(
)
()(
)
4
25
49
4
25
169
25
9
16
9
921692
92792
3
4
5
4
3
41
(
)
−
1
3.79. 1) ; 2) . 3.80. 1) параллельны; 2) параллельны; 3)
параллельны. 3.83. . 3.84. . 3.85. . 3.87. .
tx
−=
7
ty
−−=
219
tz
0
=
tx
+−=
ty
+−=
4553tz
4
±
arccos
11
1
3.89. . 3.90. . 3.91. 1) 2)
. 3.93. . 3.95. .
yx
=
4
z
3.96. 2x – 3y +4z -1 =0 . 3.97. y + z + 1 = 0. 3.98. . 3.102.
3.103.
C = - 2
. 3.104.
x – z – 3 = 0
3.106. . 3.107. 1) ; 2)
. 3.108. (1, 1, 2); . 3.109. . 3.110. .
=−+−
032
. 3.112. . 3.113. .
=−++
05
3.111.
zyx
zyx
3.114. . 3.115. . 3.116. . 3.117.
zyx
=
023
2
zyx
=
−
−
. 3.105. .
2;5;5
7;4;1
2;3;2
1;3;1
(60/7; 37/7; 23/7)
4;2;3
1
; 3)
2;3;2
zyx
==
n = - 3
6;3;2
.
−
. 3.118. . 3.119. . 3.120.
5;3;2
. 3.121. 1) 13; 2) 3; 3) 7.
Глава 4
22
111
4.1. 4.2. ; .
4.3. 4.4 . 4.6. .
2
2
93
22
=−+− yx
=+− yx
532
. 4.11.
22
yx
1
=+
. 4.12.
4.7. . 4.9. . 4.10.n ;
59
22
yx
1
4.13. . 4.14. . 4.15. .
4.16. . 4.18. . 4.19. и
16
yx
4.25. . 4.26. ; ; .
=+
22
yx
22
1
=+
1
=+
. 4.20. . 4.21. . 4.23. .
1;0
22
yx
1
=+
)3(
− yx
+
+
22
yx
3
1
=+
1
24
;
3
=−+− yx
22
2514
=+++ yx
22
yx
1
=+
43
22
yx
1
=+
22
)4(
1
=
10
1
24
−
3
;
3
22
.
7
22
2555
=−+− yx
08
=−+ yyx
22
514
=++− yx
22
yx
1
=+
22
yx
1
=+
139
2
(
)
8
9
13
36
8
18
5
4
9
16
(
)
(
)
(
)
48
16
18
18
2
2
2
4
4
(
)
(
)
∞∞−
∈
2;1
≠
≠
x
x
1;0
±≠≠
x
x
(
)
∞
∈
()(
)
∞∪−
∈
2
4
π
π
(
)
πππ
+
∈
Z
n
∈
(
)
∞∞−
∈
(
)
∈
[
]
−
∈
()(
)
∞∪∈
{
}
−
5
−
=
x
{
}
{
}
{
}
−
{
}
[
)
∞−∈
[
]
()(
)
∞∪∞−∈
(
]
∞−∈
4.27. . 4.30.
4.34. . 4.35. . 4.37. . 4.39. .
2
2
363
=+− yx
22
yx
1
=−
x
y
2
22
1
=− yx
1
=−
. 4.31.
3
22
yx
1
=−
22
xy
1
=−
.
54
22
yx
1
=−
22
yx
1
4.40. . 4.41. . 4.43. . 4.44. ;
32;6
25
12. 4.55. 4.56. . 4.58.
2
;
=−
22
; . 4.45. . 4.46. . 4.47.
. 4.48. . 4.49. . 4.50. 4.53. . 4.54.
32;6 −
2
yx
1
=−
xy 3
−=
2
x
xy −=
22
yx
1
=−
22
yx
=−
xy =
0;0
1
2
8
−=p
. 4.59.
3
2
7м . 4.60. 40см . 4.61. 3 м. 4.62. . 4.63.
2
( ) ( )
−=− yx
. 4.64. ; . 4.65. . 4.66.
184
4.67. 4.70. 4.71.
2
xy 3
−=
=x
( ) ( )
3
642
−=− xy
2
2
41
=++ yx
Глава 5
5.1*Z
5.4. . 5.5. *Z
5.7. . 5.8. Пустое множество. 5.9. .
[
;0x
\
. 5.2. . 5.3. .
;x
[
\
. 5.6. Пустое множество.
;11;1x
n
5.10. . 5.11. . 5.12. ; .
5.13.*Z[]
5.16. . 5.17. . 5.18. .
5.19. . 5.20. . 5.21. .
5.22. . 5.23. . 5. 24. .
5.25. . 5.26. . 5.27. .
5.28. . 5.29. . 5.30. .
x
−∈
x
3;2
1
1
;
2
3
4;2;1;0;1
5;0∈y
x ∈+≠ ;
. 5.14. *Z[\. 5.15. .
∈ e
x ;
Zn
1
e
;65;4x
8;7;6
4
;00;y
140
x
nnx
2;2
;x
5.2;5.1
0;1
9;8
;3y
y
3;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]