Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по механике. Учебное пособие
.pdf
Линейная скорость и нормальное ускорение конца лопасти
LL
2
LLa
n
222
4
1
с
111
R
222
R
22
2
ω
1
— ?
СИ
ν
2
= 1200 об/мин
d = 21 см
D = 53 см
20 об/с
0,21 м
0,53 м
D
Рис. 8.2
связаны с угловой скоростью выражением (8.8). С учетом (8.2)
получаем для исходных величин следующие выражения:
и
.
Проверяем единицы измерения:
[υ] =
м = м/с, an = c–2 ∙ м = м/с2.
Подставляем значения:
υ = 2π ∙ 5 ∙ 5 = 157 м/с, an = 4π2 ∙ 52 ∙ 5 = 5000 м/с2
Ответ: N = 100 оборотов, υ = 157 м/с, аn = 5000 м/с2.
Задача П.8.2
Маховик точильного станка делает 1200 об/мин. Найдите
угловую скорость вращения ротора генератора, соединенного
ременной передачей с маховиком, если приводной шкив имеет
диаметр 21 см. Диаметр маховика — 53 см.
Решение
Так как шкив и маховик связаны
друг с другом посредством ремня,
следовательно, они оба будут иметь
одинаковую линейную скорость
вращения крайних точек υ
= υ2.
1
Значение скоростей связаны
с угловыми скоростями соотношением из (8.8):
,
. (8.10) (8.10)
Угловая скорость маховика
связана с частотой соотношением
(8.2):
. А радиусы маховика и шкива можно выразить
через диаметры D и d соответственно.
51
Подставляем в (8.10) и получаем:
21
2
2
2
21
Dd
d
D
21
2
рад м
см
0,5 3
0,21
t
0
2
2
10
2
12
2
t
β — ?
N — ?
СИ
ν
1
= 300 об/мин
ν
2
= 180 об/мин
t = 60 c
5 об/с
3 об/с
ω
β
υ
Рис. 8.3
и
Откуда выразим угловую скорость ротора генератора (и шкива):
.
Проведем проверку единиц измерения:
.
[ω] =
= рад/с.
Подставляем исходные данные и вычисляем:
ω
= 2π ∙ 20
1
= 317 рад/с.
Ответ: угловая скорость ротора генератора равна 317 рад/с.
Задача П.8.3
Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило частоту вращения с 300 до 180 об/мин за 60 с. С каким угловым ускорением
двигалось колесо и сколько оборотов оно сделало за это время?
Решение
Угловое ускорение связано с угловой скоростью соотношением (8.5).
Выразим нужную величину:
. (8.11)
Угловые скорости ω и ω
выражаются через частоты ν2 и ν1
0
соответственно согласно выражению (8.2):
,
. (8.12)
Подставив их в (8.11), мы получим
52
.
Число оборотов, сделанных колесом, можно найти через уг-
2
2
0
t
t
4
22
4
2
2
2
1
2
0
tt
tt
N
2
1
/,
рад
рад с
сс
22
//
1
рад с с рад с с
N
рад
β =
2π
(3 – 5) = – 0,21 (рад/с2).
60
N =
2 ∙ 2π ∙ 5 ∙ 60 – 0,21 ∙ 60
2
= 240.
4π
2
at bt
ловой путь φ согласно выражению (8.6):
. С учетом
того, что 1 оборот — это φ1 = 2π, получаем:
.
Проведем проверку единиц измерений: [β] =
.
Сделаем подстановку значений и проведем вычисления:
Ответ: β = – 0,21 рад/с2, N = 240.
Аудиторные задачи
А.8.1. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по за-
кону
, где а = 6 рад/с, b = 2 рад/с
2
. Найдите: а) среднее
значение угловой скорости и углового ускорения за промежуток
времени от t = 0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.
А.8.2. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что его
угол поворота зависит от времени как = t2, где = 0,2 рад/с2.
Найдите полное ускорение а точки А на ободе колеса в момент
t = 2,5 с, если скорость точки А в этот момент = 0,65 м/с.
А.8.3. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной
оси с угловым ускорением = bt, где b = 0,02 рад/с3. Через какое
время после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол = 60о с ее вектором
скорости?
53
А.8.4. Твердое тело вращается с угловой скоростью
2
ati bt j
иij
А
В С Д
О
Рис. 8.4
, где а = 0,5 рад/с2, в = 0,06 рад/с3,
— ор-
ты осей Х и У. Найдите модули угловой скорости и углового ускорения в момент t = 10 с.
А.8.5. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. С какой
частотой вращаются его колеса, если он катится по шоссе без
скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен d = 60 см?
Найдите центростремительное ускорение ац внешнего слоя резины на покрышках его колес.
А.8.6. Цилиндр катится без скольжения
по горизонтальной плоскости с постоянной
скоростью = 0,5 м/с. Радиус цилиндра
равен R = 10 см. Найдите скорости точек А,
В, С, Д, О (см. рис. 8.4).
А.8.7. Диск радиусом R катится без
скольжения по горизонтальной плоскости
с постоянной скоростью . Найдите геометрическое место точек на диске, которые в данный момент
имеют скорости .
А.8.8. Луна обращается вокруг Земли за 27,3 суток. Определите угловую скорость вращения Луны вокруг Земли и сравните
эту скорость с угловой скоростью суточного вращения Земли.
Домашние задачи
Д.8.1. Вал молотилки вращается с постоянной угловой скоростью 18,9 рад/с. С некоторого момента вал тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением 6 рад/с2. Через какое
время вал остановится и сколько оборотов он сделает до полной
остановки?
Д.8.2. Колесо, вращаясь равноускоренно, через 12 оборотов
после начала вращения достигает скорости, соответствующей
частоте вращения 1150 об/мин. Найдите угловое ускорение колеса.
54
Д.8.3. Якорь электромотора, вращавшийся с частотой v = 50 с–1,
двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился,
сделав полное число оборотов N = 1680. Найдите угловое ускорение якоря.
Д.8.4. Груз поднимается с помощью лебедки, диаметр барабана которой — 0,16 м, со скоростью 0,628 м/с. Найдите угловую
скорость и частоту вращения барабана лебедки.
Д.8.5. Точка А находится на ободе колеса радиуса R = 0,5 м,
которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности
со скоростью = 1 м/с. Найдите: а) модуль и направление ускорения точки А; б) полный путь, пройденный точкой А между двумя
последовательными моментами ее касания поверхности.
55
Занятие 9. Динамика вращательного движения
z
z
z
I
M
z
N
i
iz
MM
1
М r F
sin FrМ
.М l F
2
mRIс
2
2
mR
Iс
твердого тела. Расчет моментов инерции тел
Основной закон динамики вращательного движения:
, (9.1)
где
оси Z,
— вектор углового ускорения относительно некоторой
— суммарный момент всех сил, действующих
на тело, относительно оси Z, Iz — момент инерции тела относительно оси Z.
Момент силы определяется векторным произведением дейст-
вующей силы на радиус-вектор, проведенный от оси вращения до
точки приложения силы:
. Величина момента силы опре-
деляется выражением:
, (9.2)
где α — угол между вектором силы и радиус-вектором.
Произведение r ∙ sin = l — кратчайшее расстояние (перпен-
дикуляр) от оси вращения до линии действия силы, называемое
плечом силы. Тогда момент силы можно найти как произведение
силы на плечо этой силы
Момент инерции Iz зависит от формы и размеров тела, а также
от расположения оси вращения. Приведем моменты инерции тел
Iс правильной геометрической формы относительно оси вращения, проходящей через центр масс.
Для кольца (полого цилиндра):
. (9.3)
Для диска (сплошного цилиндра) относительно оси, прохо-
дящей через центр масс перпендикулярно плоскости вращения:
. (9.4)
Для диска (сплошного цилиндра) относительно оси, прохо-
дящей через центр масс параллельно плоскости вращения:
56
4
2
mR
Iс
. (9.5)
12
2
ml
Iс
5
22mR
Iс
a — ?
СИ
m1 = 10 кг
m2 = 2 кг
Для стержня:
. (9.6)
Для шара:
(9.7)
В случае, если ось вращения проходит не через центр масс
тела, для расчета момента инерции используют теоремы о параллельных и перпендикулярных осях.
Теорема о параллельных осях:
Если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс Ic, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельно первой и отстоящей от нее на расстояние b, может быть найден по формуле: I = Ic + mb2.
Теорема о перпендикулярных осях применима к плоским телам постоянной толщины, если толщиной можно пренебречь по
сравнению с другими размерами тела.
Сумма моментов инерции тела относительно любой пары
взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости тела, равна моменту инерции относительно оси, проходящей через точку
пересечения этой пары перпендикулярно плоскости тела
Iz = Ix + Iy.
Примеры решения задач
Задача П.9.1
Сплошной цилиндр массой m1 = 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m2 = 2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?
Решение
Линейное ускорение гири а равно тангенциальному ускорению точек цилиндра, лежащих на его поверхности,
57
и связано с угловым ускорением соот-
rа
rm
аgm
rm
rаgm
1
2
1
2
2
1
2
1
2
)()(
1
2
1
2
1
2
)(2)(
m
аgm
r
rm
аgm
а
g
mm
m
а
21
2
22
2
2
( / )
/
кг м с
а м с
кг
Рис. 9.1
а
T
m2g
ношением
, (9.8)
где r — радиус цилиндра.
Цилиндр вращается под действием
силы натяжения шнура. Вращающий
момент силы М, действующий на цилиндр, равен произведению силы натяжения шнура Т на радиус цилиндра, так
как угол между силой Т и радиусвектором ее приложения равен 90°,
а sin 90° = 1:
M = T ∙ r. (9.9)
Силу натяжения шнура мы найдем, используя 2-й закон Ньютона. В проекции на ось ОХ, направленную вертикально вниз, 2-й
закон Ньютона, применимый для гири, движущейся поступательно, имеет вид: m2a = m2g – T. Откуда
T = m2(g – a). (9.10)
Подставляем его в (9.9), получаем выражение для М:
M = m2(g – a) ∙ r.
Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси,
проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости вращения, можно рассчитать по (9.4).
Подставляя полученные выражения в угловое ускорение цилиндра, определенного из основного закона вращательного дви-
жения твердого тела (9.1), мы получим:
ченное выше выражение в (9.8):
58
.
Для определения линейного ускорения гири подставим полу-
. И выразим отсюда а:
.
Проведем проверку единиц измерения:
.
Подставляем значения и проводим вычисление:
2
22
10 2,85 ( / ).
10 2 2
а м с
шс
III 20
42
2
1
2
1
lm
l
mI
ш
12
2
2
0
lm
I
12
2
2
1
2
2
6
124
2
12
mm
l
lmlm
I
с
2
2
.
1
с
м
I кг кг м кг
I — ?
СИ
m1 = 10 г
l = 20 см
m2 = 5 г
0,01кг
0,2 м
0,005 кг
m
m
l
Рис. 9.2
Ответ: а = 2,85 м/с2.
Задача П.9.2
Два маленьких шарика массой m1 = 10 г каждый скреплены
тонким стержнем длиной l = 20 см и массой m2 = 5 г. Определите момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.
Решение
Момент
инерции
системы
будет находиться как
сумма моментов инерции стержня и
шариков:
, (9.11)
где I0 — момент инерции самого стрежня относительно оси вращения и Iш — момент инерции одного шарика относительно оси
вращения. Так как размеры шариков очень маленькие по сравнению с расстоянием l, то их можно принять за материальные точки
и их момент инерции относительно оси вращения определяется по
формуле:
Момент инерции стержня определяется по формуле (9.6):
.
Подставим это и (9.12) в (9.11) получим итоговую формулу:
Проведем проверку единиц измерения:
. (9.12)
.
59
Подставляем значения и вычисляем:
2
42
0,2
0,005 6 0,01 2,2 10 ( ).
12
с
I кг м
tMI
0
22
02
2
1
mRmRtM
I — ?
СИ
m = 100 кг
R = 5 см
ν = 8 с–1
F = 40 Н
t = 10 c
0,05
R F F
т
Рис. 9.3
Ответ: момент инерции системы равен 2,2 10-4 кг м2.
Задача П.9.3
Вал массой m = 100 кг и радиусом R = 5 см вращался с частотой ν = 8 с–1. К цилиндрической поверхности вала прижали
тормозную колодку с силой F = 40 Н, под действием которой вал
остановился через t = 10 с. Определите коэффициент трения µ.
Решение
Используем
основное
уравнение
динамики
вращательного движения
(9.1):
βI = M. (9.13)
Сила трения оказывает тормозящее действие. Момент силы
Fтр, действующий на тело, относительно оси вращения равен: М =
FтрR. Так как сила трения равна Fтр = µF, получаем для момента
силы выражение
M = µFR. (9.14)
Движение вала является равнозамедленным. Запишем уравнение для угловой скорости: ω = ω
+ βt, используем его для оп-
0
ределения углового ускорения. Подставим его в уравнение (9.13),
получим
. (9.15)
Угловая скорость связана с частотой следующим выражением: ω = 2πν, а момент инерции диска можем записать через формулу (9.4). Тогда (9.13) преобразуется:
Подставляем (9.14) в (9.15) и выражаем коэффициент трения:
60
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]