Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Учебно-методическое пособие
.pdf
92x
dx
⋅
x
x
sin
cos
x
sin
10
x
2
(
)
(
)
4
51x
x
2
π
(
)
−
1
x
(
)
xdx3
2
−
xx3
x
+
−
2
3
+
+
xx1
2
x
+
1
x
+
1
−
x
x
x
xdxln
−
+
e
1
e
9
x
cos
+
x
cos
x
cos
x
sin
(
)
x
cos
x
sin
8.16. . 8.17. . 8.18. .
8.19. . 8.20. . 8.21. .
8.22. . 8.23. . 8.24. .
ctg
3
2
xx
−
xdx
dxe
x
2cos
2
+
x
2
xx
+
52
dx
x
dx
22
3tg3
dx
2
xdx
tg
x
−
x
e
e
+
1
cos
x
+
3
dx
2
x
23
xex
dx
1
8.25. Будет ли функция первообразной для функции
12sin+x
?
( )
212cos
++− x
8.26. Пусть - первообразная для функции и .
2
Найти .
F
xF
2
−−
( )
1
=F
§2. Интегрирование внесением под знак дифференциала или
методом замены переменной
В задачах 8.27 - 8.64 вычислить интегралы:
2
xdx
8.27. . 8.28. . 8.29. . 8.30.
2
+
. 8.31. . 8.32. . 8.33. .
5
dxx
+
53
+
x
31
x
dx
56
dx
2
+−
xx
2532
8.34. . 8.35. . 8.36. . 8.37.
8.38. . 8.39. . 8.40. . 8.41.
32
dx
+
7
dxx
32
2
x
2
+
+
xx ln
dx
+ dxx32
3
dx
x
1
x
dx
dx
4
+
1
2
x
dx
3
xln
dx
x3
3
cos
tg
dxe
x
e
dx
x
x
sin1
dx
2
x
dx
2
x
dx
2
71
e
. 8.42. . 8.43. . 8.44.
x
dx
. 8.45. . 8.46. . 8.47.
x
x
sin
dx
2
2sin
2
. 8.48. . 8.49. . 8.50.
x
dx
. 8.51. . 8.52. . 8.53.
2
dxxx
−⋅
1sin
. 8.54. . 8.55. .
sin
5
ctg
2
x
x
⋅ xdxx 2sincos
x
dxe
x
e
dx
x
2
−
⋅cos
dx
dxxe
8.56.
+
x
1
arctg
+
+
+
2
22x
x
−
−
34x
x
⋅
⋅
(
)
⋅
+
e
(
)
−
x
sindxx
cosdxx
⋅
sin
⋅
x
cos
(
)
−
⋅
x
x
(
)
x
1
x
x
−
1
−
()(
)
−
(
)
xxln
(
)
(
)
+
3
arcsin
1
x
dx
2
−
x
dx
( )
+−
324 x
2
2
x
dx
2
. 8.57. . 8.58. . 8.59.
dx
1arccos xx
. 8.60. . 8.61. . 8.62.
22
−⋅
dx
. 8.63. . 8.64. .
2
1
dx
21 xx
arcsin3
−
xx
dx
2
x
dx
dx
2
−−
4 xx
2
+
§3. Интегрирование по частям
В задачах 8.65 - 8.92 вычислить интегралы:
8.65. . 8.66. . 8.67. .
xdxx sin
x
8.68. . 8.69. . 8.70. .
dx
x
x
8.71. . 8.72. . 8.73. .
8.74. . 8.75. . 8.76. .
2
sin
2
dx
xx
dx
xln
8.77. . 8.78. . 8.79. .
dx
3
x
ln
x
ln
3
arcsin
8.80. . 8.81. . 8.82. .
xdxarcsin
2
dxx
dx
dxxx
2cos
x2
⋅− dxex
x
⋅ dxx
2
xx
cos
2
2
x
dx
arctg
+ 1ln
xdx
+
dxxx
3sin65
dxxx
1ln
dxx
8.83. . 8.84. . 8.85. .
8.86. . 8.87. . 8.88. .
8.89. . 8.90. . 8.91. .
arcctg
2
2
xdxx
xdxx sin
x
⋅ dxx
2
arctg
ln dxex
x
8.92. Вычислить разность , если - первообразная для
x
dx
2
dxx
dxxe
sin dxxe
12 FF
xF
arcsin
2
x
⋅
cos
x
dx
x
функции .
π
( )
π
8.93. Вычислить разность , если - первообразная для
функции .
xx 3cos6
2
−
FF
3
xF
72
§4. Интегрирование рациональных функций
x
2dxx
3
x
−
2
(
)
−
(
)
−
+
+
2
x
x
−
−
2322x
x
x
x
−
−
x
x
x
x
+
x
x
−
x
x
+
x
x
−
13x
−
13x
x
−
−
1
−
xxx
2
⋅
⋅
2
3
x
sin
2
2
xdxsin
3xdx2
cos
5
В задачах 8.94 - 8.113 вычислить интегралы:
x
8.94. . 8.95. . 8.96. .
dx
+
dx
8.97. . 8.98. . 8.99. .
8.100. . 8.101. . 8.102. .
8.103. . 8.104. . 8.105. .
8.106. . 8.107. . 8.108. .
( )( )
2
3
−
x
3
3
x
+
3
++ 32 xx
72
dxx
1
dx
1
dx
dx
8.109. . 8.110. . 8.111. .
8.112. . 8.113. .
x
2
( )
+⋅ 1
xx
2
dx
4
2
x
−
dx
( )( )
dxx
dx
dx
x
( )
2
4
2
23
2
+⋅
1xx
xx
++
1
−
dx
++
−+ 321 xx
dx
4
x
dx
2
dxx
( ) ( )
2
x
3
+
x
−
−⋅−
324xx
xx
−+
3
2
dx
1
dx
24
dxx
323
dx
§5. Интегрирование тригонометрических функций
В задачах 8.114 - 8.131вычислить интегралы:
8.114. . 8.115. . 8.116. .
dxxx 7sin3sin
dxxx 6cos2sin
cos
xx
⋅ dx
cos
3
4
4
3
x
2
xdx
xdx
dxx
dx
8.117. . 8.118. . 8.119. .
8.120. . 8.121. . 8.122. .
8.123. . 8.124. . 8.125. .
8.126. . 8.127. . 8.128. .
sin
cos
tg
cos
cos
sin
sin
5
3
cos
2
x
x
x
73
dxx
dx
dx
ctg
cos
3
xdx
2
32
⋅ dxxx
cossin
x
dx
3
cos5x
dx
+
xdxsin
1
+
+
x
xdxcos
sin
1
x
−
(
)
xx1
xx1
2
2
=
x
(
)
+
(
)
(
)
−
(
)
−
+
4
x
91x
9
22x
14x
+
4
e
8.129. . 8.130. . 8.131. .
+
§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
В задачах 8.132 - 8.148 вычислить интегралы
1
+
x1
1
1
xx 1
1
3
1
1
dx
dx
++
x 11
dx
−⋅
dx
2
xx
+⋅ dxxx
3
dx
2
+⋅
8.132. . 8.133. . 8.134. .
+⋅ dxxx 5
+
x
8.135. . 8.136. . 8.137. .
8.138. . 8.139. . 8.140. .
+
1
dx
x
x
1
dx
−
x
12
1
8.141. . 8.142. . 8.143. .
8.144. . 8.145. . 8.146. .
4
+
dx
xx
23
+⋅ dxxx
1
1
8.147. . 8.148. .
dx
2
−⋅
1
−
x 1
+
x 2
2
−
xx1
1
3
− dxx
9
dx
dx
dx
dx
−+
x
21
2
§7. Смешанные примеры
1
8.149. Найти ту первообразную от функции , которая принимает значение
3 при .
8.150. График первообразной для функции проходит
через точку . Найти .
0;5A
xF
8F
В задачах 8.151 - 8.198 вычислить интегралы:
8.151. . 8.152. . 8.153. .
8.154. . 8.155. . 8.156. .
( )
2
2
+⋅+ dxxxx 21
32
dxx
xdx
8.157. . 8.158. . 8.159. .
+
4
dx
+
x
dxe
2x
x
3
x
( )
54
−⋅ dxxx
61
44
−⋅−
xx
x
42
dx
−
x
17
dx
2
+
xx
−⋅ dxee
1
74
−
−
e
e
dx
1
x
x
ln
3
(
)
x
−
x
−
x
x
x
x
−
x
−
2
cos
5
⋅
⋅
x
x
cos
+
4
1
(
)
x
x
cos
2
2
+
xx5
cos
5
(
)
8.160. . 8.161. . 8.162. .
8.163. . 8.164. . 8.165. .
−
−
xx
2
−⋅
dxx1
dx
−⋅
dx
( )
−⋅ xx
1
dxx
ln
2
2
−⋅ xx
ln1
5
43
−⋅ dxxx
51
dx
xcos
5sin
.
+
1
2
2sin
dx
x
3
x
dx
dx
2
x
dx
dx
.
dx
dx
.
dxxx cos5cos
x
1
8.166. . 8.167. . 8.168. .
8.169. . 8.170. . 8.171. .
8.172. . 8.173. . 8.174.
8.175. . 8.176. . 8.177. .
ln
8.178. . 8.179. . 8.180. .
8.181. . 8.182. . 8.183. .
8.184. . 8.185. . 8.186. .
dx
x
−
1
2
⋅ xdxx
sin
2
+
x
1
dx
23
dxxx 3cossin
x
dx
3
x
2
dx
x
+
21
2
x
dx
3
+
x
278
dx
sin
( )
+⋅ xx
1
xx
22
⋅ dx
cos
8.1887 . 8.188. . 8.189. .
8.190. . 8.191. . 8.192. .
arccos
1
⋅ xdxx
tg
4
x
x
tg
cos
+
tg1
2
x
+
x
2
x
2
x
dx
2
x
−
2
+
1
dx
23
54
⋅ dxxx
cossin
dx
x
3
x
dx
dx
3
2
dx
22
xdx4tg
dx
8.193. . 8.194.
−
xx
+⋅
eedx3
dx
8.196.
−−
21 xx
. 8.197.
2
. 8.1965
x
2
−
2
2
−−
962 xx
dx
. 8.198.
2
xx
sin
arctgxdxx
x
ln
2
x
x
2
x
2
x 2ln
1
−
xx12
7
dxx
tg
75
Глава 9
6
π
(
)
4xx
1xe
0
π
0
π
π
Определенный интеграл
§1. Непосредственное вычисление определённого интеграла и
внесение функции под знак дифференциала
В задачах 9.1 - 9.12 вычислить интегралы:
3
2
9.1. . 9.2. . 9.3. . 9.4. .
9.5. . 9.6. . 9.7. . 9.8. .
9.9. . 9.10. . 9.11. . 9.12. .
5 dxx
2
7
dt
+
−
1
2
1
43t
dx
2
++
45xx
2
0
4
π
5
1
cos
x
2
x
dx
dx
+
2
x
−
23x
3
dx
+
4
4
0
1
( )
0
e
ln
1
x
4
+
1
dxe
dx
3
+
12 x
2
dxx
x
4
0
2
1
3
e
2
−
dx
dx
2
x
dxxe
+
xx
+⋅
ln1
1
xx
§2. Замена переменной в определённом интеграле
В задачах 9.13 - 9.24 вычислить интегралы:
4
1
9.13. . 9.14. . 9.15. .
9.16. . 9.17. . 9.18. .
9.19. . 9.20. . 9.21. .
0
13
+
1
3
0
32
2
dx
x
+
1
x
dx
+
12
x
dx
22
+⋅
4
0
0
−
1
0
1
dx
++
121
x
dx
3
++
11 x
2ln
x
−
1dxe
1
−
1
0
1
8ln
3ln
dxx
−
−
4 dxx
dx
+
45 x
2
e
4
9.22. . 9.23. . 9.24. .
1
x
+
ln1
dx
x
4
( )
−
7tg2
dxx
−
22
sin9cos
xx
3
0
x
−
6dxx
§3. Интегрирование по частям в определённом интеграле
В задачах 9.25 - 9.36 вычислить интегралы:
1
−
x
9.25. . 9.26. . 9.27. .
0
dxex
2
( )
( )
−
π
−
cos1
dxxx
76
0
sin dxxx
∞
1
6
π
4
π
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
9
x
1
0
0
0
π
9.28. . 9.29. . 9.30. .
arctg
0
dxx
e
dxx
ln
3
x
1
4
xdx
cosπx
0
2
4
xdx
9.31. . 9.32. . 9.33. .
9.34. . 9.35. . 9.36. .
2
3sin
cos
sin
x
xdxx
3
x
π
2
π
1
−
22
x
0
2
1
dxex
−
2
x
2 dxx
1
2
arctg xdxx
0
e
( )
+
ln1
1
2
dxx
§4. Несобственные интегралы
В задачах 9.37 - 9.54 вычислить интегралы с бесконечными пределами
интегрирования (1 рода) или установить их расходимость:
dx
9.37. . 9.38. . 9.39. .
2
x
1
dx
9.40. . 9.41. . 9.42. .
( )
2
5
−
1x
dx
x
1
∞
1
2
x
+
1
dx
5
x
dx
x
1
xdx
2
+
0
1x
dx
9.43. . 9.44. . 9.45. .
9.46. . 9.47. 9.48. .
9.49. . 9.50. . 9.51.
9.52. . 9.53. . 9.54. .
x
∞−
−
0
∞
−02
∞
2
( )
2
4
3
x
xdx
2
+1
x
dxe
2
0
∞
dxxe
0
∞
3
−
3x
0
2
arctgxdxx
dx
( )
+
dx
lnxxdx
++
32xx
−
2
x
dxxe
2
+
1
2
1x
2
x
−
∞
e
1
dx
x
dx
e
ln
3
.
xx
dx
2
∞−
++ 22
xx
В задачах 9.55 - 9.63 вычислить интегралы от разрывных функций
(2 рода) или установить их расходимость:
3
dx
9.55. . 9.56. . 9.57. .
9.58. . 9.59. . 9.60. .
0
1
4
dx
ln xx
2
−
2
xdx
−
1x
4
dx
−
2cos1
x
1
ln xdx
2
dx
( )
0
2
−
1x
77
1
(
)
(
)
πϕϕ
ρ
20,
3
≤≤=
ϕ
ρ
cos
2
=
ϕ
ρ
sin
2
=
ϕ
ρ
2
cos
=
ϕ
ρ
2
sin
2
=
ϕ
ρ
3
cos
4
=
ϕ
ρ
sin
1
+
=
(
)
ϕ
ρ
−
=
(
)
2
dx
9.61. . 9.62. . 9.63.
3
0
( )
−
1x
2
1
0
x
dxe
3
x
−
1
1
x
dxe
0
.
2
x
§5. Приложения определённого интеграла
В задачах 9.64 - 9.81 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
9.64. . 9.65. . 9.66. .
9.67. . 9.68. . 9.69. .
2
+=
xxy
4
+=
1
xy
=−
xy
0sin
2
=
xy
π
xy
2
−=
xxy
=−
0
xy
2
−=
1
2
+=
xy
2
−=
31xy
2
=
xy
+=
1
xy
=
xy
22
9.70. . 9.71. . 9.72.
2
=
xy
2
=+
xxy
2
=
tg
xy
=
0
y
9.73. . 9.74. . 9.75. .
π
=
x
3
=
xy
−=
34
9.76. . 9.77. . 9.78. .
y
xy
=
0
2
=
xy
=+
0lglg
9.79. . 9.80. . 9.81. .
yx
=
0
y
=
2
x
=
=
y
=
x
x
x
y
x
xy
ππ
=+
yx
22
3
xy
1
x
2
2
=+
3
xxy
−=
26
xy
=
0
2
−=
1
xy
x
=
0
=
0
=
5
=
cos
3
=
xy
=
3
x
y
y
x
=
=
.
=
0
−
x
=
2
=+−
yx
2
ey
−
2
ey
=−
4
=
x
=
y
=
y
022
=−
02
x
x
03
2
−=
xxy
0
1
3
В задачах 9.82 - 9.93 вычислить площади фигур, ограниченных линиями в
полярных координатах:
9.82. . 9.83. . 9.84. .
9.85. . 9.86. . 9.87. .
9.88. . 9.89. . 9.90. .
sin12
ϕρ
cos12 +=
78
=
+
=
=
+
=
[
]
π
∈
−
=
−
=
2
π
2
0
<
<
x
=
(
)
≥
=
(
)
≥
=
(
)
=
−
=
ϕρ
9.91. . 9.92. . 9.93. .
sin12 +=
2
=
ϕρ
cos2
2
=
ϕρ
sin2
В задачах 9.94 - 9.102 вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
tx
cos3
. 9.95.
=
ty
sin3
tx
cos32
. 9.98. астроидой
+=
ty
sin23
9.94.
9.97.
9.99. Одной аркой циклоиды
9.100. Первой аркой циклоиды
tx
cos2
33
=
ty
sin6
,
yy
. 9.102.
9.101.
+=
sin
−=
cos
tx
cos22
. 9.96.
ty
sin23
=
cos
3
=
sin
ttx
и осью x.
tty
ttx
sin
и прямой
−=
cos
=
=
tty
3
tx
cos8
3
ty
sin8
tx
3
tx
t
,
cos2
.
=
2;0
ty
sin4
.
ty
1
=y
(
11
,
xx
.
В задачах 9.103 - 9.111 вычислить объемы тел, образованных вращением
вокруг оси x фигур, ограниченных линиями:
2
9.103. . 9.104. . 9.105. .
y
)"
9.106. 8
2
−=
xxy
=
0
%
"
. 9.107. 8
*")"
xy
=
ln
xy
=
2
y
x
. 9.110. . 9.111. .
=
2
x
y
9:;:
9:;:
4
=
1
x
=
4
=
0
=
=
xy
0sin
2
xy
π
"
. 9.108. . 9.109.
"
−=
1
xy
cosxyxy
9
π
0
2
2
>−=
0,
axaxy
=
2
2
=
y
2
−=
2
yx
=
1
x
=
0
x
В задачах 9.112 - 9.123 вычислить объемы тел, образованных вращением
вокруг оси y фигур, ограниченных линиями:
2
9.112. . 9.113. . 9.114.
−=
4
xy
=
0
x
9.115. . 9.116. . 9.117. .
2
+−=
12
xxy
=
0
y
=
2
x
3
=
xy
9":%9=
=
0
y
=
2
x
2
−=
2
xxy
−=
2
xy
=
0
x
79
<
9
:
=
=
arcsin
arccos
=
0
y
.
xy
xy
).
2
(
)
−
(
)
0
=
x
1
=
x
(
)
2
1
−
=
x
0=x
(
)
−
=
π
π
2
≤
≤
t
4
π
(
)
+
=
=
π
=
(
)
ϕ
ρ
+
=
0
=
ϕ
4
π
=
sin
9.118. . 9.119. . 9.120. .
xy
=
1
y
=
0
x
=+
2
yx
=
xy
=
0
y
=+
2
yx
=
xy
=
0
x
9.121. . 9.122. . 9.123. .
x
=
ey
=
0
y
=
1
x
=
0
x
−=
1
xy
=
0
y
=
1
y
1
=
x
2
−=
2
xy
=
0
y
=
1
y
3
=
xy
В задачах 9.124 - 9.132 вычислить длины дуг кривых:
9.124. от точки до точки .
9.125. между точками пересечения кривой с осью x.
9.126. между точками с абсциссами и .
2
x
ey =
1
9.127. (цепная линия) между точками с абсциссами
2
2 xy −=
2
−= xy
xx
−
eey
+=
B
1;1
1;1A
и .
ttx
9.128. Циклоиды , .
=
9.129. Астроиды , .
=
sin3
( )
−=
ty
cos13
3
tx
cos4
3
ty
sin4
0
≤≤ t
tttRx
9.130. Эвольвенты окружности от до .
9.131. Кардиоиды .
cos13
9.132. Окружности между точками, для которых и .
( )
ϕρ
cos32=
sincos
0
t
−=
tttRy
cossin
1
t
2
ϕ
=
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]