Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по механике. Учебное пособие
.pdf
Примеры решения задач
2 2 2 2
2
2 2 2 2
m I m I
mgh
R
L
h
sin
2
2
2mgh
I тR
22
2
2 3 10 2,5
3 0,3 0,37 ( ).
4,6
I кг м
I — ?
СИ
m = 3 кг
R = 30 см
L = 5 м
α = 30°
υ = 4,6 м/с
0,3 м
Рис. 11.1
υ
mg
R α h
Задача П.11.1
Колесо радиусом 30 см и массой 3 кг скатывается по наклон-
ной плоскости длиной 5 м с углом наклона 30°. Определите момент инерции колеса, если его скорость в конце движения составляла 4,6 м/с.
Решение
Считаем,
что колесо
катится без
проскальзывания,
тогда ли-
нейная скорость вращательного
движения точек, отстоящих на
расстоянии радиуса, равна скорости поступательного движения
колеса. Поскольку колесо участвует и в поступательном, и во
вращательном движениях, можно использовать выражение (11.3)
для определения кинетической энергии.
Запишем закон сохранения механической энергии для колеса:
(так как отсчет потенциальной
энергии ведется от нижнего положения центра масс колеса), h определим из соотношения длины наклонной плоскости и угла:
.
В нашем случае h = L/2 = 2,5 (м).
Выразим из первого уравнения момент инерции I:
.
Подставив значения, мы получим:
Ответ: момент инерции колеса равен 0,37 кг м2.
71
Задача П.11.2
)()(
2221
IIII
R
12
12
II
R
II
2
1
1
2
mR
I
2
22
I m R
2
11
2
1 2 1 2
2
2
2 0 5 2
m R m
RR
( , m m )R m m
υ — ?
СИ
m1 = 180 кг
R = 1,5 м
m2 = 60 кг
ν = 1/6 с–1
Рис. 11.2
Платформа в виде диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая 1 оборот за
6 с. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно платформы будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Решение
По закону
сохранения
импульса (11.6)
имеем:
, (11.7)
где I1, I2 — моменты инерции
платформы и стоящего в центре
человека; ω — угловая скорость платформы с человеком, стоящим
в ее центре; I2' — момент инерции человека, стоящего на краю
платформы; ω' — угловая скорость платформы с человеком,
стоящим на ее краю. Линейная скорость человека, стоящего на
краю платформы, связана с угловой соотношением:
. (11.8)
Определив из уравнения (11.7) ω' и подставив полученное
выражение в (11.8), мы будем иметь:
Момент инерции платформы определяем как для диска.
Следовательно,
.
Момент инерции человека рассчитываем как для
материальной точки. Поэтому I2 = 0,
Угловая скорость платформы до перехода человека из центра
на краю платформы ω = 2πν. Заменим в (11.9) величины I1, I2 , I2'
и ω их выражениями и получим:
72
. (11.9)
.
.
Проведем проверку единиц измерения: υ =
1кг
кг с
2 180
180 2 60
1
6
м = м/с.
Подставим числовые значения и вычислим искомую линей-
ную скорость человека:
υ =
π ∙
= 1 (м/с).
Ответ: υ = 1 м/с.
Аудиторные задачи
А.11.1. Обруч и диск одинаковой массы катятся без скольже-
ния с одной и той же скоростью. Кинетическая энергия обруча
равна 0,4 Дж. Найдите кинетическую энергию диска.
А.11.2. На барабан массой m0 = 9 кг намотан шнур, к концу
которого привязан груз массой m = 2 кг. Найдите ускорение груза.
Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.
А.11.3. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = 0,1 кг ∙ м
2
, намотан шнур, к концу которого привязан
груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза
над полом h0 = 1 м. Через какое время груз опустится до пола?
Найдите кинетическую энергию груза в момент удара о пол и силу натяжения нити. Трением пренебречь.
А.11.4. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со
скоростью 7,2 км/ч. На какое расстояние может вкатиться обруч
на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен
10 м на каждые 100 м пути.
А.11.5. Карандаш длиной 15 см, поставленный вертикально,
падает на стол. Какую угловую и линейную скорости будет иметь
в конце падения середина и верхний конец карандаша?
А.11.6. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой 1 = 10 об/мин. Человек массой m0 = 60 кг стоит
при этом на краю платформы. С какой частотой 2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее
73
центру? Считать платформу однородным диском, а человека —
точечной массой.
А.11.7. Человек массой m0 = 60 кг находится на неподвижной
платформе массой m = 100 кг. С какой частотой будет вращаться
платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом r = 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека
относительно платформы о = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м.
Считать платформу однородным диском, а человека — точечной
массой.
А.11.8. Шар массой 1 кг катится без скольжения, ударяется
о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку
= 10 см/с, после удара — U = 8 см/с. Найдите количество теплоты, выделившееся при ударе шара о стенку.
Домашние задачи
Д.11.1. Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой
5 об/с, равна 60 Дж. Найдите момент импульса вала.
Д.11.2. Шар диаметром D = 6 см и массой m = 0,25 кг катится
без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения 4 об/с. Найдите кинетическую энергию шара.
Д.11.3. Колесо радиусом 50 см и массой 2 кг скатывается по
наклонной плоскости длиной 4 м с углом наклона 25°. Определите
момент инерции колеса, если его скорость в конце движения составляла 5 м/с.
Д.11.4. Скамья Жуковского радиусом 1 м со стоящим в центре человеком вращается, делая 0,5 об/с. Человек переходит на
край скамьи. Определите изменение угловой скорости вращения
скамьи. Масса человека — 50 кг, момент инерции скамьи —
30 кг м2.
Д.11.5. На барабан массой m0 = 10 кг намотан шнур, к концу
которого привязан груз массой m = 1 кг. Найдите силу натяжения
шнура. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.
74
механических колебаний
2
Т.
1N
.
tT
2
2
2
l
Т
g
Колебанием называется движение или процесс, обладающий
некоторой степенью повторяемости во времени. Время, в течение
которого совершается одно полное колебание, называется перио-
дом колебаний, Т. Гармоническими называются колебания, при
которых некоторая физическая величина (например, координата
колеблющейся точки) изменяется во времени по синусоидальному
или косинусоидальному закону:
x = Ax ∙ sin(ωt + φ0),
х(Аy
(12.1)
) —
y = Ay ∙ cos(ωt + φ0),
где х(y) — это координата колеблющейся величины, А
амплитуда колебаний (величина максимального отклонения от
положения равновесия), величина (ωt + φ0) — полная фаза колебания φ, ω — циклическая частота колебаний, φ0 — начальная
фаза колебаний, t — время совершения колебаний. Период связан
с циклической частотой соотношением:
(12.2)
Число полных колебаний в единицу времени называют частотой колебаний ν:
(12.3)
[ω] = радиан/с, [ν] = Гц.
где l — длина нити маятника, g — ускорение свободного падения.
Частота ν и циклическая частота ω связаны соотношением:
или
Единицы измерения: [A] = м, [Т] = c, [φ] = радиан (градус),
Период колебаний математического маятника:
Период колебаний пружинного маятника:
.
, (12.4)
75
2
m
Т
k
, (12.5)
0
cos( )
x
dx
At
dt
0
sin( )
y
dy
At
dt
2
2
0
2
sin( )
x
d x d
a A t
dt dt
)cos(
0
2
2
2
tA
dt
d
dt
yd
a
y
)(cos
2
1
22
0
222
2
2
tAm
dt
dxmm
К
)(sin
2
1
)(sin
2
1
2
0
222
0
22
2
tAmtkA
kx
П
22
1
2
Е К П m A
1 1 1
cosХ А t
2 2 2
cosХ А t
2 1 2 1
2 cos cos
22
X A t t
б
21
2
T
21
21
1
2
б
б
Т
где m — масса груза, k — жесткость пружины.
Скорость точки, совершающей гармонические колебания:
Величина Аω =
или
называется амплитудой скорости.
max
. (12.6)
Ускорение материальной точки при гармонических колебаниях:
или
. (12.7)
Величина Aω
2
= a
— амплитуда ускорения.
max
Кинетическая энергия колеблющейся системы:
. (12.8)
Потенциальная энергия (на примере пружинного маятника):
, так как
k = mω2.
Полная механическая энергия системы:
. (12.9)
В случае, если материальная точка одновременно участвует
в двух гармонических колебаниях с близкими частотами (например,
и
), результирующее колеба-
ние будет иметь вид:
ваться биениями. Период и частота такого колебания определяются по формулам:
76
и назы-
,
. (12.10)
При наличии в колебательной системе силы трения уравнение
2
2
0
2
20
d x dx
x
dt dt
00
cos
teAx
t
22
0
0
t
А A e
ln
t
tT
A
A
1
T
S — ?
— ?
а — ?
СИ
A = 1 мм
ν = 1 кГц
t = 0,2 c
φ
0
= 0
10–3 м
103 Гц
Рис. 12.1
колебаний принимает вид:
смещение колеблющейся системы,
— собственная циклическая частота колебаний.
0
— коэффициент затухания,
, где где х —
Характер движения системы определяется решением этого
уравнения, которое при
> имеет вид:
0
, (12.11)
где
— циклическая частота затухающих колебаний. Она связана
с собственной циклической частотой
формулой:
0
. (12.12)
Из уравнения (12.11) видно, что амплитуда А затухающих колебаний экспоненциально убывает со временем:
. (12.13)
Затухание характеризуют логарифмическим декрементом, который определяется как натуральный логарифм отношения двух
амплитуд, взятых через период:
. (12.14)
Примеры решения задач
Задача П.12.1
Амплитуда колебаний точки струны — 1 мм, частота —
1 кГц. Какой путь пройдет точка за 0,2 с? Найдите скорость и
ускорение точки в этот момент времени.
Решение
За время
,
равное
периоду
колеба-
77
ний, точка проходит расстояние ST = 4А (см. рис. 12.1).
T
tS
TS
4
T
t
S S At
T
с
S мм
с
33
4 10 0,2 10 0,8 ( )S м
0
cosx Аt
2
sin 2 sin 2
dx
A t A t
dt
2 2 2
cos 4 cos 2
d
a A t A t
dt
1
c
2
1
c
Рис. 12.2
Путь, пройденный точкой, можно найти из соотношения:
, откуда
Проверяем размерность:
.
.
Проводим вычисление:
Найдем скорость и ускорение точки. Запишем уравнение ко-
лебаний:
времени t, А — амплитуда колебаний,
частота, φ
— начальная фаза.
0
, где х — смещение точки в момент
— циклическая
Скорость равна
Ускорение точки а:
.
Проверим размерности: [υ] =
м = м/с, [а] =
м = м/с
Проведем вычисления:
υ = – 2 ∙ 3,14 ∙ 10–3 ∙ sin(1256) = – 0,44 (м/с).
а = – 4 ∙ 3,14 ∙ 106 ∙ sin(1256) = – 2,75 ∙ 103 (м/с2).
Ответ: S = 0,8 м; = – 0,44 м/с; а = – 2,75 ∙ 103 м/с2.
Аудиторные задачи
A.12.1. Определите по графику,
приведенному на рисунке 12.2, амплитуду, период и частоту колебаний.
Найдите максимальную силу, действующую на тело массой 100 г. Составьте уравнение гармонического
колебания.
.
.
2
.
78
A.12.2. Материальная точка совершает гармонические коле-
0 02cos
3
x , t
1
0 1cos(2 )
6
x , t
2
0 1cos(2 )
3
x , t
cos(2 1 )cos(50 )x A , t t
Т
4
бания по закону
, м. Определите скорость
и ускорение в момент времени 2 с.
A.12.3. Складываются два гармонических колебания, описываемых уравнениями
, м и
, м.
Сложите уравнения с помощью метода векторных диаграмм, запишите уравнение результирующего колебания. Определите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.
A.12.4. При сложении двух гармонических колебаний одного
направления результирующее колебание точки имеет вид
, где t — время совершения колебаний в се-
кундах. Найдите круговые частоты складываемых колебаний и
период биений.
A.12.5. Запишите уравнение затухающих колебаний материальной точки, если смещение точки хо при t =
составляет
4,5 см, период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический
декремент затухания = 0,4, начальная фаза равна нулю. Постройте примерный график зависимости смещения от времени.
A.12.6. Материальная точка массой m = 10 г совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см. Определите частоту колебаний, если максимальная сила F
, действующая на
max
точку, равна 10 мН.
A.12.7. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблет-
ся по вертикали с периодом Т
= 1 с. После того как подвесили
1
еще один груз, период колебаний возрастает в 2 раза. Определите,
насколько удлинилась пружина при добавочном грузе, если пренебречь массой пружины.
A.12.8. Тонкий однородный стержень длиной L колеблется
в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, которая может перемещаться вдоль стержня. Определите зависимость периода колебаний от расстояния центра масс стержня до оси вращения. Чему равен наименьший период колебаний?
79
A.12.9. Тело массой m при-
01cos(3 )x , t
Т
8
k
1
k
2
m
Рис. 12.3
Рис. 12.4
креплено к двум пружинам с жесткостью k
и k
, другие концы
1
2
которых закреплены на неподвижных опорах (рис. 12.3). Чему
равен период малых колебаний
тела, выведенного из положения равновесия? Трением и массой
пружин пренебречь.
A.12.10. Материальная точка массой m = 10 г совершает гар-
монические колебания, описываемые уравнением
м. Определите кинетическую и потенциальную энергии через
t =
. Определите полную энергию колеблющейся точки.
Домашние задачи
Д.12.1. По графику, приведен-
ному на рисунке 12.4, найдите амплитуду, период и частоту колебаний. Напишите уравнение гармонических колебаний.
Д.12.2. Вычислите амплитуду
гармонических колебаний, если для
,
фазы 4 смещение равно 6 см.
Д.12.3. Однородный диск радиусом r = 10 см совершает ма-
лые колебания относительно горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей на расстоянии а = 6 см от
его центра. Определите период колебаний диска.
Д.12.4. Шарик массой m подвешен на двух последовательно
соединенных пружинах с жесткостью k
и k
. Определите период
1
2
вертикальных колебаний шарика.
Д.12.5. Как изменится период колебаний пружинного маятни-
ка, если одну пружину жесткостью 200 Н/м заменить пружинами
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]