Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Учебно-методическое пособие
.pdf
§2. Определители матриц
−
−
α
α
−
+
−
−
+
−
−
−
В задачах 1.24 - 1.29 вычислить определители матриц.
1.24.
41
−
. 1.25.
25
21
. 1.26.
−− 42
sincos
cossin
.
αα
1.27.
a21
. 1.28.
aa
cba21
. 1.29.
−+
acabaa
a 1
−
.
aa
Решить следующие уравнения:
42
x
0
1.30.
1.33.
2
x
=
41
. 1.31.
14
−−
−−
xx
0
=
. 1.34.
22
x
Вычислить алгебраические дополнения элементов
41
0
=
223
+xx
. 1.32.
122
0
=
x
27
. 1.35.
x
−
x
3
xx
0
=
24
x
a
13
и
определителей следующих матриц:
1.36.
−−
−
023
−−
012
. 1.37.
4715
210
−
213
. 1.38.
101
−
−
В задачах 1.39 - 1.44 вычислить определители матриц разложением по
элементам какой-нибудь строки (столбца):
1.39.
1.42.
231
421
−−
243
462
−−− 231
312
. 1.43.
. 1.40.
−
−
123
232
. 1.41.
354
αα
ctgsin0
αα
sin0sin
αα
1sinctg
. 1.44.
−
Решить следующие уравнения:
51
0
=
11
.
.
a
32
−
111
111
.
111
321
−−
512
.
723
αα
1cossin
ββ
1cossin
.
1cossin
γγ
1.45.
31
x
0
154
=
−
−
512
. 1.46.
+
x
x
−
11
43
0
312
=
. 1.47.
−
x
1110
123
0
701
=
.
312
−
1.48.
−
−
+
−
−
−
−
−
−
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
CBACX
−
2
ACBAX
−
2
BACBX
−
7
7
−
BAC
X
ACB
X
−
2
(
)
−
−
−−−
−
−
−
123
1
21
=
−
x
121
−−
. 1.49.
x
35
−
122
0
211
=
−
. 1.50.
x
+
x
−−
x
§3. Обратная матрица. Ранг матрицы
В задачах 1.51 - 1.58 найти матрицу, обратную к данной, и сделать
проверку:
1.51.
21
. 1.52.
43
23
. 1.53.
34
−
13
. 1.54.
25
123
0
102
=
.
132
12
.
−−
43
1.55.
1.58. Дано:
001
010
. 1.56.
100
=
A
−
21
−
01
,
B
321
−
423
. 1.57.
012
=
12
31
,
C
321
654
.
987
12
=
.
10
Найти матрицу X, если:
1)
4)
7)
12
2
⋅−= CBAX
1
+−=
; 2)
−⋅+=
; 5)
12
; 8)
1
12
2
⋅−= ACBX
12
−⋅+=
+−=
; 3)
; 6)
; 9)
2
7
⋅−= BACX
1
1
Методом окаймляющих миноров в задачах 1.59 - 1.65 вычислить ранг
матрицы:
321
642
. 1.62.
415
4
3
. 1.65.
−
5
3
7
11
15
−− 231
2
3
5
7
1.59.
1.63.
21
−13
. 1.60.
21
. 1.61.
63
−
3
0
1
3
2
3
1
6
2
−
3
1
. 1.64.
−
8
1
0
0
1
2
3
3
−
2
0
В задачах 1.66 - 1.68 найти ранг матрицы методом элементарных
преобразований:
1001
2010
. 1.67.
3100
14321
23311
−−
41122
. 1.68.
23311
1
−
−
1
−
1
1
1
−
2
1
1
1
1.66.
12
;
−⋅+=
231
462
2
5
8
11
;
BACCX ⋅⋅+=
.
.
.
1
1
.
2
12
λ
−
1
λ
λ
λ
=−−
=++
=++
=++
=++
=−+
=−+
=+−
=−−
=+−
=++
=+−
=
+
=++
−=−
+
1.69. При каких значениях
1.70. При каких значениях λ ранг матрицы
матрица
1.71. Найти ранг матрицы
параметра λ.
21
412
при различных значениях
824
имеет ранг, равный 1?
21
10
− 211
143
равен 2?
§4. Решение систем линейных алгебраических уравнений
По правилу Крамера решить системы уравнений 1.72 - 1.80 и сделать
проверку:
342
1.72.
1.75.
1.78.
матрицы и сделать проверку:
В задачах 1.81 - 1.89 решить системы уравнений методом обратной
zyx
−=++
34
zyx
zyx
zyx
. 1.73.
=+−
5523
222
−=+−
132
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
. 1.76.
−=−+
82
423
−=−+
2352
=+−
625
. 1.79.
82
zyx
zyx
=++
62
zyx
zyx
=−+
1133
zyx
. 1.74.
222
zyx
zyx
zyx
=++
104
zyx
zyx
zyx
zyx
=+−
023
zyx
323
=+−
332
. 1.80.
=−+
745
. 1.77.
zyx
zyx
zyx
zyx
=+
yx
22
=−+
532
.
=++
1073
22
=+−
353
.
=−+
434
1
−=++−
22
.
5,032
1.81.
1.84.
523
zx
zyx
=−+
7332
zyx
zyx
52
yx
. 1.82.
−=−−
24
yx
=+
23
. 1.85.
=−
525
zy
13
532
zyx
133
zyx
=+
332
=+−
zyx
zyx
. 1.83.
453
422
zyx
−=+−
1342
zyx
zyx
.
=+−
953
84
=+−
65
zyx
zyx
. 1.86.
−=−+
143
=+−
52
zyx
=−
yx
.
54
−=−
−
322
=++
=−+
=−+
=++
=++
=++
=+−
=+−
=++
=+−
=+−
=−+
−=+
−
=+−
=++
=++
=+−
=
+
1.87.
zyx
=++
02
zyx
zyx
. 1.88.
=−+
523
4423
zyx
5
zyx
−=−+
132
zyx
=++
zyx
. 1.89.
4445
−=+−
zxy
=−−
zxy
Методом Гаусса решить системы уравнений 1.90 - 1.98 и сделать проверку:
5
1.90.
1.93.
1.96.
zyx
=+−
1
zyx
zyx
. 1.91.
=−−
104
02
zyx
=+−
53
zyx
zyx
=+−
zyx
022
. 1.94.
5423
=−
yx
=+
zx
=+−
533
zyx
=+−
543
zyx
. 1.97.
4432
zyx
−=−+
123
zyx
=++
4454
zyx
622
zyx
2
. 1.95.
1353
133
zyx
−=+−
zyx
=+−
935
zyx
. 1.92.
1243
. 1.98.
zyx
yx
zyx
zyx
В задачах 1.99 - 1.109 исследовать системы линейных уравнений и в случае
их совместности найти решения:
142
1.99.
1.102.
zyx
−=−+
152
zyx
zyx
−=−−
2
zyx
. 1.100.
432
=−+
32
zyx
=++
zyx
. 1.103.
7233
22
zyx
zyx
−=++
132
zyx
zyx
. 1.101.
=−−
323
432
zyx
zyx
zyx
zyx
=−+
32
zyx
zyx
=++
10233
1.104.
zyx
=+−
zyx
1
.
74
52
zyx
=+−
4353
zyx
zyx
.
=−+
1072
543
−=+
332
.
=+−
24
4532
zyx
−=−+
24
.
=+−
3223
zyx
523
=−−
22
.
−=−−
3224
42
=−+
332
.
114
=−+
52
1.105.
1.107.
xxx
321
. 1.106.
=++
334
xxx
321
1
xx
21
=+
532
xx
21
xx
21
. 1.108.
=+
754
14
xxx
321
=−−+
423
xxxx
4321
.
−=+−
6
=+−+
532
xxxx
4321
=++−
123
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
.
=+++
6432
=+++
16446
4321
1.109.
=+−
=++
=++
=−−
+
4=x
12
−
=
y
z
=
{
}
−
=
(
)
−
(
)
−
(
)
−
AB
BA
=++
632
xxx
321
=+−
032
xxx
321
xxx
321
xxx
321
.
=+−
5423
=+−
33
23
bzyx
=+−
3985
1.110. При каких значениях a и b система уравнений
zyx
:
−=++
azyx
12
1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесконечно
много решений?
В задачах 1.111 - 1.116 решить однородные системы уравнений:
0
1.111.
1.113.
1.115.
xxx
321
=−−
03
xxx
321
xxx
. 1.112.
=++
032
321
=++
0223
xxx
321
. 1.114.
=++
0325
xxx
321
=++−
023
xxxx
4321
=−−+
0
xxxx
4321
=−+
05
xxx
421
. 1.116.
032
xxx
321
=++
0432
xxx
321
xxx
321
.
=++
0543
=−++
02322
xxxx
4321
.
=−++
02
xxxx
4321
0623
xxxx
4321
=−−−
044
xxxx
4321
xxxx
4321
.
=−++
0234
Глава 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§1. Векторы и действия над ними
2.1. Вычислить длину вектора
2.2. Даны две координаты вектора
13
координату
при условии, что
a
.
2.3. Определить координаты точки N, с которой совпадает конечная точка
вектора
M
a
3;2;1
.
2.4. Даны точки
и
.
A
4;1;3
, если его начальная точка совпадает с точкой
2;1;3
и
B
и
1;2;1
. Найти координаты векторов
. Определить третью
15
2.5. Даны неколлинеарные векторы
a
2
α
(
)
baDA
BC
DA
ABCDEK
a
AB
b
BC
a
b
CD
DE
EK
KA
AC
AD
AE
BC
CD
ABCD
BC
DC
AK
AL
=
{
}
−−=
M
M
r
OM
=
(
)
(
)
−
u
AB
=
u
(
)
−
(
)
−
−
(
)
−
(
)
−
(
)
(
)
−
A
(
)
−
(
)
−
−
(
)
−
BC
и b. Коллинеарны ли векторы
bac 32−=
и
2.6. Пусть векторы a и b неколлинеарны и
bCD ⋅−=
β
4
векторов
2.7.
,
и
- правильный шестиугольник, причём
Выразить через
.
и
⋅+=
α
векторы
2.8. Точки K и L служат серединами сторон
. Выразить векторы
2.9. Дан модуль вектора
bad 63 +⋅−=
?
aAB
=
,
β
4
. Найти числа α и β и доказать коллинеарность
=
,
,
и
2
a
и углы
,
через
,
и
,
и
.
,
,
.
параллелограмма
000
120,60,45 ===
γβα
, которые
baBC −⋅=
=
составляет вектор с осями координат. Вычислить проекции вектора на
координатные оси.
2.10. Вычислить направляющие косинусы вектора
a
2.11. Найти координаты вектора а, образующего с векторами
16;15;12
.
kji ,,
равные
,
.
острые углы, при условии, что
32=a
.
2.12. Как должны быть связаны ненулевые векторы a и b, чтобы имело
место соотношение: 1)
baba −=+
; 2)
2.13. Построить вектор
направление (проверить по формуле
2.14. Радиус-вектор r точки
угол . Длина его
. Определить координаты точки
составляет с осью x угол , а с осью y -
координата z отрицательна, и выразить вектор
2.15. Даны точки
3;2;1A
и
B
6;4;3
. Построить вектор
=
kjiOMr 632 ++==
, определить его длину и
||/||/ bbaa
xx
?
222
1coscoscos
=++
γβα
).
через орты
, если ее
kji ,,
.
, его
проекции на оси координат и определить длину и направление вектора.
Определить углы вектора
2.16. Построить параллелограмм на векторах
с осями координат.
jiOA +=
и
jkOB 3−=
и
определить длины его диагоналей.
2.17. Даны три последовательные вершины параллелограмма:
B
2.18. Даны три вершины треугольника:
Найти длину медианы, проведённой из вершины
2.19. Даны вершины треугольника
2;3;5
и
C
3;2;1
. Найти координаты его четвертой вершины D.
A
5;1;3
,
.
A
7;4;3
B
,
2;3;5
A
5;2;4−B
и
и
7;4;3
,
C
C
3;0;4
3;2;1
.
.
Найти длину средней линии треугольника, которая параллельна стороне
16
.
c
a
{
}
=
{
}
{
}
−−=
{
}
=
{
}
{
}
−
=
{
}
−
=
{
}
{
}
=
=
{
}
−
=
{
}
(
)
−
(
)
−
(
)
−
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
F
b
3
π
=
b
a
a
(
)
()(
)
cba32
=
b
60
{
}
=
{
}
2.20. Установить, в каких случаях тройки векторов
cba ,,
будут линейно
зависимы, и в том случае, когда это возможно, представить вектор
как
линейную комбинацию векторов
a
1)
a
2)
a
3)
2.21. Даны:
1;2;5
2;4;6
,
,
12;18;6
a
,
13
,
19=b
и
2.22. Проверить коллинеарность векторов
2;4;1−=b
,
3;6;9−=b
,
16;24;8 −−=b
и b:
с
,
с
с
24=+ ba
. Вычислить
a
6;1;1
;
3;6;3
;
3;7;8
.
ba −
.
3;1;2
и
Установить, какой из них длиннее и во сколько раз? Как они направлены - в
одну или в противоположные стороны?
2.23. Определить, при каких значениях α и β векторы
2.24. Проверить, что четыре точки
D
2.25. На оси y найти точку M, равноудалённую от точек
B
коллинеарны.
3;5;3
служат вершинами трапеции.
5;6;5
.
A
2;1;3
B
,
1;2;1
C
,
A
2.26. На оси x найти точку M, расстояние от которой до точки
равно 5.
,, FFF
2.27. Три силы
321
, приложенные к одной точке, имеют взаимно
A
9;3;6 −−=b
.
kjia
β
++−= 32
и
3;1;1
,
7;4;1
и
3;3
перпендикулярные направления. Найти величину равнодействующей силы
если известны величины этих сил:
=F
1
2
,10
=F
11
=F
3
.
,2
§2. Скалярное произведение
2
2.28. Векторы a и
вычислить: 1)
2.29. Найти длину вектора
векторами
и c и равен
образуют угол
⋅
; 2)
2
;
0
.
3)
−=
. Зная, что
ba +
, если
2.30. Найти скалярное произведение векторов
2.31. Определить угол между векторами
17
2
; 4)
a
jia +−=
и
2=b
,
3
a
7;4;3
и
5
c
и угол между
и
4=b
,
baba 223 +⋅−
.
2;5;2 −=b
.
kjib 22 +−=
.
,
2.32. Определить углы треугольника с вершинами
(
)
−
(
)
(
)
{
}
−−=
{
}
ba3
2
ba2
(
)
(
)
−
(
)
−
−
(
)
()(
)
nma
−
=
2
120
∧
∧
a
b
b
a
b
a
0
cba
accbb
a
=
(
)
(
)
b
{
}
−
=
{
}
{
}
−
=
с
b
(
)
−
(
)
(
)
−
(
)
−
−
{
}
=
R
1
=
⋅
a
x
2=⋅b
x
3
=
⋅
c
x
{
}
=
{
}
{
}
=
5;0;0C
.
2.33. Даны векторы
a
4;2;4
и
A
2;3;6 −=b
. Вычислить скалярное
3;1;2
,
1;1;1B
и
произведение векторов
−
и
+
.
2.34. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на
векторах
kjia +−= 6
и
kjib ++= 32
.
2.35. Найти угол между диагоналями параллелограмма, если заданы три его
3;1;2A
вершины:
,
B
2.36. Вычислить
2.37. Дан вектор
между ними. Найти
, где m и n – единичные векторы с углом
ma
2.38. Какому условию должны удовлетворять векторы
+
был перпендикулярен вектору
и
),(cos
1;2;5
и
C
.
),(cos
na
−
?
3;3;3
.
2
222 kikkjjji −+⋅−+⋅−
.
0
и
, чтобы вектор
2.39. Даны единичные векторы a, b и с, удовлетворяющие условию
=++
. Вычислить
⋅+⋅+⋅
.
2.40. Дано:
ba ⋅+
α
a
и
2.41. Даны векторы
b
пр
.
a
2.42. Даны три вектора:
Вычислить
пр
2.43. Найти проекцию вектора
3
,
ba ⋅−
α
a
.
+
5=b
. Определить, при каком значении α векторы
будут взаимно перпендикулярны.
kjia 2++=
и
a
4;3;1
,
kjia 232 +−=
kjib 4+−=
. Определить
на ось, составляющую с осями
координат равные острые углы.
2.44. Даны вершины четырёхугольника:
D
3;5;5
. Доказать, что его диагонали перпендикулярны.
2.45. Сила, определяемая вектором
A
2;2;1
,
kjiR 78 −−=
, разложена по трём
направлениям, одно из которых задано вектором
составляющую силы
в направлении вектора a.
2;4;3 −=b
и
0;4;1B
,
a
C
c
1;2;2
a
пр
и
4;1;1
1;1;4
,
. Найти
.
2.46. Найти координаты вектора x, если
a
1;1;2
,
c
2;4;0=b
,
3;1;10
18
.
,
,
, где
§3. Векторное произведение
bac
a
(
)
(
)
(
)
−
kib
2
()()(
)
()()(
)
(
)
(
)
()(
)
()(
)
(
)
{
}
−
=
{
}
{
}
=
{
}
−−=
{
}
=
{
}
−
=
=
{
}
−
=
{
}
{
}
()()(
)
baс
b
(
)
−
(
)
(
)
AC
;
×=
. Найти в каждом случае площадь
и b, если:
jib −=
; 3)
acbbcbaccba ×−+×+++×++
;
jia 32 +=
,
kja += 2
2.47. Определить и построить вектор
параллелограмма, построенного на векторах
1)
2.48. Вычислить площадь треугольника с вершинами
C
2.49. Построить параллелограмм на векторах
вычислить его площадь и длины его высот.
2.50. Раскрыть скобки и упростить выражения:
1)
2)
3)
4)
2.51. Вычислить синус угла, образованного векторами
2;5;4
kbia 2,3 ==
; 2)
.
jia +=
,
kjikkjjkji ++×++×−+×
bacbacba +×++−×+2
;
jikkijkji ×⋅+×⋅+×⋅ 432
.
4;3;7A
,
a
kjb 23 +=
.
,
6;0;1B
и
+=
и
1;2;2
и
6;3;2=b
.
2.52. Найти единичный вектор e, перпендикулярный вектору
и оси абсцисс.
2.53. Вектор x, перпендикулярный к векторам
jka 23 −=
x
m
,
A
образует с осью y тупой угол. Зная, что
его координаты.
2.54. Вектор m, перпендикулярный к оси z и к вектору
образует с осью x острый угол. Зная, что
2.55. Найти вектор x, зная, что он перпендикулярен к векторам
и
2.56. Доказать, что
значение этого тождества.
2.57. Построить векторы
модуль вектора си площадь треугольника, построенного на векторах aи
2.58. Дан треугольник с вершинами
3;2;1 −=b
и удовлетворяет условию
a
26
, найти
51
, найти его координаты.
bababa ×=+×− 2
, и выяснить геометрическое
jib 23 −=
,
8;2;1
,
a
3;2;4
и
a
a
1072 =−+⋅ kjix
.
×=
. Вычислить
4;0;0B
и
3;4;1
3;1;0=b
,
3;15;8
,
1;3;2
.
0;2;6C
.
Вычислить длину его высоты, опущенной на сторону
19
.
2.59. Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного
nma
2
+
=
nmb+=2
30
=
(
)
{
}
−−=
{
}
()(
)
10||=a
(
)
b
a
b
a
(
)
(
)
−
{
}
(
)
−
(
)
{
}
{
}
{
}
(
)
−
(
)
−
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
−
(
)
(
)
(
)
b
a
c
b
a
c
−
на векторах
jka −=
и
kjib ++=
.
2.60. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
и
2.61. Дано:
, где m и n – единичные векторы, образующие угол
3
a
,
2.62. Даны векторы
вектора
2.63. Дано:
,
26=b
,
a
baba +×− 22
.
2|| =b
,
2;1;3
72=× ba
. Вычислить
и
12=⋅ba
. Вычислить
ba ⋅
.
1;2;1 −=b
. Найти координаты
ba ×
.
0
.
2.64. Какому условию должны удовлетворять векторы a и b, чтобы вектора
+
и
2.65. Сила
этой силы относительно точки
2.66. Дана сила
момент силы относительно точки
2.67. Три силы
точке
равнодействующей этих сил относительно точки
−
были коллинеарны?
=F
1
A
8;4;3
. Найти величину и направляющие косинусы момента
kjiF 542 +−=
приложена к точке
A
2;4;3 −=F
. Точка её приложения
6;4;2
,
2
3;2;1
.
0;0;0O
−=F
1;2;0O
. Определить момент
A
3;1;2
. Найти
и направление момента сил.
3;2;1
,
3
B
7;1;1
−=F
приложены к
6;2;4
.
§4. Смешанное произведение
2.68. Построить параллелепипед на векторах
kjc 52 +=
и вычислить его объем. Правой или левой будет тройка векторов
cba ,,
?
2.69. Построить пирамиду с вершинами
и
4;2;1C
и вычислить ее объем, площадь грани ABC и высоту пирамиды,
0;0;0O
,
опущенную на эту грань.
2.70. Проверить, лежат ли точки
6;0;5D
в одной плоскости.
A
2.71. Показать, что векторы
kjic 6123 ++−=
компланарны. Разложить вектор с по векторам a и b.
2;1;2
,
kjia 23 ++−=
2.72. Доказать, что для любых заданных векторов a, b и c векторы
+
и
компланарны.
jia 43 +=
,
0;2;5A
,
1;2;1B
,
,
kjb +−= 3
,
0;5;2B
0;3;2C
и
kjib 432 −−=
,
+
,
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]