Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по механике. Учебное пособие
.pdf
с жесткостями 800 Н/м и 100 Н/м, соединенными параллельно?
Масса при этом не изменяется.
Д.12.6. В неподвижном лифте висит маятник, период колебаний которого Т
период колебаний этого маятника стал равным Т
= 1 с. С каким ускорением движется лифт, если
1
= 1,1 с? В каком
2
направлении движется лифт?
81
Занятие 13. Механические волны.
sinxA (t )
cos ( )
x
At
sin( )A t kx
2
k
2
x
( , ) cos cosx t A kx t
22
1
2
А
22
1
2
I А
0
r
I I e
Акустика
Волна — это процесс распространения колебаний в среде с
некоторой скоростью . Уравнение гармонической волны имеет
вид:
или
, (13.1)
где ξ — это смещение колеблющихся точек в волне относительно
положения равновесия. Уравнение волны можно записать в другом виде:
, где
— волновое число, а величина
λ = Т — это длина волны (расстояние, на которое распространяется волна за один период).
Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между
которыми (разность хода) равно Δx:
, (13.2)
где λ — длина волны.
Уравнение стоячей волны:
. (13.3)
Средняя плотность энергии в среде плотностью ρ:
. (13.4)
Интенсивность волны (количество энергии, переносимой
волной за 1 с через площадку в 1 м
амплитуды и квадрату частоты:
2
) пропорциональна квадрату
, и убывает по
закону
82
, (13.5)
где r — расстояние до источника, I0 — интенсивность при r = 0,
2
Дж
I
мс
0
10lg
I
LI
12
0
2
10
Дж
I
мс
с
сu
RT
с
M
— коэффициент поглощения среды, в которой распространяется
волна. Единицы измерения
.
Громкость звуковой волны L измеряется в децибелах (дб) и
определяется как:
, где
. (13.6)
Частота звука, воспринимаемая наблюдателем, согласно
принципу Доплера определяется по формуле:
, (13.7)
где с — скорость распространения звука в среде, — скорость
движения наблюдателя, u — скорость источника звука, — частота звука, посылаемого источником. Верхние знаки берутся при
сближении источника и наблюдателя, нижние — при их удалении.
Скорость звука в газах зависит от природы газа и температуры и определяется по формуле:
. (13.8)
Примеры решения задач
Задача П.13.1
Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со
скоростью υ = 15 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен
1,2 с, амплитуда A = 2 см. Определите: 1) длину волны λ; 2) фазу
φ колебаний, смещение ƺ, скорость υх и ускорение ах точки, отстоящей на расстоянии х = 45 м от источника волн в момент
t = 4 с; 3) разность фаз φ колебаний двух точек, лежащих на
луче и отстоящих от источника волн на расстояниях x1 = 20 м
и x2 = 30 м.
83
Решение
cos ( )
x
At
()
x
t
2
()
x
t
Т
2T
0,02cos5,24 0,01 ( ).м
2
sin ( ) sin
х
x
At А
Т
2 3,14
0,02sin5,24 0,09 ( / )
1,2
х
мс
λ — ? φ — ?
ƺ, υх, а
х
— ?
φ — ?
СИ
υ = 15 м/с
A = 2 см
Т = 1,2 с
Х = 45 м
t = 4 c
х
1
= 20 м
х
2
= 30 м
0,02 м
Длина волны равна расстоянию, которое
волна проходит за один период, и может
быть найдена из соотношения λ = υT.
Подставив значения величин υ и T,
мы получим λ = 18 м.
Запишем уравнение волны согласно
(13.1):
, (13.9)
где ƺ — смещение колеблющейся точки;
х — расстояние точки от источника волн; υ — скорость распространения волн.
Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t
определяется выражением, стоящим в уравнении волны под зна-
ком косинуса:
где учтено, что
Произведя вычисления по последней формуле, мы получим
φ = 5,24 рад, или φ = 300°.
Смещение точки мы определим, подставив в уравнение (13.9)
значения амплитуды А и фазы φ:
Скорость υ
точки находим, взяв первую производную от
х
(13.9) по времени:
Подставив значения величин π, А, Т и φ и произведя вычис-
ления, мы получим
Ускорение есть первая производная от (13.11) по времени,
поэтому
84
или
, (13.10)
.
. (13.11)
.
cos
2
T
Ax
tАа
х
2
2
4
)(cos
. (13.12)
2
4 0,02
5 / ).
х
2
а м с
4
2
cos ,24 0,27 (
21
22
()x хх
2 3,14
(30 20) 3,49 ( )
18
рад
пр
ист
с
с
υ
ист
— ?
СИ
ν
0
= 18 кГц
λ = 1,7 см
Т = 290 К
18 103 Гц
0,017 м
Произведем вычисления по этой формуле и получим:
Разность фаз φ колебаний двух точек волны связана с рас-
стоянием х между этими точками соотношением (13.2):
.
Подставим значения величин λ, x1 и x2 и вычислим:
или φ = 200°.
Ответ: λ = 18 м; φ = 5,24 рад; ƺ = 0,01 м; = 0,09 м/с;
а = 0,27 м/с2; φ = 3,49 рад.
Задача П.13.2
Источник звука частотой v0 = 18 кГц приближается к не-
подвижно установленному резонатору, настроенному на акустическую волну длиной λ = 1,7 см. С какой скоростью должен двигаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны
вызвали колебания резонатора? Температура T воздуха равна
290 К.
Решение
Согласно принципу Доплера, частота v звука, воспринимаемая прибором (резонатором), зависит от
скорости υ
источника звука
ист
и скорости υпр прибора. Эта зави-
симость выражается формулой (13.7):
где с — скорость звука в данной среде; ν0 — частота звуковых
волн, излучаемых источником.
, (13.13)
85
Так как резонатор остается неподвижным (υпр = 0), из форму-
ист
с
vv
с
0
(1 )
ист
с
RT
с
M
рез
рез
0
0
1
рез
ист рез
сс
с
0ист рез
RT
v
M
2
/ / .
ист
Дж К кг м м
Гц м м с м с
кг
с кг
моль К
моль
3
1,4 8,31 290
18 10 0,017 36 ( / ).
0,029
ист
мс
лы (13.13) получим
, откуда
. (13.14)
В этом выражении неизвестны значения скорости звука с
и частоты v.
Скорость звука в газах зависит от природы газа и температу-
ры и определяется по формуле (13.8):
. (13.15)
Чтобы волны, приходящие к резонатору, вызвали его колеба-
ния, частота v воспринимаемых резонатором волн должна совпадать с собственной частотой v
резонатора:
рез
, (13.16)
где v
— длина волны собственных колебаний резонатора.
рез
Подставив выражения υ и v из равенства (13.15) и (13.16)
в формулу (13.14), мы получим:
или
. (13.17)
Проведем проверку размерностей:
Возьмем значения γ = 1,4, М = 0,029 кг/моль, а также значе-
ния R, Т, vo, λ
Ответ: υ
86
= 36 м/с.
ист
, подставим их в (13.17) и получим:
рез
Аудиторные задачи
А.13.1. По поверхности воды в озере волна распространяется
со скоростью 6 м/с. Каковы период и частота колебаний бакена,
если длина волны — 3 м?
А.13.2. Рыболов заметил, что за 10 с поплавок совершил на
волнах 20 колебаний, а расстояние между соседними гребнями
волн — 1,2 м. Какова скорость распространения волн?
А.13.3. На озере в безветренную погоду с лодки бросили тя-
желый якорь. От места бросания якоря пошли волны. Человек,
стоящий на берегу, заметил, что волна дошла до него через 50 с,
расстояние между соседними гребнями волн — 0,5 м, а за 5 с было 20 всплесков о берег. Как далеко от берега находилась лодка?
А.13.4. На поверхности воды распространяется волна со ско-
ростью 2,4 м/с при частоте колебаний 2 Гц. Какова разность фаз
в точках, лежащих на одном луче и отстоящих друг от друга на
10, 60, 90, 120 и 140 см?
А.13.5. Длина звуковой волны в воздухе для самого низкого
мужского голоса достигает 4,3 м, а для самого высокого женского
голоса — 25 см. Найдите частоты колебаний этих голосов. Скорость звука в воздухе считать равной 330 м/с.
А.13.6. Мотоциклист, движущийся по прямолинейному уча-
стку дороги, увидел, как человек, стоящий у дороги, ударил
стержнем по висящему рельсу, а через 2 с услышал звук. С какой
скоростью двигался мотоциклист, если он проехал мимо человека
через 36 с после начала наблюдения?
А.13.7. Звук взрыва, произведенного в воде вблизи поверхно-
сти, приборы, установленные на корабле и принимающие звук по
воде, зарегистрировали на 45 с раньше, чем он пришел по воздуху. На каком расстоянии от корабля произошел взрыв?
А.13.8. Поезд проходит мимо станции со скоростью
u = 40 м/с. Частота v0 тона гудка электровоза равна 300 Гц. Определите кажущуюся частоту ν тона для человека, стоящего на
платформе, в двух случаях: 1) поезд приближается; 2) поезд удаляется.
87
Домашние задачи
Д.13.1. При измерении глубины моря под кораблем при по-
мощи эхолота оказалось, что моменты отправления и приема
ультразвука, разделены промежутком времени 0,6 с. Какова глубина моря под кораблем?
Д.13.2. Определите скорость звука в воде, если источник зву-
ка, колеблющийся с периодом 0,002 с, возбуждает в воде волны
длиной 2,9 м.
Д.13.3. Расстояние между ближайшими гребнями волн в море — 6 м. Лодка качается на волнах, распространяющихся со скоростью 2 м/с. Какова частота ударов волн о корпус лодки?
Д.13.4. Длина волны — 1,6 м. На каком расстоянии находятся
ближайшие частицы, совершающие колебания в противоположных фазах?
Д.13.5. Мимо железнодорожной платформы проходит электропоезд. Наблюдатель, стоящий на платформе, слышит звук сирены поезда. Когда поезд приближается, кажущаяся частота звука
ν
= 1100 Гц; когда удаляется, кажущаяся частота ν2 = 900 Гц.
1
Найдите скорость электровоза и частоту ν0 звука, издаваемого сиреной.
88
Занятие 14. Механика жидкостей и газов
1 1 2 2
SS
22
12
1 1 2 2
22
p gh p gh
2
1
2
2
2
2
gh2
Рис. 14.1
При рассмотрении движения
жидкости часто используют модель идеальной жидкости, не обладающей вязкостью и сжимаемостью. На основе этого обобщения приходим к следующим выводам.
• Расход жидкости в трубке тока (рис. 14.1):
а) объемный расход QV = υS, (14.1)
б) массовый расход Qm = pυS,
где S — площадь поперечного сечения трубки тока; υ — скорость
жидкости; р — ее плотность.
Уравнение неразрывности струи:
, (14.2)
где S1 и S2 — площади поперечного сечения трубки тока в двух
местах; υ
в общем случае:
и υ2 — соответствующие скорости течений.
1
• Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости
где p1 и р2 — статические давления жидкости в двух сечениях
трубки тока; υ
и
— динамические давления жидкости в этих же сечениях;
и υ2 — скорости жидкости в этих сечениях;
1
h1 и h2 — их высоты над некоторым уровнем (рис. 14.1); pgh1
и pgh2 — гидравлические давления.
• Скорость течения жидкости из малого отверстия в открытом
широком сосуде:
, (14.3)
, (14.4)
89
где h — глубина, на которой находится отверстие относительно
4
8
r t p
V
l
Re
d
Re
d
rF 6
уровня жидкости в сосуде.
• Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающей за
время t через длинную трубку:
, (14.5)
где r — радиус трубки; l — ее длина; Δp — разность давлений на
концах трубки; η — динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) жидкости.
• Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках
, (14.6)
где <υ> — средняя по сечению скорость течения жидкости; d —
диаметр трубки, и для движения шарика d жидкости.
, (14.7)
где υ — скорость шарика; d — его диаметр.
Число Рейнольдса Re есть функция скорости υ тела, линейной
величины l, определяющей размеры тела, плотности р и динамической вязкости η жидкости, т. е. Re = ƒ(ρ,η,l,υ).
При значениях чисел Рейнольдса меньше некоторого критического значения Reкp движение жидкости является ламинарным.
При значениях Re >> Reкр движение жидкости переходит в турбулентное.
Критическое число Рейнольдса для движения шарика в жидкости Reкр = 0,5; для потока жидкости в длинных трубках
Reкр = 2300.
• Формула Стокса. Сила сопротивления F, действующая со
стороны потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик:
, (14.8)
где r — радиус шарика; υ — его скорость.
Формула справедлива для скоростей, при которых число Рейнольдса много меньше единицы (Re << l).
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]