Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по механике. Учебное пособие
.pdf
Министерство просвещения Российской Федерации
Омский государственный педагогический университет
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПО МЕХАНИКЕ
Учебное пособие
Омск
Издательство ОмГПУ
2021
1
УДК 531.7
ISBN 978-5-8268-2305-7
© Омский государственный педа-
гогический университет, 2021
Печатается по решению ре-
дакционно-издательского совета
Омского государственного педагогического университета
Р47
ББК 22.2
Р47
Составители:
Т. А. Беляева, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры физики
и методики обучения физике;
В. Н. Красноухова, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры
физики и методики обучения физике.
Решение задач по механике : учебное пособие / сост.:
Т. А. Беляева, В. Н. Красноухова. — Омск : Изд-во ОмГПУ,
2021. — 100 с.
ISBN 978-5-8268-2305-7
В пособии приводятся примеры решения физических задач по теме
«Механика» с набором упражнений для самостоятельной работы.
Пособие предназначено для студентов педагогических вузов,
обучающихся по профилям «Физика и Математика», «Информатика
и Физика», а также по другим направлениям, связанным с преподаванием физики.
УДК 531.7
ББК 22.2
2
Занятие 1. Равномерное прямолинейное движение
r
ср
r
t
r
ср
.
(1.1)
отнсистнепод
,
(1.2)
t — ?
СИ
х1 = 10 + 2t
x2 = 4 + 5t
Прямолинейное движение — это движение материальной точки
вдоль траектории, представляющей собой прямую линию. Путь —
это расстояние S, пройденное точкой вдоль траектории
в направлении движения за рассматриваемый промежуток времени.
Перемещение — это вектор
движущейся точки в начале и в конце некоторого промежутка
времени. Вектор перемещения направлен вдоль хорды траектории
точки. Скорость точки υ — векторная физическая величина, характеризующая направление и быстроту движения точки.
Средняя скорость
— это векторная величина, равная от-
, соединяющий положения
ношению приращения радиуса-вектора точки Δ
в промежутке
времени от t до t + Δt к продолжительности этого промежутка Δt:
При движении тела в одной системе координат относительно
другой скорость тела будет определяться векторным сложением
скоростей тела и систем:
υ
— скорость тела в неподвижной системе отсчета, υ
непод
скорость подвижной системы отсчета, υ
— скорость тела отно-
отн
сист
—
сительно подвижной системы отсчета.
Примеры решения задач
Задача П.1.1
Вдоль оси X движутся две точки: первая — по закону
х1 = 10 + 2t, а вторая — по закону x2 = 4 + 5t. В какой момент времени они встретятся? Чему равна координата места встречи?
Решение
Анализируя уравнения, мы видим, что
встретится точки могут только при условии, что вторая точка движется за первой,
так как они обе движутся равномерно и прямолинейно в положи-
3
тельном направлении оси ОХ. В момент встречи точек координата
л р отн
,
(1.3)
υ
отн
= υр + υл.
(1.4)
υ
1
— ?
υ
2
— ?
СИ
р = 1 м/с
υ
л
= 18 км/ч
5 м/с
ОХ
υл
υр
υ
л
υ
ρ
и время встречи становятся одинаковыми. Решаем систему уравнений при условии x1 = x2.
х1 = 10 + 2t ,
x2 = 4 + 5t.
Приравниваем правые части уравнений: 10 + 2t = 4+5t.
Выражаем время: 3t = 6, получаем t = 2 (с).
Координату места встречи легко определить из любого урав-
нения, если подставить значение времени: х = 10 + 2 2 = 14 (м).
Ответ: t = 2 с, x = 14 м.
Задача П.1.2
Скорость течения реки — 1 м/с. Моторная лодка идет про-
тив течения со скоростью 18 км/ч относительно земли. С какой
скоростью она будет двигаться по течению относительно земли
и относительно воды?
Решение
Рис. 1.1
Обозначим скорость лодки, движущейся по течению относительно земли, через υ
υ
. Свяжем систему отсчета с землей и направим ось ОХ вдоль
2
, а ее скорость относительно воды — через
1
движения лодки. С рекой свяжем подвижную относительно земли
систему отсчета. По условию задачи υ
— скорость лодки, дви-
л
жущейся против течения относительно земли, а р — скорость
течения реки, следовательно, скорость подвижной системы отсчета. Запишем уравнение (1.2) с учетом имеющихся данных в векторной форме:
где υ
— это скорость лодки относительно воды.
отн
Уравнение (1.3) в проекциях скоростей на выбранное направление принимает вид: υ
При подстановке значений получаем: υ
4
= – υр + υ
л
, откуда
отн
= 5 м/с + 1 м/с = 6 м/с.
отн
Это значение и будет являться скоростью υ
r
t
r
ср
r
υ
ср
— ?
СИ
1 = 72 км/ч
t1 = 10 мин
υ
2
= 36 км/ч
t2 = 20 мин
20 м/с
600 с
10 м/с
1200 с
ОХ
υл
υр
υ
л
υ
ρ
Для нахождения υ
рассмотрим рисунок 1.2 для случая, когда
1
.
2
лодка движется по течению.
Рис. 1.2
В этом случае, уравнение (1.3) в проекциях на выбранное на-
правление и с учетом υ
Подставляем значения и вычисляем: υ
= υ2 примет вид:
отн
υ
= υр – υ2. (1.5)
1
= 1 + 6 = 7 (м/с).
1
Ответ: υ1 = 7 м/с, υ2 = 6 м/с.
Задача П.1.3
На горизонтальном участке пути автомобиль ехал со скоро-
стью 72 км/ч в течение 10 мин, а затем проехал подъем со скоростью 36 км/ч за 20 мин. Чему равна средняя скорость на всём пути?
Решение
Средняя скорость движения определяется согласно уравнению (1.1) как отношение приращения радиуса-вектора
точки Δ
в промежутке времени от t до
t + Δt к продолжительности этого про-
межутка Δt:
. (1.6)
При прямолинейном движении длина вектора Δ
равна
пройденному автомобилем пути и складывается из путей s1 и s2
двух участков движения:
r = s1 + s2.
(1.7)
Полное время движения:
t = t1 + t2. (1.8)
Пройденный путь при равномерном прямолинейном движе-
нии определяется как произведение скорости на время движения.
5
Поэтому s1 = υ1 t1, а s2 = υ2 t2. Подставим правые части этих
1 1 2 2
12
ср
tt
tt
υ
ср
=
м/с ∙ с + м/с ∙ с
= м/с.
с + с
υ
ср
=
20 ∙ 600 + 10 ∙ 1200
= 13,3 (м/с).
600 + 1200
уравнений в уравнение (1.7), получим r = υ1 t1 + υ2 t2.
Тогда средняя скорость будет находиться по формуле:
. (1.9)
Проведем проверку единиц измерений:
Подставляем значения и вычисляем:
Ответ: средняя скорость движения автомобиля составила
υ
= 13,3 м/с.
ср
Аудиторные задачи
А.1.1. Поезд длиной 120 м движется по мосту со скоростью
18 км/ч. За какое время поезд проедет мост, если длина моста —
480 м? Можно ли поезд в данной задаче рассматривать как материальную точку?
А.1.2. На рисунке 1.3 показаны перемещения пяти материальных
точек. Найдите проекции векторов перемещения на оси координат.
А.1.3. Даны зависимости координаты тела от времени для
двух движущихся тел: X
= – 6 + 2t; X2 = 6 – 10t. Опишите вид
1
движения тел. Когда и где они встретятся?
А.1.4. На рисунке 1.4 изображен график зависимости от вре-
мени координаты точки, движущейся вдоль оси X. Как двигалась
точка? Постройте графики скорости, а также пути в зависимости
от времени.
А.1.5. По заданным графикам (рис. 1.5) найдите начальные
координаты тел и проекции скорости их движения. Напишите
уравнения движения тел х = x(t). Из графиков и уравнений найдите время и место встречи тел, движения которых описываются
графиками II и III.
6
Рис. 1.3 Рис. 1.4 Рис. 1.5
0
0
х0
Рис. 1.7
Рис. 1.6
0
0
Х
х
0
Х
А.1.6. Велосипедист проехал первую половину пути со скоро-
стью 1 = 18 км/ч, вторую половину пути — со скоростью
2 = 14 км/ч. Определите среднюю скорость движения велосипедиста.
А.1.7. По озеру буксир тянет баржу со скоростью 9 км/ч.
Длина буксира с баржой — 110 м. Сколько времени буксир с баржой будет проходить мимо теплохода, стоящего у пристани, если
длина теплохода — 50 м?
А.1.8. Эскалатор поднимает стоящего человека за 1 мин; если
эскалатор стоит, а человек идет по нему сам, на тот же подъем
уходит 3 мин. Сколько времени понадобится на подъем, если человек будет идти по движущемуся эскалатору?
Домашние задачи
Д.1.1. Мяч упал с высоты 3 м, отскочил от пола и был пойман
на высоте 1 м. Найдите путь и перемещение мяча.
Д.1.2. На рисунках 1.6, 1.7, 1.8, 1.9 изображена координатная
ось и указаны направления начальной скорости точки. Напишите
зависимости координаты точки от времени для всех случаев. Начальная координата точки равна х0.
7
Д.1.3. За 1,5 ч моторная лодка проходит против течения рас-
стояние 18 км. За какое время она пройдет обратный путь, если
скорость течения — 3 км/ч?
Д.1.4. Один автомобиль, двигаясь равномерно со скоростью
12 м/с в течение 10 с, совершил такое же перемещение, что и другой за 15 с. Какова скорость второго автомобиля?
Д.1.5. Двигаясь по шоссе, велосипедист проехал 900 м со скоростью 15 м/с, а затем по плохой дороге — 400 м со скоростью 10
м/с. С какой средней скоростью он проехал весь путь?
8
Занятие 2. Прямолинейное равнопеременное
d
а
dt
2
00
2
at
S S t
0
S
0
2
00
2
x
x x x
at
S S t
0
аt
0x x x
at
движение. Свободное падение
Прямолинейное движение — это движение материальной
точки вдоль траектории, представляющей собой прямую линию.
Если за равные промежутки времени материальная точка изменяет скорость на одинаковую величину, то движение называют равнопеременным. Быстроту изменения скорости характеризуют ускорением. Ускорение — это векторная физическая величина, равная первой производной по времени t от скорости точки υ:
. (2.1)
Таким образом, движение является равнопеременным, если
ускорение постоянно, равноускоренным, если модуль скорости
увеличивается, и равнозамедленным, если модуль скорости
уменьшается. Закон движения, записанный через вектор перемещения, имеет вид:
, (2.2)
где
ки в векторной форме имеет вид:
тела под действием силы тяжести, когда другие силы не действуют или их действием можно пренебречь. В случае свободного падения ускорение (а) численно равно ускорению свободного падения (g).
— начальное перемещение,
— начальная скорость.
В проекциях на направление движения (на ось 0х):
. (2.3)
Закон изменения скорости от времени для материальной точ-
. (2.4)
В проекциях на ось 0х:
. (2.5)
Свободным падением называют равнопеременное движение
9
Примеры решения задач
2
2
at
S
5
S
5
S
4
S
5 5 4
ΔS S S
2
5
5
2
at
S
2
4
4
2
at
S
а — ?
ΔS7 — ?
S7 — ?
СИ
ΔS5 = 10 м
t5 = 5 с
t7 = 7 с
Задача П.2.1
При равноускоренном прямолинейном движении из состояния
покоя автомобиль проходит за 5-ю секунду своего движения 10 м.
Чему равно ускорение автомобиля? Определите перемещение автомобиля за 7-ю секунду и путь, который он прошел за 7 с?
Решение
Рис. 2.1
Автомобиль движется прямолинейно, следовательно, для
описания его движения координатным способом достаточно выбрать одну ось ОХ, направленную вдоль движения автомобиля.
Пусть автомобиль начинает свое движение вдоль оси ОХ из точки
с координатой Х
= 0. Поскольку движение является равноуско-
0
ренным и начальная скорость равна нулю (0 = 0), то можно записать уравнение движения в векторной форме:
. (2.6)
Перемещение автомобиля за 5-ю секунду (
разности его перемещений, пройденных за 5 с (
) будет равно
) и за 4 с (
):
. (2.7)
Согласно уравнению (2.7) значения S5 и S4 в проекции на ось
ОХ положительны и равны:
, (2.8)
, (2.9)
где t5 = 5 c, t4 = 4 с.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]