Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по механике. Учебное пособие
.pdf
Отношение энергии, использованной на выполнение полезной
затр ач
по лез
Е
Е
затр ач
по лез
затр ач
по лез
Р
Р
А
А
constЕЕ
поткин
mghЕЕ
пот
тр
АЕ
21
ААЕЕ
пот
μ — ?
СИ
h = 2 м
L = 5 м
S2 = 35 м
Рис. 7.1
работы, к полной затраченной энергии, называется коэффициентом полезного действия (КПД):
. (7.8)
КПД можно также выразить через полезную и затраченную
работу и мощность:
.
Примеры решения задач
Задача П.7.1
С горы высотой 2 м и основанием 5 м съезжают санки, которые, пройдя 35 м по горизонтальной дороге, останавливаются.
Определите коэффициент трения, считая его везде одинаковым.
Решение
Решим задачу с применением закона сохранения энергии
.
На вершине горы санки имели полную ме-
ханическую энергию, равную потенциальной
энергии тела на высоте h:
.
В конце пути,
в момент остановки
санок, их кинетическая и потенциальная
энергии равны 0 (так
как h = 0 и = 0), т. е.
Е = 0.
Изменение механической энергии ΔЕ согласно формуле (7.5)
равно работе сил трения, совершаемой на всём пути S:
или
. (7.9)
41
Работа сил трения А
1 1 1
cos
тр
A F S α
2 2 2
cos
тр
A F S α
NF
тр
11
cos
тр
F N mg
mgNF
тр
22
1
cos
S
L
12
1
0 cos180 cos180
L
mgh μmg S μmgS
S
2
SLh
1
м
м
2
0,05
5 35
х — ?
СИ
m1 = 0,5 кг
m2 = 1 кг
k = 1000 Н/м
υ = 5 м/с
чаться от работы сил трения А
на наклонном участке горы будет отли-
1
на горизонтальном участке. Со-
2
гласно (7.6) имеем следующие выражения:
, (7.10)
, (7.11)
— это угол между вектором силы трения и направлением движения санок. Согласно рис. 7.1 = 180º. S1 — длина горы.
Сила трения пропорциональна силе реакции поверхности
. По рис. 7.1 находим, что:
где
, а
— косинус угла наклона горы к горизонту, N1 — нахо-
, (7.12)
дится как проекция на ось ОY1, а N2 — как проекция на ось OY.
Используя (7.10) и (7.11) с учетом уравнений (7.12), мы запи-
шем (7.9) в виде:
Проведем преобразования и получим μ:
Проверим размерность:
Вычислим μ:
.
.
.
.
Ответ: μ = 0,05.
Задача П.7.2
Гиря массой 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту мас-
сой 1 кг, укрепленную на пружине жесткостью 1000 Н/м. Определите значение максимального сжатия пружины, если в момент
удара гиря имела скорость 5 м/с. Удар считать неупругим.
Решение
После удара гири о плиту систему «плита + гиря – пружина» можно считать
замкнутой. С учетом того, что пружина
уже была частично сжата под действием
42
силы тяжести плиты, уравне-
212 потпоткин
ЕЕЕ
2
2
2
xk
Е
пот
2
)(
2
221
2
mm
Е
кин
21
1
2
mmm
)(2
)(
21
2
1
2
mm
m
Е
кин
gmF
упр 21
gmxk21
k
gm
x
2
1
k
gmxk
Е
пот
22
2
2
2
1
1
Рис. 7.2
ние (7.1) можно представить
как:
, (7.13) (7.13)
где
— потенци-
альная энергия максимального
сжатия пружины.
Значение кинетической
энергии системы «гиря —
плита» сразу после удара будет определяться как:
. (7.14)
После удара о плиту гиря и плита начинают двигаться вместе
с общей скоростью υ2, которую определим из закона сохранения
импульса: m
системы «плита — гиря» равна
υ = υ
1
+ m2), откуда общая скорость движения
2(m1
.
И уравнение (7.14) принимает вид:
. (7.15)
До удара гири пружина была сжата на величину х1 под действием силы тяжести плиты. Эту величину можно определить из
2-го закона Ньютона с учетом, что плита и пружина находятся
в покое:
, следовательно:
. Откуда получа-
ем:
.
Тогда потенциальная энергия пружины в начальный момент
времени будет определяться по формуле:
. (7.16)
Формула (7.13) с учетом (7.14), (7.15) и (7.16) принимает вид:
43
22)(2
)(
2
2
2
21
2
1
xk
k
gm
mm
m
.
2
2
2
21
2
1
)(
)(
k
gm
mmk
m
x
2
2
2
22
2
( / )
.
/ ( )
/
м
с
кг
кг м с
м м м м
Н м кг
Нм
2
2
2
1 10
(0,5 5)
0,0043 0,065 ( )
1000(0,5 1) 1000
xм
сопркинки н
АЕЕ
2
2
2
1
m
Е
кин
F
сопр
— ?
СИ
m1 = 10 г
υ = 600 м/с
m2 = 5 кг
h = 10 см
10–2кг
0,1 м
υ
h
Рис. 7.3
Откуда
.
Проведем проверку размерностей:
Вычисляем:
.
Ответ: максимальное сжатие пружины равно 6,5 см.
Задача П.7.3
Пуля массой 10 г, летевшая горизонтально со скоростью
600 м/с, ударилась в свободно подвешенный деревянный брусок
массой 5 кг и застряла в нем, углубившись на 10 см. Найдите силу
сопротивления движению пули.
Решение
В данном случае кинетическая энергия
пули переходит в кинетическую энергию
системы «пуля —
брусок» и работу силы сопротивления.
Уравнение (7.1) распишем как:
. (7.17)
Кинетическая энергия пули до удара
определяется по уравнению (7.2):
. (7.18)
44
Кинетическую энергию бруска с пулей можно определить по
2
1 2 2
2
()
2
кин
mm
Е
21
1
2
mmm
)(2
)(
21
2
1
2
mm
m
Е
кин
hFА
сопрсопр
hF
mm
mm
сопр
)(2
)(
2
21
2
1
2
1
21
1
2
1
21
2
1
2
1
1
2)(2
)(
2 mm
m
h
m
mmh
m
h
m
F
сопр
Н
см
мкг
H
2
2
2
3
0,01 600 0,01
1 17,9 10 ( ).
2 0,1 0,01 5
сопр
F Н
cos FР
m — ?
СИ
υ = 0,05 м/с
P = 1,5 кВт
1500 Вт
формуле:
, где υ
— скорость совместного
2
движения, определяемая из закона сохранения импульса:
. Следовательно:
. (7.19)
Работу сил сопротивления распишем согласно уравнению
(7.6):
. (7.20)
С учетом выражений (7.18) — (7.20) уравнение (7.17) принимает вид:
.
Откуда сила сопротивления равна:
.
Проведем проверку размерностей:
.
Сделаем подстановку данных и проведем вычисление:
Ответ: сила сопротивления равна 17,9 кН.
Задача П.7.4
Подъемный кран поднимает груз со скоростью 0,05 м/с. Какой максимальный груз может поднять этот кран, если мощность мотора — 1,5 кВт?
Решение
Мощность определяется выражением
(7.7):
. (7.21)
45
Так как направления вектора перемеще-
Fgmam
mgF
mgР
g
P
m
2
2 2 2
//
кг .
/ / / / /
Вт Н м с кг м с
кг
м с м с м с м с м с
1500
3000 ( )
10 0,05
m кг
Рис. 7.4
υ F mg
y
ния и силы совпадают, то cosα = 1.
Результирующую силу вычислим с ис-
пользованием 2-го закона Ньютона:
, откуда в проекции на ось Оy
получаем выражение для F (с учетом равномерного движения и а = 0):
. (7.4)
Тогда выражение (7.21) можно распи-
сать:
, откуда выразим массу гру-
за:
.
Проведем проверку размерностей:
Сделаем подстановку данных и проведем вычисление:
.
Ответ: 3000 кг — масса максимального груза, поднимаемого
краном.
Аудиторные задачи
А.7.1. Тело массой 5 кг движется по горизонтальной поверх-
ности под действием некоторой силы в ускорением 1 м/с2. Чему
равна работа силы на расстоянии 10 м? Коэффициент трения
скольжения — 0,3.
А.7.2. Автомобиль массой 2 т затормозил и остановился,
пройдя путь 50 м. Найдите работу силы трения и изменение кинетической энергии автомобиля, если дорога горизонтальна, а коэффициент трения μ = 0,4.
А.7.3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоро-
стью 30 м/с. На какой высоте потенциальная энергия тела равна
его кинетической энергии?
46
А.7.4. С башни высотой 30 м горизонтально бросают камень
с начальной скоростью 0 = 10 м/с. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, найдите кинетическую и потенциальную энергии камня
спустя 1 с после начала движения. Масса камня — 0,2 кг.
А.7.5. Какую работу надо совершить, чтобы втащить груз
массой 80 кг на высоту 2 м по наклонной плоскости, составляющей угол = 30° с горизонтом, прикладывая силу, совпадающую
по направлению с перемещением? Коэффициент трения составляет 0,3. Каков при этом КПД?
А.7.6. Жесткость пружины k = 1000 Н/м. Какую работу необходимо совершить, чтобы растянуть пружину на 3 см? Удлинить
ее с 3 см до 5 см?
А.7.7. Какую среднюю мощность должен развивать двигатель, чтобы автомобиль массой 1,5 т достиг скорости 100 км/ч за
10 с? Коэффициент сопротивления движению равен 0,1. Движение автомобиля при разгоне считать равноускоренным.
А.7.8. В тело массой m1 = 1 кг, лежащее на горизонтальной
поверхности, попадает пуля массой m
= 10 г и застревает в нем.
2
Скорость пули = 700 м/с и направлена горизонтально. Какой
путь пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между
телом и поверхностью μ = 0,05?
А.7.9. Санки массой 50 кг съезжают из состояния покоя с горы длиной 200 м и высотой 20 м. Найдите скорость санок в конце
горы, если средняя сила сопротивления равна 50 Н.
Домашние задачи
Д.7.1. Определите удлинение резинового шнура при деформации, если жесткость его — 1000 Н/м, а работа силы упругости,
возникающей при деформации, оказалась равной 1,8 Дж.
Д.7.2. Длина недеформированной пружины — 15 см. В результате деформации ее длина удвоилась. Какой запас энергии
получила пружина, если ее жесткость — 400 Н/м?
Д.7.3. Каковы значения потенциальной и кинетической энергии стрелы массой 50 г, выпущенной из лука со скоростью 30 м/с
вертикально вверх, через 2 с после начала движения?
47
Д.7.4. Тело, брошенное с высоты 250 м вертикально вниз со
скоростью 20 м/с, погрузилось в грунт на глубину 20 см. Найдите
силу сопротивления грунта, если масса тела — 2 кг.
Д.7.5. Тело брошено со скоростью 15 м/с под углом к горизонту. Определите его скорость на высоте 10 м.
48
Занятие 8. Кинематика вращательного движения
t
22
Tt
t
dt
d
2
2
dt
d
dt
d
2
2
00
t
t
t
0
твердого тела
При поступательном движении твердого тела можно воспользоваться кинематическими уравнениями для описания движения
материальной точки, так как все точки твердого тела будут двигаться по одинаковым траекториям, как и центр масс.
При вращательном движении вводят угловые величины для
удобства описания движения: угловое перемещение φ, угловую
скорость ω и угловое ускорение β.
Средняя угловая скорость:
, (8.1)
средняя угловая скорость за время, равное периоду вращения Т:
, (8.2)
поскольку = 2, а частота вращения связана с периодом как
= 1/Т .
Среднее угловое ускорение:
. (8.3)
Мгновенные значения угловой скорости ω и углового ускорения β можно рассматривать как предельные значения средних при
стремлении промежутка времени к нулю. Они связаны с угловым
перемещением φ:
, (8.4)
. (8.5)
Уравнения углового перемещения и угловой скорости для
равнопеременного вращательного движения будут иметь вид:
, (8.6)
, (8.7)
49
где φ
RS
R
Ra
Ra
n
2
t
N
tN
2
2
at
S
a
St2
a
SN2
2
1
1.
м
N с
см
2 40
5 100.
0,2
N
N — ?
υ — ?
an — ?
СИ
a = 0,2 м/с2
L = 5 м
ν = 5 с-1
S = 40 м
а
S
Рис. 8.1
и ω0 — начальные угловые перемещение и скорость соот-
0
ветственно.
Между линейными и угловыми величинами существует сле-
дующая связь:
,
,
,
, (8.8)
где R — расстояние от оси вращения.
Примеры решения задач
Задача П.8.1
Вертолет начал снижаться вертикально с ускорением 0,2 м/с2.
Лопасть винта длиной 5 м вращается с частотой 5 с–1. Определите
число оборотов лопасти за время снижения вертолета на 40 м, линейную скорость и нормальное ускорение конца лопасти.
Решение
Число оборотов,
сделанных лопастью
винта, будет связано
с частотой вращения
. Откуда
. (8.9)
Время вращения равно времени спуска
вертолета на расстояние S:
отсюда t и подставим в (8.9):
. Итоговая формула:
Проведем проверку размерностей:
Подставим значения и вычислим число оборотов:
50
. Выразим
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]