Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решение задач по механике. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>



mRtFR 

, откуда

tFR























сН

мкг

сН

мкг



314,0

1040

805,0100













Рис. 9.4

Проведем проверку единиц измерения:

Подставим значения и проведем вычисление:

Ответ: коэффициент трения равен 0,314.

Аудиторные задачи

А.9.1. Определите момент инерции шара относительно оси,

совпадающей с касательной, к его поверхности. Радиус шара — 0,1 м, его масса — 5 кг.

А.9.2. Определите момент инерции диска относительно оси,

перпендикулярной плоскости вращения и проходящей через его край. Радиус диска — 0,1 м, его масса — 5 кг.

А.9.3. Определите момент инерции дис-

ка относительно оси, параллельной плоскости вращения и проходящей через его край. Радиус диска — 0,1 м, его масса — 4 кг.

А.9.4. На барабан радиусом R = 10 см

намотана нить, к концу которой привязан груз массой m = 0,5 кг. Найдите момент инерции барабана, если груз опускается с ускорением a = 1 м/с2 .

А.9.5. Через блок, масса которого m = 100 г, перекинута

тонкая гибкая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены два груза массами m1 = 200 г и m2 = 300 г (рис. 9.4). Грузы удерживаются в неподвижном положении. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Чему равно угловое ускорение блока, если его радиус — 10 см? Трением пренебречь.

А.9.6. В однородном диске массой 1 кг и радиусом

Рис. 9.5

R = 30 см вырезано круглое отверстие диаметром d = 20 см, центр которого находится на расстоянии l = 15 см от оси диска (рис. 9.5). Найдите момент инерции полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр.

А.9.7. Шар массой m = 10 кг

и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид  = А + Вt2 + Ct3, где В = 4 рад/с2, С = – 1 рад/с3. Найдите закон изменения момента сил, действующих на шар. Определите момент силы М в момент времени t = 2 с.

Домашние задачи

Д.9.1. Чему равен момент инерции тонкого прямого стержня длиной 0,5 м и массой 0,2 кг относительно оси, перпендикулярной к его длине и проходящей через точку стержня, которая удалена на 0,15 м от одного из его концов?

Д.9.2. Определите момент инерции и момент импульса Земли относительно оси вращения, приняв ее за шар радиусом 6,4 Мм и массой 6 104 кг.

Д.9.3. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найдите момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением

a = 2,04 м/с2.

Занятие 10. Статика

0F 



0M 



F 



F 



F 



M 



х — ?

СИ

m1 = 1 кг m2 = 2 кг L = 0,5 м

m2g

m1g

Раздел механики, который изучает условия равновесия твердого тела, называется статикой. При решении задач статики всегда нужно помнить, что силы, действующие на тела, характеризуются не только величиной и направлением, но и точкой приложения.

Твердое тело находится в равновесии, если сумма всех действующих на него сил и сумма моментов этих сил относительно любой оси вращения равна нулю:

При этом моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке, считают положительными, а против часовой — отрицательными. При решении задач выбирается система координат и уравнение для действующих сил записывают в проекции на выбранные оси. Таким образом, для тела, находящегося в равновесии, можно всегда составить 4 уравнения:

Примеры решения задач

Задача П.10.1

На концах тонкого стержня длиной L = 0,5 м закреплены грузы массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг. Стержень подвешен на нити и расположен горизонтально. Найдите расстояние х от груза m1 до точки подвеса нити. Массой стержня пренебречь.

Решение

На невесомый стержень с грузами действуют силы, равные силам тяжести обоих

грузов, и сила натяжения нити Т. Запишем условие равновесия для моментов сил относительно точки подвеса:

. (10.1)

. (10.2)

( ) 0m g x m g L x   

. (10.3)

x

кг

мкг

x 





2 0,5

0,33 ( )







x м

021 gmТТ





Т — ?

СИ

m = 10 кг L = 20 м H = 0,2 м

N M α



Рис. 10.2

Момент силы натяжения нити равен нулю, так как равно ну-

лю плечо силы. Из (10.3) определяем неизвестное расстояние х:

Проведем проверку единиц измерений:

Подставляем значения и находим неизвестное:

Ответ: расстояние от первого груза до точки подвеса х = 0,33 м.

Задача П.10.2

Фонарь массой m = 10 кг подвешен к середине троса длиной L = 20 м, концы которого закрепляются на одинаковом уровне. Трос провисает на h = 0,2 м. Какова сила натяжения троса?

Решение

Рассмотрим условие равновесия для узла (А),

в котором подвешен фонарь. На этот узел действуют следующие силы: со стороны фонаря сила, равная силе тяжести mg, со стороны правой части троса — сила T ти — сила Т

, со стороны левой час-

. При рассмотрении

равновесия мате-риальной точки следует исполь-зовать только первое условие равновесия из (10.1). В соответствии с первым условием:

. (10.4).

Значения сил натяжения Т

и Т2 зависят от того, в каком месте

подвешен фонарь, и на каких уровнях закреплены концы троса. Исходя из условий задачи, можно показать, что значения сил T

и T2 должны быть одинаковыми. Для этого рассмотрим

0coscos

ТТ

0sinsin

 mgТТ



mgТ 



sin2



sin2

Т 

h 2

sin 



mgL

Т4

 

  

  



кг м м кг м

T Н

с м с

10 10 20

2450 ( ).

4 0,2







ТH

треугольник АMN. Этот треугольник равнобедренный, так как АМ = АN = L/2. Следовательно, равные между собой углы AMN и ANM обозначим через α .

Выберем оси координат X, Y, как показано на рисунке 10.2, и запишем первое условие статики в проекциях на оси координат согласно (10.2). На горизонтальную ось X:

(10.5)

(проекция силы тяжести на горизонтальную ось равна нулю). Следовательно, Т1 = Т2.

В проекции на вертикальную ось уравнение статики имеет вид:

Обозначим через T силу натяжения нити Т = T1 = T выражение:

, получим

, следовательно:

. (10.6)

Обратившись к треугольнику ABN, мы замечаем, что

. Подставим это выражение в (10.6) и получим

окончательное выражение для натяжения нити:

. Проведем проверку единиц измерения:

Подставляем значения и вычисляем:

Ответ: сила натяжения троса составляет 2450 Н.

Задача П.10.3

Однородный цилиндр массой 10 кг удерживается в равновесии на наклонной плоскости нитью, намотанной на цилиндр и направленной вверх параллельно наклонной плоскости. Угол наклона плоскости к горизонту равен 30°. Проскальзывание отсутствует, найдите силу натяжения нити.

Решение

0sin2 



mgRRТ

sin



Т 

10 10 0,5

25 ( )





Т — ?

СИ

m = 10 кг α = 30°

Рис. 10.3

Fтр

На цилиндр действуют: mg — сила тяжести,

N — сила реакции опоры, Fтр — силы трения и Т — сила натяжения нити. Точки приложения сил показаны на рисунке 10.3. Правило моментов в статике справедливо для любой оси вращения. Поэтому решение статической задачи часто можно упростить рациональным выбором оси, относительно которой определяются моменты сил. Так, например, если в данной задаче записать правило моментов для оси, совпадающей с осью цилиндра, то в уравнение войдут только неизвестные силы Т и F

. Естественно, такое уравнение

тр

решить нельзя. Наиболее подходящей точкой является точка касания цилиндра с плоскостью. В этом случае моменты неизвестных сил N и F

относительно оси, проходящей через нее, равны

тр

нулю, так как равны нулю плечи этих сил. То есть в уравнение войдут моменты только известной силы mg и неизвестной Т. Запишем уравнение:

, где R — радиус

цилиндра.

Выразим отсюда Т: Подставляем значения и находим неизвестное:

Ответ: сила натяжения нити Т = 25 Н.

Аудиторные задачи

A.10.1. Найдите силы F1 и F

и ВС (рис. 10.4), если  = 60о, а масса лампы m = 3 кг.

, действующие на стержни АВ

A.10.2. Груз массой m = 120 кг укреплен на подвесе

Рис. 10.5

Рис. 10.4

(рис. 10.5). Длина стержня АС равна а = 2 м, длина троса ВС равна в = 2,5 м. Найдите силы, действующие на трос и стержень.

A.10.3. К вертикальной гладкой стене подвешен однородный шар массой m. Нить составляет со стеной угол . Определите силу натяжения нити и силу давления шара на стену.

A.10.4. Лестница длиной l и массой m прислонена к стене. Чему равен минимальный угол  между лестницей и полом, при котором лестница еще находится в равновесии, если коэффициент трения между лестницей и стеной равен 1, а между лестницей и полом — 

? Определите силы реакции опор и силы трения между

лестницей и полом, лестницей и стеной.

A.10.5. В гладком цилиндрическом стакане лежит стержень

массой m = 0,1 кг (рис. 10.6). Определите силы реакции опор, если угол между стержнем и дном стакана равен  = 45о.

A.10.6. Два человека одинакового роста держат за концы в горизонтальном положении трубу длиной l = 2 м и массой m1 = 10 кг (рис. 10.7). На расстоянии d = 0,5 м от первого человека к трубе подвешен груз массой m2 = 100 кг. Определите силы, с которыми труба давит на плечи 1-го и 2-го человека.

Рис. 10.6 Рис. 10.7 Рис. 10.8

A.10.7. Однородный куб с помощью веревки подвешен к вер-

Рис. 10.9

тикальной стене, как показано на рис. 10.8. При каких значениях угла между веревкой и стеной куб соприкасается со стеной всей гранью, если коэффициент трения его о плоскость равен ?

Домашние задачи

Д.10.1. Электрическая лампа подвеше-

на на шнуре и оттянута горизонтальной оттяжкой (рис. 10.9). Найдите силу натяжения шнура F1 и оттяжки F2, если масса лампы m = 1 кг, а угол  = 60о.

Д.10.2. К грузу массой М = 100 кг приложили вертикальную силу F и удерживают на месте с помощью рычага (рис. 10.10). Рычаг состоит из шарнира без трения и однородного массивного стержня длиной

L = 8 м. Расстояние от оси шарнира до точки подвеса груза равно b = 2 м. Чему равен модуль силы F, если масса стержня m = 40 кг?

Д.10.3. К правому плечу невесомого рычага подвешено тело массой 0,2 кг (рис. 10.11). Груз какой массы надо подвесить ко второму делению левого плеча рычага для достижения равновесия?

Д.10.4. Каким должен быть противовес А колодезного журавля (рис. 10.12), чтобы он уравновешивал ведро массой 10 кг? Рычаг считать невесомым.

Д.10.5. Однородный шар массой m подвешен на нити, конец которой закреплен на вертикальной стене. Точка крепления шара к нити находится на одной вертикали с центром шара. Найдите силу натяжения нити и силу трения между шаром и стеной, если шар находится в равновесии. Длина нити l = 2R, где R — радиус шара.

Рис. 10.10 Рис. 10.11. Рис. 10.12

Занятие 11. Законы сохранения энергии

constЕЕ

поткин



кин

Е

кин

Е.





кин







L I .





× L r mυ



LL

1 1 2 2

I I .





и момента импульса

Закон сохранения энергии: механическая энергия изолированной системы не изменяется, если работа внешних сил, действующих на тела, входящих в систему, равна нулю и отсутствуют силы трения:

. (11.1)

Для поступательного движения:

. Для тела, вра-

щающегося вокруг неподвижной оси:

(11.2)

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

(11.3)

где

— скорость центра масс, Ic — момент инерции относи-

тельно оси, проходящей через центр масс.

Момент импульса твердого тела относительно некоторой заданной оси:

(11.4)

Момент импульса материальной точки относительно некоторой заданной оси:

, (11.5)

где

— импульс материальной точки, r — радиус-вектор точ-

ки.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса системы сохраняется

, если суммарный момент всех внешних

сил равен нулю.

Часто используют запись закона сохранения момента импульса в виде:

(11.6)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]