Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по механике. Учебное пособие
.pdf
Подставим соотношения (2.8) и (2.9) в уравнение (2.7) и выра-
2 2 2 2
5 4 5 4
5 5 4
()
Δ
2 2 2
at at a t t
S S S
)(
2
2
4
2
5
5
tt
S
а
2
L
aT
2
с
м
a
22
2 10
2,22
(5 4 )
а
2
)(
22
2
6
2
7
2
6
2
7
677
ttaatat
SSS
22
7
2,22 (7 6 )
14,43
2
S
2
5
5
2
at
S
2
7
2,22 7
54,39
2
S
t
пад
— ?
СИ
H = 900 м
0 = 10 м/с
g = 9,81 м/с2
зим ускорение:
, (2.10)
откуда
Проверим размерность:
рения
.
Вычислим значение ускорения:
. (2.11)
. Единица измерения уско-
(м/с2).
Перемещение за 7-ю секунду находится аналогично уравне-
нию (2.10):
. (2.12)
При подстановке известного значения ускорения в уравнение
(2.12) получим искомое перемещение за 7-ю секунду:
(м).
Весь путь за 7 с находится по формуле (2.6):
,
(м).
Ответ: а = 2,22 м/с2, ΔS7 = 14,43 м, S7 = 54,39 м.
Задача П.2.2
С воздушного шара, находящегося на высоте 900 м и опускающегося вертикально вниз со скоростью 10 м/с, был сброшен
без начальной скорости относительно шара груз. Определите
время падения груза.
Решение
Груз падает свободно с указанной высоты
Н. При этом его движение можно рассматривать как прямолинейное
11
и равноускоренное с начальной скоростью
2
0
2
y
y
gt
Yt
2
0
2
пад
пад
gt
Ht
0
2
22
0
пад
пад
tH
t
gg
22
2
00
0 0 0 0
2
2 2 2 2
22
пад
gH
HH
t
g g g g g g g
22
2
/ ( / ) ( / )
.
/
пад
м с м с м с м
t с
мс
2
10 10 2 9,81 900
12,56 ( ).
9,81
пад
t с
Рис. 2.2
относительно земли, равной скорости воздушного шара в момент его отрыва от шара.
Для описания движения груза используем
координатный способ. Выберем в качестве
начальной точки отсчета точку первоначального положения шара и направим ось
OY вертикально вниз, по движению шара
и груза. Перед сбрасыванием груз опускался вместе с шаром со скоростью 0. Уравнение движения груза в координатной форме:
, (2.13)
где
и gy — проекции начальной скорости и ускорения на ось
0y
OY соответственно.
Когда груз достигнет поверхности Земли, t = t
и уравнение (2.13) примет вид:
, откуда
, Y = H
пад
. (2.14)
Решаем полученное квадратное уравнение и находим искомое t
пад
Проведем расчет с единицами измерения величин:
Отрицательное зна-
чение отбрасываем, так как в условиях данной задачи оно не имеет физического смысла.
Ответ: груз падал в течение 12,56 с.
:
.
12
Аудиторные задачи
А.2.1. Троллейбус отошел от остановки с ускорением
а = 0,2 м/с2. Достигнув скорости = 36 км/ч, он двигался, не
меняя ее, в течение 2 мин. Затем, равномерно замедляясь, он
прошел путь l = 100 м. Найдите среднюю скорость движения на
всем пути, постройте график зависимости скорости этого
движения от времени.
А.2.2. Самолет пробегает по бетонированной дорожке
расстояние 790 м. При отрыве от земли его скорость равна
240 км/ч. Какое время продолжался разбег и с каким ускорением
двигался самолет?
А.2.3. Поезд, трогаясь с места, через 10 с приобретает
скорость 1 = 0,6 м/с. За какое время от начала движения скорость
поезда станет равной 3 м/с? Движение поезда считать
равноускоренным.
А.2.4. Перед легковым автомобилем, движущемся со
скоростью 75 км/ч, на расстоянии 10 м внезапно появляется
грузовик. Каким должно быть минимальное ускорение
торможения автомобиля, чтобы избежать столкновения, если
грузовик движется равномерно со скоростью 43 км/ч?
А.2.5. Пуля вылетает из ствола ружья со скоростью 100 м/с,
двигаясь равноускоренно без начальной скорости. Чему примерно
равна скорость пули в середине ствола?
А.2.6. С вертолета, поднимающегося вертикально вверх со
скоростью = 15 м/с, бросают вниз с некоторой высоты Н без начальной скорости относительно вертолета небольшой груз. Найдите высоту Н, если время падения груза на землю равно 10 с.
А.2.7. Тело падает с высоты 100 м без начальной скорости.
За какое время тело проходит первый и последний метры своего
пути?
Домашние задачи
Д.2.1. Велосипедист, движущийся со скоростью 3 м/с, начинает спускаться с горы с ускорением 0,8 м/с2. Найдите длину горы, если спуск занял 6 с.
13
Д.2.2. Тело, трогаясь с места и двигаясь равноускоренно,
в конце 5-й секунды имело скорость 10 м/с. Какой путь оно прошло за это время и какова его средняя скорость на этом пути?
Д.2.3. Материальная точка, двигавшаяся равноускоренно без
начальной скорости, за 1 с приобрела скорость 2 м/с. За какое
время она теперь пройдет путь 4 м, двигаясь с этой начальной
скоростью и прежним ускорением?
Д.2.4. Тело свободно падает с высоты 80 м с начальной скоростью, равной нулю. Каково его перемещение в последнюю секунду падения?
Д.2.5. Найдите время падения тела, если за последние 2 с оно
прошло 60 м.
14
Занятие 3. Кинематика криволинейного движения
cos
ox o
x t t
22
0
sin
22
уy
oy
а t g t
y t t
0
cos
x
t
2
22
0
2 cos
у
g
y x x tg
х
Рис. 3.1
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, является
примером криволинейного движения. Его можно рассматривать
как суперпозицию двух видов движения: равномерного вдоль горизонтального направления, поскольку вдоль этого направления
не действуют никакие силы (сопротивлением воздуха пренебрегают), и равнопеременного вдоль вертикального направления, поскольку в этом направлении действует сила тяжести. При координатном способе описания движения удобно начало отсчета помес-
тить в точку бросания
тела, ось ОХ — горизонтально, ось ОУ вверх
перпендикулярно оси ОХ
(рис. 3.1). Уравнение
движения вдоль оси ОХ
имеет вид:
(3.1)
.
Уравнение движения
вдоль оси ОУ имеет вид:
. (3.2)
При движении тела в поле силы тяжести траектория полета
принимает вид параболы с вершиной в точке максимального
подъема. Для получения уравнения траектории у = f(x) из уравне-
ния (3.1) выразим время
чим уравнение параболы:
Вектор скорости удобно разложить на две составляющие
вдоль двух основных направлений. Тогда итоговый вектор скорости находится как:
ось ОХ постоянна и равна
и подставим его (3.2). Полу-
. (3.3)
, где величина проекции скорости на
15
cos
ox o
, (3.4)
00
sin
у у у y
g t t g t
yi
i
x
tg
n
а а a
d
a
dt
2
n
a
R
cos
ni i
аg
sin
ii
аg
Рис. 3.2
а величина проекции скорости на ось ОУ меняется согласно уравнению:
. (3.5)
В процессе полета полная скорость будет менять свое направ-
ление, которое связано с изменением вертикальной составляющей
скорости. Это изменение можно выразить через тангенс угла:
. (3.6)
При движении точки по криволинейной траектории вектор
полного ускорения будет представлять собой векторную сумму
нормального и тангенциального ускорения:
. Тангенци-
альное ускорение направлено по касательной к траектории и отвечает за изменение скорости по модулю:
. Нормальное
ускорение связано с изменением скорости по направлению:
, где R — радиус кривизны траектории в данной точке,
и направлено перпендикулярно касательной. При движении тела,
брошенного под углом к горизонту, нормальное и тангенциальное
ускорения в некоторой i-й точке траектории можно выразить через полное ускорение g (рис. 3.2):
и
.
Движение точки
по окружности можно рассматривать как
частный случай криволинейного движения с постоянным
радиусом кривизны.
Часто движение точки по окружности
удобно описывать
с помощью угловых
величин: угла поворота (φ), угловой
16
скорости (ω) и углового ускорения (ε). Связь между угловыми
2
2
00
tt
0
t
2
2
T
H — ? S — ?
— ? h — ?
СИ
0 = 40 м/с
= 60º
t = 0,5 c
g = 9,81 м/с2
Рис. 3.3
и линейными величинами: S = φ ∙ R, υ = ω ∙ R, a = ε ∙ R. Зависимости угловых величин от времени при движении точки аналогичны
зависимостям от времени для линейных величин. Для равнопере-
менного движения по окружности:
и
вращения ():
дения по окружности):
. Угловую скорость можно выразить через частоту
или период (Т — время полного прохож-
.
Примеры решения задач
Задача П.3.1
Найдите высоту и дальность полета сигнальной ракеты,
выпущенной со скоростью 40 м/с под углом = 60º к горизонту.
Определите, с какой скоростью движется ракета через 0,5 с после выстрела и на какой высоте над начальным уровнем она находится.
Решение
Движение ракеты происходит по криволинейной траектории, представленной на рисунке 3.3. Из рисунка видно, что ракета
будет совершать движение вдоль двух координатных осей: ОХ и OУ, связанных
с поверхностью Земли. Вдоль оси ОХ
ракета не испытывает ускорения и, следовательно, движение вдоль этой оси
будет являться равномерным.
Дальность поле-
та ракеты S за всё
время полета (в про-
17
екции на ось ОХ) будет определяться выражением:
x полета
St
00
cos
х
0
cos
полета
St
00y y y y подъема
а t gt
2
полета
подъема
t
t
00
sin
y
0
sin
подъема
t
g
0
2 sin
полета
t
g
2
00
0
2 sin sin2
cosS
gg
22
0
sin
22
уy
oy
а t g t
y t t
2
0
2
подъема
y подъема
gt
Ht
. (3.7)
Проекция начальной скорости 0 на ось ОХ равна
. (3.8)
Подставим (3.8) в уравнение (3.7) и получим выражение для S
в виде:
. (3.9)
Время полета можно определить из движения ракеты вдоль
оси ОУ. Так как вдоль этой оси на тело действует ускорение свободного падения в направлении, противоположном начальной
скорости, следовательно, движение является равнопеременным
и изменение скорости y происходит согласно уравнению:
. (3.10)
В верхней точке траектории в момент времени
проекция скорости y = 0 (см. рис. 3.3). Проекция начальной скорости на ось ОУ равна
, и с учетом этого время
подъема и полета, согласно (3.10), равно:
,
. (3.11)
Дальность полета с учетом (3.11):
. (3.12)
Уравнение движения вдоль оси ОY будет иметь вид:
. (3.13)
Максимальная высота полета ракеты y = H будет достигнута
за время t
, а gy = – g, следовательно, уравнение (3.13) в про-
подъема
екции на ось ОУ можно записать в виде:
. (3.14)
Подставляя найденные выше выражения в (3.14) для проекции 0y и t
, мы получаем итоговое уравнение:
подъема
18
2
22
0 0 0
0
sin sin sin
sin
22
g
H
g g g
. (3.15)
0
2
2 2 2 2
0
( ) ( ) ( ) cos sin
xy
t t t gt
2
sin
2
0
gt
th
2
40 sin2 60
141,25 ( )
9,81
S м
22
40 sin 60
70,63 ( )
2 9,81
H м
2
22
40 cos 60 40sin60 9,81 0,5
2
9,81 0,5
40sin60 0,5
2
h
— ? N — ?
а — ? b — ?
СИ
ν
1
= 300 об/мин
ν
2
= 180 об/мин
t = 1 мин
5 об/с
3 об/с
60 с
Рис. 3.4
Скорость ракеты через время t определяется векторной сум-
мой проекций скорости на оси ОХ и ОУ:
. (3.16)
Высота ракеты в указанный момент времени определяется со-
гласно уравнению (3.13):
. (3.17)
Подставляя числовые значения, заданные по условию задачи,
и проведя расчеты с размерностью величин, входящих в уравнения, мы находим соответствующие значения S, H, и h.
υ =
.
= 20,73 (м/с).
.
16,09 (м).
Ответ: S = 141,25 м, H = 70,63 м, = 20,73 м/с, h = 16,09 м.
Задача П.3.2
Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило свою частоту
вращения с 300 до 180 об/мин в течение 1-й минуты. С каким угловым ускорением двигалось колесо и сколько оборотов оно сделало за это время? Рассчитайте линейную скорость точки на
ободе колеса в начале и конце указанного времени. Радиус колеса — 0,5 м.
Решение
Движение колеса в данной
задаче можно
рассматривать
как криволинейное и рав-
19
нозамедленное. Угловое ускорение — это производная угловой
d
dt
21
t
2
21
21
2 2 2
tt
2
рад
с
R
R
а 1
2
R
b 2
2
1
с
22
2
ba
S
a
Ra
2 2 2 2 2 2 2
4 ( ) 2 ( )
2
b a b a
RR
S
R
2LR
скорости от времени
. Так как движение равнозамедлен-
ное (ε = const), то можно записать:
. (3.18)
Угловая скорость ω связана с частотой вращения соотноше-
нием:
. Подставим его в (3.18) и получим итоговое вы-
ражение для нахождения углового ускорения:
. (3.19)
Расчет по формуле (3.19) с подстановкой размерностей вели-
чин дает единицу измерения
.
Линейная скорость точки на ободе колеса связана с угловой
скоростью и радиусом колеса выражением:
. Используя
связь частоты с угловой скоростью, мы получаем:
Проверим размерность: [υ]
и
м = м/с.
. (3.20)
За время t точка проходит расстояние S, которое, согласно
уравнению равнопеременного движения, находится как:
Линейное и угловое ускорение связаны между собой через
радиус:
Используем выражения (3.20) и (3.22) и запишем (3.21) в виде:
За время, равное периоду обращения Т, точка проходит рас-
стояние
.
Число оборотов, сделанных за 1 мин, можно найти как
20
. (3.21)
. (3.22)
. (3.23)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]