Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Учебно-методическое пособие
.pdf
В задачах 11.95 − 11.102 найти частное решение дифференциальных
(
)
x
6
2
(
)
(
)
(
)
(
)
=
(
)
−
(
)
xex
+
′
x
xyx
(
)
xyx
(
)
(
)
(
)
(
)
=
(
)
x
+
x
x
1
1
xxx
уравнений (задача Коши).
y
11.95. ,
′
ey
1
y
x
+=−
. 11.96.
01=y
′
xyyx tg⋅=−
,
y
( )
1 =y
π
.
y
′
11.97. , . 11.98. ,
11.99.
11.101.
y
11.103. Найти кривую, проходящую через точку , если известно, что
y cos+=
.
21
01=y
22
22
02
=−+ dyxydxyx
, . 11.100. , .
023
=+− dxxydyxy
, . 11.102.
04=y
y
10
′
y sin+=
y
22
( )
1 =y
π
.
ydxdyxxy =+
22
10=y
′
yxyxyxy
⋅+=+
,
0;3A
yx
угловой коэффициент касательной равен .
11.104. Кривая проходит через точку
этой кривой от начала координат равно абсциссе точки касания. Написать
уравнение указанной кривой.
11.105. Найти кривую, проходящую через точку
оси ординат, отсекаемый любой касательной к кривой, равен абсциссе точки
касания.
1;1
. Расстояние любой касательной к
2;1A
, для которой отрезок на
§4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
В задачах 11.106 − 11.117 найти общее решение данных дифферен-
циальных уравнений.
2
x
11.106. . 11.107. . 11.108.
′
y
′
11.109. . 11.110. . 11.111. .
11.112. . 11.113. .
y
2
′
y
11.114.
y
x
11.117. .
′
y
=
ln2
2
exxyy ⋅=+
1
x
ex
⋅=+
2
x
e
=+
x
sintg
y
−+
xxxyy costg
⋅=⋅+
. 11.115. . 11.116. .
xyyy
′
y
′
y
′
y ctg
tg
xe
=−
y
x
2
x
2
exxyy ⋅=−
x
3
′
=−
cos
x
y
exxyy ⋅=−
y
′
y
′
+
2
x
2
′
y
y
+
=
x
=+
.
=
+
y
2
yx
+
91
11.118. Сила тока I в электрической цепи с сопротивлением R,
tAEωsin
=
(
)
=
−
1
x
(
)
(
)
=
=′′
dt
(
)
=
x
(
)
=
1
+
x
(
)
=
x
(
)
(
)
1
+
x
(
)
−
(
)
−
=
⋅=⋅−′
x
cos
(
)
⋅=⋅−′
dt
(
)
=
E
kt
E
=
(
)
=
=′′
x
sin
x
=′′
′=′
′
(
)
′+′
+′=′′
коэффициентом индуктивности L и электродвижущей силой E удовлетворяет
dI
дифференциальному уравнению . Найти зависимость силы тока
от времени, если
tII
В задачах 11.119 − 11.130 найти частное решение дифференциальных
уравнений (задача Коши).
y
′
11.119. , . 11.120. , .
y =−
2
x
y
01
L =+
(L , R , A - постоянные).
′
+
y
y
11.121. ,
11.123. , . 11.124. , .
11.125. , . 11.126. ,
′
y 3=+
′
′
=−
=+
y
x
x
3
exyy
x
eyy
y xxxyy sin2ctg
21
. 11.122. , .
60=y
10
′
′
y
1
11.127. , . 11.128.
′
xyy
tg =⋅−
10=y
ERI
xy
1
2
−
=
3
xxyy =+
1
y
x
( )
00
00=y
1
+=
xey
y .
10=y
π
0
=
2
y
′
−
y
2
−
01
=−−
x
,
00=y
.
π
11.129.
11.131. Сила тока Iв электрической цепи с сопротивлением R, коэф-
фициентом индуктивности Lи электродвижущей силой E удовлетворяет
′
x
eyyx =+
,
. 11.130. , 0
bay
y .
xxxyy cossinsin
2
=
dI
дифференциальному уравнению . Найти зависимость силы тока
от времени, если меняется по закону и (L, R,k -
tII
постоянные), k– коэффициент пропорциональности.
L =+
ERI
I
00
§5. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков,
допускающие понижение порядка
В задачах 11.132 − 11.156 найти общее решение данных дифференци-
альных уравнений.
11.132.
. 11.133. . 11.134. . 11.135. .
1
yx
xy 3cos
′′
y
=
2
y =
1
1
′′′′
5
x
4
′′′
ey
11.136.
11.140. . 11.141. . 11.142. .
=
. 11.137. . 11.138. . 11.139. .
2
′
′′′
=
yyyx
12
−
xy ln
′′
y ln1
y
=
x
92
yyx
y
x
2
′′
=
2
′
yyx
xyy
=′′′−′′′′
(
)
=′−′′
x2sin
=
+′′
x
y
′
+=′′+′′
′
(
)
(
)
(
)
(
)
=
′′′
′′=′′
(
)
(
)
=
′
x
(
)
(
)
=
′
(
)
=′′
x
cos
8
4
2
(
)
(
)
(
)
=
′
(
)
(
)
=
′
(
)
(
)
(
)
=
′
′=′
′
(
)
=
(
)
=
′
(
)
(
)
=
′
sin
x
(
)
(
)
=
′
(
)
(
)
=
′
(
)
(
)
()(
)
(
)
(
)
=
′
(
)
(
)
=
′
(
)
2
π
(
)
=
′
11.143. . 11.144. . 11.145. .
′′
y +
=
x
2
′′
′
1
+
=
yxyx
xyyx
1
10.146.
11.149. . 11.150. . 11.151.
11.152. . 11.153.
11.155. . 11.156.
дифференциальных уравнений.
11.157. , , . 11.158. , ,
y
11.160. , , , . 11.161. ,
11.163. , , . 11.164. ,
′′
=
В задачах 11.157 − 11.173 найти соответствующие частные решения
, . 11.159. ,
11
y
′′′
, . 11.162. , , .
00=y
y
yyx
′′
′′
′′
′
−
yyy
′
+
ln
2
tg=
11
xey2
=
30
x
. 11.147. . 11.148. .
0
2
yyy
xy
++
′
)(1 yyy
( )
0 =y
yey
01
=−
2
00=y
′′
y
1
′
y
′
01 =
′′
yyy
=
2
′
+ yyy
′′
1 yy
2
′′
+
y .
1
−
y
y
=
( )
0 =
′′
−
00
1
2
1
y
3
′
xyyx =
30=y
y yxxy
−
2
′
( )
−=
2
′
( )
′′
( )
=
y
y =
π
y , 0
4
1
0 =
20
. 11.154. .
0
=
01=y
2
′
3
′′
1
=
yy
2
′′
021
=
6
′′′
3
2ln
2
y
π
′
y .
=
4
2
+ yxyx
01
ln
2 yyy
21=y
′′
yyy 23
′′
−
′
=
.
′
021
=
1
′
′′
yyx
=
ey
4
ey
, . 11.165. , , .
2
+
41=y
y
01
x
11.166. , 0
11.169. , , . 11.170. , ,
′
y
11.173. , , .
tg =+
,
y , 0
20 =
′′
−
⋅
π
2
3
′′
yy
. 11.171. , , . 11.172.
′′
yyx
π
=
2
=+
3
0cossin18
=+ yy , , .
2tg yyy
=
′
y . 11.168. , , .
09
2
′
0
π
=
2
11=y
2
′
00=y
( )
0
=y
1
′
π
y ,
2
y
yyy
−=
12
y
30
y
π
=
31
′′
′
y . 11.167.
2
′′
18yy =
20=y
10
1
=
2
3
′′
y
11=y
y
43
16
−=
yyy
10
31
220 =y
y
93
xyy ctg
§6. Линейные дифференциальные уравнения второго
−
−
x
,
1
x
x
3
cos,3
sin
1,2
cos,2
sinxx
e
−
xx2
cos,2
sin
−
−
xxx,1,3
cos,3
sin
+′′+′′′
=′+
=+′+′
′
+
′−′
′
0
12
=
+
y
=
+′−
′
′
=
+′−
′
′
=
+′−
′
′
=′−′′
=−′
′
=+′
′
=
+′−
′
′
=
+′+
′
′
=
+
′
′
=′−′′−′′′
=′+′′+′′′
=′′+′′′
=′+′′
′
=+′′′
=−′′+′′
′
=′′′+′′′′
=′′+′′′
′
=′+
′′′
′
=
+
′′′
′
=+′+′
′
(
)
(
)
−=′
=+′+′
′
(
)
(
)
=
′
(
)
(
)
=
′
=
′−′
′
(
)
(
)
−=′
=−′
′
(
)
(
)
−=′
=+′
′
(
)
(
)
−=′
(
)
(
)
−
=
′
=
+′−
′
′
(
)
(
)
−
=
′
=
+′+
′
′
(
)
(
)
=
′
и высших порядков с постоянными коэффициентами
В задачах 11.174 – 11.186 составить линейное однородное дифферен циальное уравнение с постоянными коэффициентами, фундаментальная
система решений которого имеет вид.
xx
2
ee
11.174.
11.178.
11.181. . 11.182.
,
. 11.175.
. 11.179.
3xx
1,,
ee
. 11.185.
В задачах 11.187 – 11.206 решить однородные линейные уравнения с
постоянными коэффициентами.
11.187. . 11.188. . 11.189. .
11.190. . 11.191. . 11.192. .
yy 09
11.193. . 11.194. . 11.195. .
11.196. . 11.197. . 11.198.
. 11.199. . 11.200. . 11.201. .
013
y
11.202. . 11.203. . 11.204. .
11.205. . 11.206. .
yy 0
065
yyy 056
06
0106
yyy 0
032
yyy 02
02
yyy 0
0
В задачах 11.207 – 11.215 найти частные решения уравнений, удовлет воряющие указанным начальным условиям.
11.207. , , . 11.208. ,
, . 11.209.
00=y
y
11.210. , , . 11.211. , ,
. 11.212. , , . 11.213.
y 025
30
, , . 11.214. , ,
. 11.215. , , .
y 042
50
20
03
yy
40=y
065
yyy
y 0168
xx
ee
,
. 11.176.
xx
. 11.177.
x
. 11.180.
exx ,cos,sin
. 11.183.
xxexe
cos,sin,,
. 11.186.
,,1 xx
yyy 096
yy 09
yyy 04
yyy
0
yy 0
yy 0
yy 0
yy
20=y
y 044
yyy
30=y
y 09
yy
00=y
30
yyy
10
, , .
052
00=y
20
y
10
yyy
10=y
y
xx
exe ,
2
. 11.184.
yy
y
yy
00
.
xxx
22
exee
,,
.
x
, ,xe
.
yyy
yy
yy 4
yy
yy
yyy
10
30=y
yy 7
00=y
94
В задачах 11.216 − 11.235 найти общее решение неоднородного линейного
=′−′′
x3cos
2
=
=+′−′
′
x
excos
−
=
=+′−′
′
x
−
=
1
=
−′+
′
′
e
x248
−
=+′−′
′
=
+′+
′
′
−
=′−′′
+=′+′
′
=
+
′
′
=+′
′
−=′−′′′
−
=
′′+′′
′
−
=−′′′
′
+=+′−′′
(
)
(
)
=
′
(
)
(
)
=
′
(
)
=
(
)
=
′
+=−
′−′
′
(
)
=
(
)
=
′
+=′+′
′
(
)
=
(
)
−=′
(
)
=
(
)
−=′
(
)
−
=
(
)
=
′
=+′
′
(
)
=
(
)
=
′
−=′+′
′
(
)
=
π
(
)
=
′
π
=
+
′
′
(
)
=
(
)
=
′
(
)
=
2
−=′+′′′
(
)
=
(
)
=
′
(
)
=′′
(
)
−
=
(
)
=
′
(
)
=′′
(
)
=′′
′
x
2
sin
=+′
′
уравнения, находя частное решение методом неопределённых коэффициентов.
11.216. . 11.217. . 11.218. )
). 11.219. . 11.220. .
11.221. . 11.222. . 11.223.
11.226. . 11.227. . 11.228.
11.231. . 11.232. . 11.233. .
11.234. . 11.235. .
В задачах 11.236 –11.248 найти частное решение неоднородного
линейного уравнения, удовлетворяющие указанным начальным условиям.
11.236. , , . 11.237.
11.239. , , . 11.240. ,
y
11.242. , , . 11.243. ,
y
11.245. , , . 11.246.
′′
. 11.224. . 11.225. .
. 11.229. . 11.230. .
, , . 11.238. , , .
, . 11.241. , , .
00
, . 11.244. , , .
10
y xyy 2sin
′
−
=+
′′
′′
′′
′
+
′′′′
=−
00=y
y
′′
3
eyy
23
=
xyy cos
x
eyy 8=−
x
xeyy
2
y
30
x
xeyy 4=+
20
x
eyyy
1023
x
′
+
x
44 =+
2
xeyyy
9183
xyy
xyyy 222
xyy 3sin22
′′
xyy 2sin
x
′′′
′′
−
′
+
′′′
+
485 =−
′′
eyy
=
2
eyyyy
x
xyy cos
1223
xyyy
20
26
xyyy
′′
y
xyy 3cos69
20
y
00=y
y
′′
−
y
−
00
′
xyy
y xyy sin4
10
y
10
′
2
12
−=
2
265
+=+
xyyy
y 33
30
y
00
00
y
1
y
30
y
y
CC
2
−=+
xyy
)
xyyy cos2
yy 4
14
yyy 32
C
xyy 2
xyy 6
yyy 34
00
y
40
xyy
40
1
yyy 32
=
y
произвольных постоянных.
x
, , . 11.247. , , ,
y
. 11.248. , , , , .
20
В задачах 11.249 – 11.260 найти общее решение методом вариации
′
10
( )
0 −=
y
′′′′
1
′′
yy
11.249. . 11.250. . 11.251. .
4 =+
3
x
eyy 8=−
y
10
y
xyy tg
95
xyy 2
y
00
y
′′
00
y
10
y
2
10
0ctg
=++
xyy
00
11.252. . 11.253. . 11.254. .
=+′−′
′
1
+
x
()(
)
=
=
x
3
cos
x
sin
x
e
1
x
−
1
e
e
−
−
+=+
′−′
′
⋅=+′−′′
−
x
5
cos
x
3
cos
9 =+
1
′
11.255. . 11.256. . 11.257.
x
e
=
2
11.260. .
′′
yy
=
+
. 11.258. . 11.259. .
′
′′
−
x
+
′′
yy
1−=
e
=−
x
xx
22
eeyy
′′
yy
4 =+
′′
+
x
−
′′
2
yy
1
2
x
′
2
e
yyy
=+
′′
ln
′′
′
yyy
+
96 =+
3
′
2
−
yyy
x
x
x
e
=+
2
В задачах 11.261 – 11.270 решить дифференциальные уравнения,
применяя принцип суперпозиции решений.
2
11.261. . 11.262. .
′′
′
−
sin2
11.263. . 11.264. .
′′
′′′
11.265. . 11.266. .
11.267. . 11.268. .
+
′′
6 xxeyy
325 +=+
x
exyy
+=
x
eyy
x
exyyy
+=+
xxyyy sinsh44
′′′′
4
′′
x
′′
−
x
2 xeyy
−=−
xxyyy 2cossin44
cos+=−
x
2
′
xyyy
e
2134
+−=+
yyy 2
11.269.
′
′′
+
cos xxyy +=
22
. 11.270.
′′
2
xxyy
sin4 =+
.
В задачах 11.271 – 11.279 найти общие (частные) решения систем
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
2
y
=
=
,
x
2
x
.
y
.
yx
50,20
11.271.
11.274.
11.276.
dx
dx
=
dt
dt
dx
dy
dt
dt
y
11.272.
=
.,x
−=
,3
yx
+=
.3
yx
+=
,4
yx
+=
.18
yx
dy
dt
dx
dy
dt
dy
11.275.
11.277.
1
=
,
ydt
11.273.
1
=
.
xdt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
+−=
+=
dx
dt
dy
dt
yx
.3,5yx
+=
,53
yx
−−=
.82
yx
96
11.278.
()(
)
=
=
D
D
D
D
D
D
(
)
(
)
D
2,0,4,1
===
=
yyx
x
51,20
≤≤≤
≤
y
x
2,0,0
=+=
=
yxy
x
3,02,03
≤=−=−
xxyyx
D
9
4
()(
)
dx
=
,
dt
dt
y
11.279.
−
tt
++=
.
eex
.
2π,1π
dy
yx
dx
dt
dy
dt
=++
tyx
,sin2
при условии
=−−
tyx
cos24
Глава 12
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§1. Расстановка пределов интегрирования
В задачах 12.1 − 12.17 найти пределы двойных интегралов
D
dxdyyxf ,
при данных (конечных) областях интегрирования , представив интегралы в
виде одного из повторных интегралов.
12.1.
12.2.
12.3.
− прямоугольник со сторонами .
− прямоугольник: .
− треугольник со сторонами .
12.4.
12.5.
12.6. D:
12.9. D:
. 12.11. − ограничена параболами . 12.12. D : .
− треугольник: .
− ограничена линиями
=
,0
x
y
2
yx
≥
x
xy
≤
≤≤
,10
=+
,0
≤+
2
.2
yx
12.7. D:
.4
12.10.
,3
≤≤
,21
x
≤
xy
≥
xy
,
.1
12.8.D:
− ограничена линиями
44,2 yxyx =+=+
, yxxy ==
2
.
≥
,0
x
≥
,0
y
yx
22
22
≤+
.1
2
2
x
0,2,3
≤=+= xxyxy
2
y
1
≤+
12.13. D: .
≥
,0
x
12.14. D:
≥
,34
xy
22
≤+
yx
22
432
≤−+− yx
12.15. D:
.25
≥
≥
≤
97
,5,0
,
xy
.1
x
xy
12.16. − треугольник со сторонами .
D
D
6,2
,
=+=
=
yxxyx
y
D
52,12,3
,
+−=+−=+==
xyxyxyx
y
(
)
12.17. − параллелограмм: .
В задачах 12.18 – 12.25 представить двойные интегралы , где
− заданные ниже треугольники, в виде одного повторного интеграла, выбрав
D
dxdyyxf ,
соответствующим образом порядок интегрирования.
12.18. 12.19.
y y
. .
. .
. .
. x . x .
12.20. 12.21.
y y
. .
. .
x . x .
. .
. .
12.22. 12.23.
y y
. .
.
x x .
.
12.24. 12.25.
. y y
. .
. .
x . x .
. .
. .
98
В задачах 12.26 – 12.35 представить двойные интегралы ,
(
)
где
D - заданные ниже области, границы которых составлены из отрезков
D
dxdyyxf ,
прямых и дуги окружности, в виде одного повторного интеграла, выбрав соответствующим образом порядок интегрирования.
12.26. y 12.27. у
. .
. .
. x . x .
. .
12.28. y 12.29. у
. .
. .
x . x .
. .
12.30. y 12.31. y
. .
. .
x . x .
. .
. .
12.32. y 12.33. у
. .
. .
x . x .
. .
. .
12.34. 12.35.
Y у
. .
. .
x . x .
. .
. .
99
В задачах 12.36 – 12.43 представить двойной интеграл в
D
(
)
D
dxdyyxf ,
виде суммы повторных интегралов (с наименьшим числом слагаемых), если
граница области
составлена из отрезков прямых линий и дуг окружностей.
12.36. 12.37.
y y
. .
. .
. .
x . x .
. .
12.38. 12.39.
Y y
. .
. .
. .
x . x .
. .
12.40. 12.41.
y y
. .
. .
. .
x . x .
12.42. 12.43.
y y
. .
. .
. .
x . x .
. .
В задачах 12.44 – 12.75 изменить порядок интегрирования.
−3
3
12.44. . 12.45. . 12.46. .
0
0
( )
,xdyyxfdx
−
1
+0
1
0
( )
,xdyyxfdx
0
− −−
0
( )
,ydxyxfdy
1
1
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]