Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение задач по механике. Учебное пособие
.pdf
Когда тело движется относительно жидкости или газа, на него
2
2
сопр х
F СS
1 1 2 2
SS
2
1
S
S
υ
1
— ?
р
1
— ?
h1, h2 — ?
СИ
υ
2
= 12 м/с
D = 2 м
d = 2 см
0,02 м
Рис. 14.2
действует со стороны среды сила лобового сопротивления, определяемая выражением:
, (14.9)
где С
— безразмерный коэффициент сопротивления. Для диска,
х
плоскость которого ориентирована перпендикулярно потоку,
С
= 1,32, для шара — Сх = 0,24, для каплевидной формы —
х
С
= 0,04, для легковых автомобилей в диапазоне —
х
С
= 0,29 0,35.
х
Примеры решения задач
Задача П.14.1
Вода подается в фонтан из большого цилиндрического бака
(рис. 14.2) и бьет из отверстия II—II со скоростью υ2 = 12 м/с.
Диаметр D бака равен 2 м, диаметр d сечения II—II равен 2 см.
Найдите: 1) скорость υ1 понижения воды в баке; 2) давление p1,
под которым вода подается в фонтан; 3) высоту h1 уровня воды
в баке и высоту h2 струи, выходящей из фонтана.
Решение
Проведем
сечение I—I
в баке на
уровне сечения II—II
фонтана (см.
рис. 14.2). Так как площадь S1 сечения I—I много больше площади S2
сечения II—II, то высоту h1 уровня воды
в баке можно считать для малого промежутка времени постоянной, а поток — установившимся. Для установившегося потока справедливо условие неразрывности струи
(14.2):
, откуда υ1 = υ
или
2
91
υ
d
D
2
4
1
0,02
12 12 10 ( / ).
2
мс
22
12
12
22
pp
22
21
1
22
p
2
2
1
2
p
2
1
3 2 2 2 2
кг м
кг м Н
p Па
м с м с м
2
3
1
1000 12
72 10 .
2
p Па
1
.
( g)
p
3
1
72 10
7,2 ( ).
1000 10
h м
= υ2(
1
)2. (14.10)
Подставив в равенство (14.10) значения заданных величин
и произведя вычисления, мы получим:
С такой же скоростью будет понижаться уровень в баке. Как
видно, эта скорость очень мала по сравнению со скоростью струи.
Давление p1, под которым вода подается в фонтан, найдем по
уравнению Бернулли (14.3). В случае горизонтальной трубки тока
оно имеет вид
. (14.11)
Так как p2 = 0 (под давлением подразумевается избыточное
над атмосферным давление), из уравнения (14.1) получим
. (14.13)
Так как υ
<< υ2, то из равенства (14.12) следует
1
.
Проведем проверку размерностей:
.
Подставим значения и проведем вычисления:
p1 = 72 кПа.
Высоту h1 уровня воды в баке найдем из соотношения
p1 = h1ρg, откуда h1 =
Произведем вычисления по этой формуле и найдем:
92
С помощью скорости υ
2
2
2
(2 )hg
Re
d
d
max
— ?
СИ
ρ
1
= 1,26 г/см3
Reкр = 0,5
ρ
св
= 11,3 г/см3
η = 1480 мПа с
1,26 103 кг/м
3
11,3 103 кг/м
3
1,48 Па с
Fа
Fт
Fтр
Рис. 14.3
, с которой вода выбрасывается фон-
2
таном, найдем высоту h2, на которую она будет выброшена из
(14.4):
= 7,2 (м).
Подчеркнем, что высота уровня воды в баке равна высоте, на
которую поднимается фонтан воды (по правилу сообщающихся
сосудов). Это замечание справедливо, если пренебречь сопротивлением воздуха.
Ответ: υ1 = 1,2 мм/с, р1 = 72 кПа, h1 = h2 = 7,2 м.
Задача П.14.2
В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определите
максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще
ламинарным. Движение считать установившимся.
Решение
Если в вязкой жидкости
движется тело, то вместе
с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу
слой жидкости. Этот слой
вследствие внутреннего трения увлекает за
собой и соседние слои. Возникающее при
этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости от
размеров, формы тела и его скорости. Характер движения зависит также от свойств
жидкости и определяется безразмерным
числом Рейнольдса.
Если тело, движущееся в жидкости,
имеет форму шара диаметром d, то число
Рейнольдса определяется по формуле (14.7):
а критическое значение этого числа Reкр = 0,5.
, (14.13)
93
Скорость υ выразим, исходя из следующих соображений.
3
1
,
6
т св
св
F gV
gd
3
1
6
1
gd
63
тр
F r d
т а тр
F F F
33
1
11
3.
66
св
d
gd gd
1
18
св
g
2
3
11
18 Re
()
св
d
g
2
3
max
11
18 Re
()
кр
св
d
g
На свинцовый шарик, падающий в глицерине, действуют три си-
лы (см. рис. 14.3):
1) сила тяжести шарика:
(14.14)
где ρ
— плотность свинца; V — объем шарика;
св
2) выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда:
где ρ
— плотность глицерина;
1
Fа = ρ1Vg =
, (14.15)
3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса
(14.8):
. (14.16)
При установившемся движении шарика в жидкости (υ = const)
сила тяжести шарика уравновешивается суммой выталкивающей
силы и силы внутреннего трения:
. Подставляя вы-
ражения для этих сил из (14.14) — (14.16), мы получаем:
Откуда
. (14.17)
Решая совместно уравнения (14.13) и (14.17) относительно d,
мы найдем
Максимальное значение диаметра d
.
, при котором движение
max
остается еще ламинарным, соответствует критическому значению
числа Рейнольдса Reкp. Поэтому
Проведем проверку размерностей:
94
.
2 2 2 2 2
33
max
3 3 2 2 2 3 3 2
2 2 2
3
3
3
3 3 5 2
( / )
/ ( / ) / ( ) / ( / ) /
( / )
.
/ ( / ) /
Па с кг м с с
d
кг м кг м м с м кг м кг м м с
кг м с с
мм
кг м кг м м с
Подставив сюда значения и произведя вычисления, мы полу-
2
3
3
max
33
18 1,48 0,5
5,38 10 ( )
1,26 10 (11,3 1,26) 10 10
d м
чаем:
Ответ: d
= 5,38 мм.
max
Аудиторные задачи
А.14.1. Определите глубину, на которую необходимо погрузить в воду воздушный пистолет калибра d = 7 мм, чтобы при нажатии на спусковой крючок выстрел не произошел. Длина ствола
пистолета l = 22 см, масса пули m = 7 г, а ее скорость в момент
вылета из ствола при выстреле в воздухе = 27 м/с.
А.14.2. В сосуд с ртутью и водой брошен стальной шарик. Какая часть объема шарика будет находиться в воде? Плотность
ртути — 13 600 кг/м3, плотность стали — 7800 кг/м3.
А.14.3. В широком цилиндрическом сосуде, наполненном водой до уровня 75 см, имеются два отверстия, через которые бьют
струи воды. Нижнее отверстие находится на высоте 25 см. На какой высоте находится верхнее отверстие, если обе струи пересекают горизонтальную плоскость, расположенную на уровне дна
сосуда, в одной точке?
А.14.4. По трубе сечением S = 4 см
углом, течет вода. С какой силой вода действует на трубу, если
ежесекундный расход воды Q = 2 кг/с?
А.14.5. Какое сопротивление оказывает воздушный поток, набегающий на автомобиль при скорости движения 144 км/ч, если
площадь лобовой поверхности — 3 м
сопротивления принять равным Cx = 0,6.
.
2
, изогнутой под прямым
2
? Коэффициент лобового
95
А.14.6. Через горизонтально расположенную трубу перемен-
ного сечения ежеминутно проходит вода объемом 2 м3. Определите разность уровней воды в манометрических трубках в местах
сечений диаметрами 0,3 и 0,1 м.
А.14.7. Определите скорость течения воды в широкой части
горизонтально расположенной трубы переменного сечения, если
радиус узкой части в 3 раза меньше радиуса широкой части,
а разность давлений в широкой и узкой частях трубы Р = 10 кПа.
А.14.8. Стеклянный шарик радиусом 0,5 мм падает в большом
сосуде с глицерином с установившейся скоростью 5 см/с. Найдите
вязкость глицерина, если плотность стекла — 2,7 ∙ 103 кг/м
3
, плот-
ность глицерина — 1,2 ∙ 103 кг/м3.
А.14.9. Вычислите максимальное значение скорости потока
воды в трубке диаметром 2 см, при котором течение будет оставаться ламинарным. Критическое значение числа Рейнольдса для
трубки приблизительно равно 3000.
Домашние задачи
Д.14.1. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью υ
= 2 м/с. Определите скорость υ2
1
нефти в узкой части трубы, если разность р давлений в ее широкой и узкой частях равна 6,65 кПа.
Д.14.2. Горизонтальный цилиндр насоса имеет диаметр
d1 = 20 см. В нем движется со скоростью υ1 = 1 м/с поршень, выталкивая воду через отверстие диаметром d
ростью υ
будет вытекать вода из отверстия? Каково будет избы-
2
= 2 см. С какой ско-
2
точное давление p воды в цилиндре?
Д.14.3. Давление р ветра на стену равно 200 Па. Определите
скорость υ ветра, если он дует перпендикулярно стене. Плотность
ρ воздуха равна 1,29 кг/м3.
Д.14.4. Струя воды диаметром d = 2 см, движущаяся со скоростью υ = 10 м/с, ударяется о неподвижную плоскую поверхность,
поставленную перпендикулярно струе. Найдите силу F давления
струи на поверхность, считая, что после удара о поверхность скорость частиц воды равна нулю.
96
Д.14.5. Бак высотой h = 1,5 мм наполнен до краев водой. На
расстоянии d = 1 м от верхнего края бака образовалось отверстие
малого диаметра. На каком расстоянии х от бака падает на пол
струя, вытекающая из отверстия?
97
Литература
1. Александров Н. В., Яшкин А. Я. Курс общей физики. Меха-
ника. — М. : Просвещение, 1978. — 416 с.
2. Бобров П. П. Основные понятия механики. — Омск : Изд-
во ОмГПИ, 1992. — 118 с.
3. Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу фи-
зики. — М. : Наука, 1990. — 400 с.
4. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. — М. : Высш.
шк., 2001. — 718 c.
5. Рымкевич А. П. Сборник задач по физике : для 9–11 кл.
сред. шк. — М. : Просвещение, 1996. — 224 с.
6. Савельев И. В. Курс общей физики : в 3-х т. — М. : Наука,
1970–2003.
7. Сборник задач по курсу общей физики / под ред.
М. С. Цедрика. — М. : Просвещение, 1989. — 271 с.
8. Физический энциклопедический словарь / гл. ред.
А. М. Прохоров. — М. : Сов. энциклопедия, 1983. — 927 с.
9. Чертов А. Г., Воробьев А. А. Задачник по физике. — М. :
Высш. шк, 1988. — 527 с.
98
Содержание
Занятие 1. Равномерное прямолинейное движение
3
Занятие 2. Прямолинейное равнопеременное движение.
Свободное падение
9
Занятие 3. Кинематика криволинейного движения
15
Занятие 4. Динамика прямолинейного движения
материальной точки и системы материальных точек
23
Занятие 5. Динамика движения материальной точки
по окружности
30
Занятие 6. Упругий и неупругий удары. Закон сохранения
импульса
36
Занятие 7. Закон сохранения энергии. Работа, мощность
40
Занятие 8. Кинематика вращательного движения твердого
тела
49
Занятие 9. Динамика вращательного движения твердого
тела. Расчет моментов инерции тел
56
Занятие 10. Статика
63
Занятие 11. Законы сохранения энергии и момента
импульса
70
Занятие 12. Кинематика и динамика механических
колебаний
75
Занятие 13. Механические волны. Акустика
82
Занятие 14. Механика жидкостей и газов
89
Литература
98
99
Научное издание
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО МЕХАНИКЕ
Учебное пособие
Составители:
Беляева Татьяна Алексеевна,
Красноухова Валентина Николаевна
Редактор Н. А. Кацай
Технический редактор Л. Л. Митюкова
Подписано в печать 11.10.2021. Формат 60×84/16.
Бумага офсетная. Печать оперативная.
Печ. л. 6,25. Уч.-изд. л. 5,27.
Тираж 50 экз. Заказ М-147
______________________________
Издательство ОмГПУ.
Отпечатано в типографии ОмГПУ,
Омск, наб. Тухачевского, 14, тел./факс: +7 (3812) 23-57-93
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]