Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по механике. Учебное пособие
.pdf
равна сила, прижимающая летчика к сидению в высшей и низшей
11
NF
22
NF
R
а
2
gmNam
1
2
1
m N mg
R
2
11
()N F m g
R
22
2
1
2
/
/
м с м
F кг м с кг Н
мс
2
1
100
70 9,81 2813,3 ( )
200
F Н
F1 — ?
F2 — ?
СИ
= 360 км/ч
R = 200 м
m = 70 кг
100м/с
Рис. 5.2
точках петли, если масса летчика — 70 кг?
Решение
Согласно 3-му
закону Ньютона,
сила, прижимающая летчика
к сидению, равна
по модулю силе, с которой сиденье действует на летчика, т. е., силе реакции сиде-
ния
,
.
а) В верхней точке траектории на летчика
действуют сила тяжести и сила реакции сидения, имеющие направление вниз. Тело, вращающееся по окружности, имеет ускорение, направленное к центру траектории:
. (5.4)
По 2-му закону Ньютона для верхней точки траектории:
. (5.5)
Выберем ось, направленную по ускорению вниз, и запишем
уравнение (5.5) в проекциях на эту ось с учетом (5.4):
, откуда
. (5.6)
Проверим размерность:
Проведем расчет:
.
.
б) В нижней точке сила тяжести направлена вниз, тогда как
сила реакции сиденья направлена перпендикулярно сидению
вверх, также как и центростремительное ускорение. В данном
случае ось направляем по ускорению вверх и 2-й закон Ньютона
31
в проекциях на эту ось примет вид:
2
2
m N mg
R
2
22
()N F m g
R
2
2
100
70 9,81 4186,7 ( )
200
F Н
трn
FgmNam
трn
Fam
max
— ?
α — ?
СИ
R = 90 м
µ = 0,4
α R Fтр
an mg υ N
Рис. 5.3
. Откуда
.
Проведем вычисление и получим значение:
.
Ответ: F1 = 2813,3 Н; F2 = 4186,7 Н.
Задача П.5.2
С какой максимальной скоростью может ехать по горизон-
тальной плоскости мотоциклист, описывая дугу радиусом 90 м,
если коэффициент трения резины о почву — 0,4? На какой угол
от вертикали он при этом отклонится?
Решение
При движении по
дуге окружности,
лежащей в горизонтальной плоскости, на тело
действуют сила реакции опоры N,
направленная перпендикулярно опоре, сила тяжести mg, направленная
вертикально вниз, и сила трения Fтр,
направленная вдоль радиуса траектории к центру окружности.
Согласно 2-му закону Ньютона:
. (5.7)
Для совершения поворота необходимо, чтобы равнодейст-
вующая всех сил оказалась направленной по радиусу к центру
описываемой окружности:
32
. (5.8)
Нормальное (центростремительное) ускорение связано со
2
n
а
R
тр
FN
2
mN
R
0 N mg
max
тр
FR
gR
m
max
2
мм
м
cc
0,4 9,81 90
тр
F
tg
N
скоростью и радиусом кривизны траектории
ния пропорциональна силе реакции опоры
, а сила тре-
. Учитывая
это, мы получаем:
. (5.9)
Тангенциальное ускорение в этом случае равно нулю (движение по окружности равномерное).
Сила реакции опоры находится из (5.7) в проекциях на вертикальное направление:
.
Тогда максимальная скорость при движении по окружности
будет определяться величиной силы трения:
.
Выполняем проверку размерностей:
Подставляем значения: υ
max
=
= 18,8 (м/с).
.
Определить угол наклона можно из соотношения:
.
= arctg µ = arctg(0.4) = 21,8°.
Ответ:
= 18,8 м/с, α = 21,8°.
max
Аудиторные задачи
A.5.1. По выпуклому мосту, радиус кривизны которого —
90 м, со скоростью 54 км/ч движется автомобиль массой 2 т.
Определите, в какой точке сила давления автомобиля на мост
равна 5 кН.
A.5.2. Акробат на мотоцикле описывает «мертвую петлю»
радиусом R = 4 м. С какой наименьшей скоростью
должен
min
проезжать акробат верхнюю точку петли, чтобы не сорваться?
33
А.5.3. Груз вращается в вертикальной плоскости с частотой
Рис. 5.4
n = 60 об/мин. Найдите силу натяжения веревки в верхней и
нижней точках траектории, если масса тела m = 0,2 кг, а длина
веревки l = 40 см.
А.5.4. На вращающемся диске находится тело. Радиус
окружности, по которой вращается тело, составляет 10 см.
Коэффициент трения покоя равен 0,4. При какой частоте
вращения диска тело соскользнет с диска?
А.5.5. Мотоциклист движется по закруглению радиусом
R = 100 м. С какой максимальной скоростью может двигаться на
таком повороте мотоциклист, если коэффициент трения резины
о дорогу μ = 0,3 ?
А.5.6. Конькобежец движется со скоростью 10 м/с по
окружности радиусом 40 м. Под каким углом к горизонту он
должен наклониться, чтобы не упасть?
А.5.7. Тело, помещенное на расстоянии 20 см от оси на
горизонтальном плоском диске, оказалось сброшенным с него
в тот момент, когда угловая скорость вращения диска стала равна
–1
3 с
. Найдите коэффициент трения тела
о поверхность диска.
А.5.8. Шарик на нити длиной l равномерно
движется по окружности в горизонтальной
плоскости. При этом нить всё время образует
с вертикалью угол α. Найти период вращения
шарика (рис. 5.4).
Домашние задачи
Д.5.1. Автомобиль массой 2 т движется со скоростью 40 км/ч
по вогнутому мосту радиусом 30 м. Найдите вес автомобиля
в середине моста.
Д.5.2. Ведерко с водой вращают в вертикальной плоскости на
веревке длиной 0,5 м. С какой наименьшей скоростью нужно его
вращать, чтобы при прохождении через высшую точку вода из
него не выливалась?
34
Д.5.3. Человек стоит неподвижно на краю круглой
горизонтальной платформы, вращающейся вокруг вертикальной
оси. Определите линейную скорость человека при вращении
платформы, если радиус ее — 4 м, а коэффициент трения равен 0,2.
Д.5.4. Угол крена планера на вираже радиусом 200 м равен
50°. Определите скорость полета планера.
Д.5.5. Груз, подвешенный на нити длиной 60 см, двигаясь
равномерно, описывает в горизонтальной плоскости окружность.
С какой скоростью движется груз, если во время его движения
нить образует с вертикалью постоянный угол 30°?
35
Занятие 6. Упругий и неупругий удары.
1
n
ii
i
m const
tFp
внеш
12
ppp
tF
внеш
1
n
ii
i
m const
2 — ?
СИ
m1 = 20 кг
m2 = 500 кг
= 30º
1 = 200 м/с
Рис. 6.1
х
Закон сохранения импульса
Системы отсчета, в которых отсутствуют внешние воздействия и тела системы взаимодействуют только друг с другом, называют замкнутыми или изолированными. В таких системах выполняется закон сохранения импульса: в отсутствие внешних сил
в изолированной системе полный вектор импульса внутри систе-
мы с течением времени не изменяется:
, где
mi, υi — масса и скорость отдельного тела системы.
В присутствии внешних сил выполняется закон изменения
импульса:
, где
го и начального импульса тела, а
— векторная разность конечно-
— это импульс силы.
Примеры решения задач
Задача П.6.1
Пушка, стоящая на очень гладкой площадке, стреляет под
углом = 30º к горизонту. Масса снаряда m1 = 20 кг, начальная
скорость
= 200 м/с. Какую скорость приобретает пушка при
1
выстреле, если ее масса 500 кг?
Решение
Данная
задача
решается
с применением
закона сохранения импульса
. Запишем его
применительно к системе «пушка — снаряд».
36
Согласно закону, сумма импульсов тел, составляющих систе-
2211022011
mmmm
2 2 1 10x
mm
1 1 1 1
cos
х
mm
11
2
2
cos
m
m
/кг м с
кг
20 200 cos30
6,93
500
12
ppp
р — ?
СИ
m = 0,1 кг
1 = 5 м/с
2 = 4 м/с
Рис. 6.2
р
1
р2
Х
му, до выстрела равна сумме импульсов этих же тел после выстрела:
. (6.1)
Выберем координатную ось, направленную вдоль горизон-
тальной плоскости в сторону движения пушки (см. рис. 6.1). Запишем уравнение (6.1) в проекциях на эту ось:
Здесь учтено, что начальные скорости 01 = 02 = 0 и проекция
импульса снаряда после выстрела на ось ОХ
Откуда
. (6.2)
.
.
Проверим размерность: [υ2] =
= м/с.
Вычислим значение по формуле (6.2):
2 =
(м/с).
Ответ: 2 = 6,93 м/с.
Задача П.6.2
Шар массой 0,1 кг движется со скоростью 5 м/с. После удара о стенку он стал двигаться в противоположном направлении
со скоростью 4 м/с. Чему равно изменение импульса шара в результате удара о стенку?
Решение
Изменение импульса — это векторная
разность конечного и
начального импульса
тела (или системы тел):
. (6.3)
Выберем координатную ось, совпадающую по направлению с импульсом р
2
37
после взаимодействия тела со стеной (см. рис. 6.2). Запишем
)()(
1212
mmmp
0,1(5 4) 0,9 ( / ). p кг м с
уравнение (6.3) в проекциях на эту ось. Учтем, что р1 = m1
и р2 = m2. Тогда (6.3) примет вид:
. (6.4)
Вычислим значение:
Ответ: р = 0,9 кг м/с.
Аудиторные задачи
А.6.1. Тело массы m равномерно движется по окружности со
скоростью υ. Найдите изменение импульса тела при его повороте
по окружности на 90° и 120°.
А.6.2. Найдите изменение импульса шарика массой 200 г по-
сле упругого и неупругого взаимодействия со стенкой, если скорость шарика перед ударом о стенку — 100 м/с и он составляет
угол 30° с перпендикуляром к стене.
А.6.3. Шарик массой m = 20 г падает с высоты h = 1,2 м на го-
ризонтальную поверхность. Вычислите среднюю силу удара шарика о горизонтальную поверхность в случае, если шарик после
удара о плиту поднимается на высоту 40 см. Длительность удара
равна t = 0,05 с.
А.6.4. Вагон массой 20 т, движущийся со скоростью 15 м/с,
догоняет вагон массой 30 т, движущийся со скоростью 10 м/с. После взаимодействия вагонов срабатывает сцепка и они далее движутся вместе. Найдите скорость их совместного движения, если
взаимодействие вагонов неупругое.
А.6.5. Зенитный снаряд массой 20 кг вылетает из пушки под
углом α = 60° к горизонту со скоростью 800 м/с. В верхней точке
траектории снаряд разрывается на два осколка. Один осколок после разрыва получил импульс, направленный вертикально вниз.
Масса этого осколка равна 12 кг. Импульс второго осколка по модулю равен 10000 кг м/с. Через сколько времени первый осколок
упадет на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
А.6.6. Охотник стреляет из ружья с движущейся лодки по на-
правлению ее движения. Какую скорость имела лодка, если она
38
остановилась после двух быстро следующих друг за другом выстрелов? Масса охотника с лодкой — 200 кг, масса заряда — 20 г,
скорость вылета заряда = 500 м/с.
А.6.7. Снаряд массой 50 кг, летящий под углом 30° к горизон-
ту со скоростью 800 м/с, попадает в неподвижную платформу
с песком и застревает в ней. Найдите скорость платформы после
попадания в нее снаряда, если ее масса — 16 т.
Домашние задачи
Д.6.1. Материальная точка массой 1 кг равномерно движется
по окружности со скоростью 10 м/с. Найдите изменение импульса
за одну четверть периода; половину периода; период.
Д.6.2. Молекула массой 5 10
–26
кг, летящая со скоростью
500 м/с, упруго ударяется о стенку под углом 30° к перпендикуля-
ру. Найдите импульс силы, полученный стенкой при ударе.
Д.6.3. Стоящий на льду человек массой 60 кг ловит мяч массой 0,5 кг, который летит горизонтально со скоростью 20 м/с.
На какое расстояние откатится человек с мячом по горизонталь-
ной поверхности льда, если коэффициент трения — 0,05?
Д.6.4. Граната, летевшая в горизонтальном направлении со
скоростью 10 м/с, разорвалась на 2 части массами 1 и 1,5 кг. Скорость большего осколка осталась после взрыва горизонтальной
и возросла до 25 м/с. Определите величину и направление скорости меньшего осколка.
Д.6.5. Два шара массами 2 и 3 кг движутся в горизонтальной
плоскости со скоростями, соответственно равными 6 и 4 м/с. Направления движения шаров составляют друг к другу угол 90°. Чему равна сумма импульсов этих шаров?
39
Занятие 7. Закон сохранения энергии.
constЕЕ
поткин
2
2
m
Е
кин
mghЕ
пот
2
2
xk
E
пот
cos SFА
внешд исспотки н
ААЕЕ
cos
А
РFυα
t
Работа, мощность
Закон сохранения энергии гласит, что механическая энергия
изолированной консервативной системы (отсутствуют силы трения) не изменяется, если работа внешних сил, действующих на
тела, входящие в систему, равна нулю:
. (7.1)
Кинетическая энергия поступательного движения:
. (7.2)
Потенциальная энергия тела:
– поднятого над землей на высоту h:
, (7.3)
– деформированного тела (пружины):
. (7.4)
Механическая работа постоянной силы равна скалярному
произведению вектора действующей на тело силы F и вектора перемещения S:
, (7.5)
где — угол между направлением силы и перемещения.
Работу можно рассматривать как меру изменения механиче-
ской энергии системы под влиянием приложенных к ней сил.
Изменение полной механической энергии системы равно ал-
гебраической сумме работ всех внешних сил и внутренних диссипативных сил, действующих на систему:
. (7.6)
Быстрота совершения работы силой F описывается мощно-
стью Р:
где υ — модуль скорости движения.
40
, (7.7)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]