Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решение задач по механике. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

2 2 2

2 ( )

()

t S R

T L R

   



  



    

. (3.24)

 

2 3,14

3 5 0,21



  

2 3,14 5 0,5 15,7   

2 3,1 4 3 0,5 9,42   

3,14

(3 5 ) 239

0,21

N   



Подставляя известные значения ν1, ν

и t в уравнения (3.19),

(3.20) и (3.24), мы находим значения нужных величин ε, а и b, N:

ε =

(рад/с2), υа =

(м/с),

(оборотов).

Ответ: ε = –0,21 рад/с2, а = 15,7 м/с, b = 9,42 м/с,

N = 239 оборотов.

Аудиторные задачи

А.3.1. Тело брошено с высоты 5 м в горизонтальном

направлении с начальной скоростью 10 м/с. Через какой отрезок времени тело упадет на землю? Каков модуль скорости тела в момент падения?

А.3.2. Камень бросили горизонтально. Через 3 с его скорость оказалась направленной под углом 45º к горизонту. Определите начальную скорость камня.

А.3.3. Деревянный шар, скатываясь с лестницы, имел горизонтальную начальную скорость 1,7 м/с. Высота и ширина каждой ступеньки равны 20 см. О какую по счету ступеньку ударится шар впервые?

А.3.4. Самолет летит на высоте 500 м со скоростью 72 км/ч. С самолета сбросили небольшой груз на судно, которое движется со скоростью 18 км/ч навстречу самолету. На каком расстоянии от судна нужно сбросить груз?

А.3.5. Камень бросили с обрыва под углом α = 30° к горизонту с начальной скоростью υ0 = 6 м/с. Камень упал на расстоянии S = 12 м от точки бросания. Найдите высоту обрыва h.

А.3.6. Тело, брошенное под углом 60° к горизонту, через время 4 с после начала движения имело вертикальную

составляющую проекции скорости 9,8 м/с. Определите расстояние между местом бросания и местом падения.

А.3.7. Под углом 60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью 20 м/с. Через какое время оно будет двигаться под углом 45° к горизонту?

А.3.8. Колесо вращается с угловым ускорением  = 2 рад/с2 из состояния покоя в течение 30 с. Вычислите угловую скорость вращения колеса в конце указанного промежутка времени, угол поворота радиуса колеса за это время и число сделанных колесом оборотов.

А.3.9. Угловое ускорение вращающейся точки равно

0,2 рад/с

. Через какой отрезок времени полное ускорение точки

будет составлять угол 72° с вектором линейной скорости?

Домашние задачи

Д.3.1. Мальчик бросил горизонтально мяч из окна, находящегося на высоте 20 м. Сколько времени летел мяч до земли и с какой скоростью он был брошен, если он упал на расстоянии 6 м от основания дома?

Д.3.2. Мяч, брошенный под углом  = 60º к горизонту с начальной скоростью  = 30 м/с, через 2 с упал на крышу дома. Определите высоту дома и расстояние до него.

Д.3.3. В мишень с расстояния 50 м сделано два выстрела в горизонтальном направлении при одинаковой наводке винтовки. Скорость первой пули — 320 м/с, второй — 350 м/с. Определите расстояние между пробоинами.

Д.3.4. Радиус одного колеса — 15 см, другого — 30 см, а линейные скорости точек на ободе колес соответственно равны 2,5 и 5 м/с. Во сколько раз центростремительное ускорение точек на ободе одного колеса больше, чем на ободе другого?

Д.3.5. Найдите линейную скорость Земли при ее орбитальном движении. Средний радиус земной орбиты — 1,5 · 108 км.

Занятие 4. Динамика прямолинейного движения

ma F



 pmtF



)(





mp 





тяж

F gm

xkF

упр





материальной точки и системы материальных

точек

Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызывающих это движение. Основными законами динамики являются законы Ньютона. При решении задач по динамике следует уделить особое внимание силам, вызывающим равнопеременное движение, и ускорению, которое всегда направлено в сторону действия результирующей силы.

Основное уравнение динамики — 2-й закон Ньютона:

, (4.1)

где

— векторная сумма всех действующих на тело сил.

Этот же закон в импульсной форме:

, (4.2)

где

— импульс тела.

Закон всемирного тяготения:

, (4.3)

где m и M — массы взаимодействующих тел, r — расстояние между ними, G = 6,67 ∙ 10

–11

(Н ∙ м

/кг

) — гравитационная постоянная. Приняв расстояние r, равное радиусу Земли, М — массе Земли, получим:

. (4.5)

Это сила, с которой Земля притягивает находящееся на ее по-

верхности тело массой m, g — ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с

При деформации тел возникает сила упругости, имеющая на-

правление, противоположное направлению деформации:

, (4.6)

где k — жесткость деформируемого тела, Δx — изменение линейных размеров тела при деформации.

При движении тела по поверхности между ним и этой по-

верхностью возникает взаимодействие, обусловливающее появле-

ние силы трения, величина которой связана с величиной силы

тр





Арх жид тела

F gV





ma F



gmNFFam

тр









μ — ?

СИ

1 = 36 км/ч 2 = 54 км/ч

F = 14,7 ∙ 104 Н S = 600 м m = 1000 т

10 м/с 15 м/с

106 кг

Рис. 4.1

нормального давления Fнд формулой Fтр = μFнд. Поскольку сила нормального давления по величине равна силе реакции опоры N, согласно 3-му закону Ньютона, которую удобно использовать при рассмотрении всех сил, действующих на движущееся тело, то величину силы трения можно определить через величину силы реакции опоры:

, (4.7)

где μ — коэффициент трения.

На тело, погруженное в жидкость (газ), действует выталки-

вающая сила, численно равная весу жидкости (газа) в объеме погруженной части тела:

. (4.8)

Примеры решения задач

Задача П.4.1

Паровоз на горизонтальном пути длиной S = 600 м развивает постоянную силу тяги F = 14,7 ∙ 104 Н. Скорость поезда возрастает при этом с 36 км/ч до 54 км/ч. Найдите коэффициент трения, если сила трения постоянна. Масса поезда m = 1000 т.

Решение

Данная задача решается с примене нием 2-го

закона Ньютона

действующих на тело сил:

тикальное направление и учтем, что сила трения пропорциональна модулю силы реакции опоры.

Сделаем рисунок с обозначением всех

. (4.9)

Запишем это уравнение в проекциях на горизонтальное и вер-

OX:

тр

FFma 

mgNm 0

тр





maFmg 



Sа2







 

22 21









( / )





 





мс

H кг

кг м с H

 

15 10

2 600

14,7 10 10

4,3 10

4,4 10

10 9,81 9,81 10











  



Т — ? a — ?

СИ

m1 = 5 кг m2 = 2 кг μ = 0,1  = 40º g = 9,81 м/с

Рис. 4.2

;

Решим данную систему уравнений и получим:

Ускорение найдем через соотношение скоростей и пройден-

ного пути: найдем μ.

Проверим единицы измерения: µ = Проведем вычисления:

µ =

Ответ: μ = 4,4 ∙ 10-3.

Задача П.4.2

Груз массой 5 кг, связанный нитью через неподвижный блок

с другим грузом массой 2 кг, движется вниз по наклонной плоскости. Найдите силу натяжения нити и ускорения грузов, если коэффициент трения между первым грузом и плоскостью — 0,1, а угол наклона плоскости к горизонту  = 40º.

OY:

;

. (4.10)

. Подставляя это выражение в (4.10), мы

. (4.11)

Решение

Задача о движении тел в связке решается с применением 2-го закона Ньютона для

=1.

каждого тела в отдельности. Сделаем рисунок с указанием всех дей-

1н

тр

2н

12н н н

F F F

а а a

ma F



1 1 1 1н тр

m a F F N m g   

2 2 2 2н

m a F m g

sin

н тр

m a m g F F



   

0 cosm N m g



   

22н

m a F m g

тр





(sin cos )m g m g

  







 

//



кг м с

a мс

кг

ствующих сил. На 1-й груз действуют 4 силы: тяжести

, направ-

ленная вертикально вниз; натяжения нити нити; трения

, направленная в сторону, противоположную пере-

, направленная вдоль

мещению тела; нормальной реакции наклонной плоскости N, направленная перпендикулярно плоскости, по которой движется тело.

На 2-й груз действует 2 силы: тяжести

и натяжения нити

Модули сил натяжения нитей для 1-го и 2-го грузов считаем одинаковыми (по 3-му закону Ньютона), так как не учитывается масса блока и нити считаются нерастяжимыми.

. (4.12)

Отсюда следует, что ускорения грузов одинаковы по модулю:

. (4.13)

Запишем 2-й закон Ньютона

для 1-го и 2-го груза

с учетом действующих на них сил:

, (4.14)

. (4.15)

Определяем направление осей координат для каждого из грузов и записываем уравнения (4.14) и (4.15) в проекциях с учетом

(4.12), (4.13).

OX1: OY1: OY2:

Решим данную систему уравнений и получим:

Проверка единиц измерения и расчет:

5 9,81(sin40 0,1cos40) 2 9,81

1,16 ( / )

   





a мс

()

F m g а

2(9,81 1,16) 21,94 ( )  

F Н

Подставляя полученное значение в уравнение (4.15) системы

мы находим Fн:

;

Ответ: а = 1,16 м/с2, Fн = 21,94 Н.

Аудиторные задачи

А.4.1. На тело массой m = 2 кг действуют горизонтальная

сила F

= 10 H и F2 = 20 Н, направленная под углом α = 30°

к горизонту. Чему равен модуль результирующей силы и какое ускорение получит тело под действием этой силы?

А.4.2. Тело движется по горизонтальной поверхности под действием силы F = 40 H, направленной под углом α = 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения μ = 0,3. Определите ускорение тела и действующую на него силу трения, если масса тела m = 10 кг.

А.4.3. Аэростат массой 250 кг начал опускаться с ускорением 0,2 м/с

. Определите массу балласта, который следует сбросить за

борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивлением пренебречь.

А.4.4. Человек массой 70 кг стоит на полу движущегося лифта. Ускорение лифта — 2 м/с2. Определите силу давления человека на пол лифта в двух случаях: 1) лифт движется вверх;

2) лифт движется вниз.

А.4.5. Тело движется вверх по вертикальной стене под действием силы F = 30 Н, направленной под углом  = 30º к стене. Найдите ускорение тела, если коэффициент трения между телом и стеной равен μ = 0,1, а масса тела m = 1 кг.

А.4.6. Тело без начальной скорости скользит по наклонной плоскости с высоты 5 м. Угол наклона  = 30º, коэффициент трения μ = 0,05. Найдите время движения по наклонной плоскости и скорость в конце пути.

А.4.7. Два груза, связанные нитью, движутся по гладкой

горизонтальной поверхности под действием силы F = 50 Н, приложенной к первому грузу и направленной под углом α = 30° к горизонту. Найдите ускорение системы и силу натяжения нити между грузами, если m

= 1 кг, m2 = 1,5 кг, а коэффициент трения

для обоих тел одинаков и равен μ = 0,1.

А.4.8. Через неподвижный блок перекинута нерастяжимая

нить, к которой привязаны два груза одинаковой массы m = 0,6 кг. После того, как на один из грузов поместили небольшой перегрузок m

= 50 г, грузы пришли в движение. Определите

ускорение грузов, силу натяжения нити и вес перегрузка. Нить считать невесомой и массой блока пренебречь.

А.4.9. Два груза связаны нитью, перекинутой через блок.

Один из грузов находится на наклонной плоскости с углом наклона α = 25°. Определите ускорение системы и силу натяжения нити. Масса первого груза m

= 3 кг, второго m2 = 1 кг.

А.4.10. Определите массу m тела, если известно, что для

равномерного подъема его вверх по наклонной плоскости с углом наклона а к нему надо приложить силу F, параллельную этой плоскости, а, будучи предоставленным самому себе, тело скользит по ней равномерно вниз.

Домашние задачи

Д.4.1. Тепловоз ведет равноускоренно две платформы. Сила тяги тепловоза — 255 кН. Масса первой платформы — 50 т, второй — 60 т. Какова сила натяжения сцепок между тепловозом и первой платформой? между платформами? Коэффициент сопротивления движению равен 0,05. Масса тепловоза — 125 т.

Д.4.2. Через сколько времени после начала аварийного торможения остановится автобус, движущийся со скоростью 12 м/с, если коэффициент трения при аварийном торможении равен 0,4?

Д.4.3. Чему будет равен вес груза массой 100 кг при равноускоренном подъеме его в лифте, если известно, что лифт достиг скорости 3 м/с, пройдя путь 18 м?

Д.4.4. Через неподвижный блок перекинута нить, к концам

которой подвешены грузы массой по 0,25 кг каждый. На один из грузов положили гирьку массой 10 г. На каком расстоянии друг от друга окажутся грузы через 2 с, если в начале движения они находились на одной высоте?

Д.4.5. Тело массой 200 кг равномерно поднимают по

наклонной плоскости, образующей угол 30° с горизонтом, при этом прикладывают силу 1500 Н вдоль линии движения. С каким ускорением тело будет соскальзывать вдоль наклонной плоскости, если его отпустить?

Занятие 5. Динамика движения материальной точки







aaa

















Рис. 5.1





по окружности

В задачах на движение точки по криволинейной траектории следует правильно указывать направление сил, действующих на тело. Учитываем, что любую криволинейную траекторию можно представить как набор дуг окружностей разного радиуса. При ускоренном криволинейном дви-

жении вектор ускорения лежать в плоскости криволиней-

ной траектории. В этом случае вектор составляющие вдоль двух основных направлений — касательной к траектории

и главной нормали

будет

удобно разложить на две

(см. рис. 5.1). Тогда

, (5.1)

где

R — радиус кривизны траектории.

В случае равномерного движения тела по окружности нужно принять во внимание, что скорость тела направлена по касательной к окружности, а результирующая сила и ускорение всегда направлены вдоль радиуса к центру окружности.

Задача П.5.1

Самолет, летящий со скоростью 360 км/ч, описывает в вертикальной плоскости «мертвую петлю» радиусом 200 м. Чему

— тангенциальное ускорение, (5.2)

— нормальное ускорение, (5.3)

Примеры решения задач

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]