Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математика и математические методы и модели в сервисной деятельности. Курс лекций
.pdf
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Естественнонаучные дисциплины»
И. Н. Пирогова
Е. Г. Филиппова
П. И. Гниломедов
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
В СЕРВИСНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
Курс лекций
для обучающихся по направлению подготовки
43.03.01 «Сервис» всех форм обучения
Екатеринбург
УрГУПС
2025
УДК 51
П33
Пирогова, И. Н.
П33 Прикладная математика и математические методы и модели в сервисной
деятельности : курс лекций / И. Н. Пирогова, Е. Г. Филиппова, П. И. Гниломедов. – Екатеринбург : УрГУПС, 2025. – 88 c.
Курс лекций предназначен для методического обеспечения дисциплины «При-
кладная математика и математические методы и модели в сервисной деятельности» для
студентов всех форм обучения, обучающихся по направлению подготовки 43.03.01
«Сервис». Соответствует ФГОС 3++, учебным планам ОП ВО направления подготовки
43.03.01 «Сервис».
УДК 51
Опубликовано по решению редакционно-издательского совета университета
Авторы:
И. Н. Пирогова, старший преподаватель кафедры «Естественнонаучные дисциплины»,
УрГУПС
Е. Г. Филиппова, старший преподаватель кафедры «Естественнонаучные дисциплины»,
УрГУПС
П. И. Гниломедов, доцент кафедры «Естественнонаучные дисциплины», канд. пед.
наук, УрГУПС
Рецензенты:
Г. А. Тимофеева, зав. кафедрой «Естественнонаучные дисциплины», д-р физ.-мат.
наук, профессор, УрГУПС
А. В. Мартыненко, доцент кафедры «Естественнонаучные дисциплины»,
канд. физ.-мат. наук, УрГУПС
Учебное издание
Пирогова Ирина Николаевна, Филиппова Елена Геннадьевна,
Гниломедов Павел Иванович
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
В СЕРВИСНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
Редактор С. В. Пилюгина
Подписано в печать 17.11.2025. Формат 60х84/16
Усл. печ. л. 5,1. Электронный вариант. Заказ 118
УрГУПС. 620034, Екатеринбург, Колмогорова, 66
© Уральский государственный университет
путей сообщения (УрГУПС), 2025
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .................................................................................................................... 4
1. Линейная алгебра ................................................................................................. 6
2. Векторная алгебра .............................................................................................. 11
3. Введение в математический анализ и дифференцирование .......................... 15
3.1. Основные элементарные функции ........................................................... 15
3.2. Теория пределов и непрерывность функции ........................................... 21
3.3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его
геометрический смысл .............................................................................. 24
3.4. Производные высших порядков .................................................................... 27
3.5. Вычисление пределов по правилу Лопиталя ............................................... 28
4. Задачи линейной оптимизации ......................................................................... 30
4.1. Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП .................................. 31
4.2. Двойственность в задачах линейного программирования
4.3. Транспортная задача линейного программирования ............................. 39
5. Оптимизационные задачи для функции двух переменных ........................... 51
6. Задачи прикладной математики ........................................................................ 56
6.1. Вероятность случайного события............................................................. 56
6.2. Основные формулы комбинаторики. Теоремы сложения и
умножения.................................................................................................. 58
6.3. Формула полной вероятности, формула Байеса. Независимые
повторные испытания. Формула Бернулли ............................................ 62
6.4. Системы массового обслуживания........................................................... 67
7. Основы математической статистики ................................................................ 74
7.1. Статистическая обработка опытных данных .......................................... 74
7.2. Регрессионный анализ ............................................................................... 77
7.3. Метод наименьших квадратов .................................................................. 79
Методические рекомендации по подготовке к сдаче экзамена (зачета) .......... 85
Библиографический список .................................................................................. 87
3
ВВЕДЕНИЕ
Учебный курс «Прикладная математика и математические методы и мо-
дели в сервисной деятельности» предназначен для студентов-бакалавров всех
форм обучения. Содержание данного курса ориентировано на применение математических методов к решению прикладных задач. В основу курса положены
классические и современные математические теории и практика, авторские
разработки коллектива кафедры «Высшая и прикладная математика» УрГУПС
(ныне кафедра «Естественнонаучные дисциплины»).
Цель изучения дисциплины: последовательное формирование математи-
ческой картины мира, определяющей общекультурные и профессиональные
компетенции.
Задачи изучения дисциплины:
– развить логическое и алгоритмическое мышления студентов;
– воспитать культуру применения математических и информационных
технологий для решения прикладных задач аналитическими и вычислительными методами;
– освоить математические методы исследования реальных процессов и
явлений.
Изучение дисциплины направлено на формирование общекультурных и
профессиональных компетенций.
Требования к результатам освоения дисциплины
(в соответствии с ФГОС подготовки бакалавра и ООП)
В результате изучения дисциплины студент должен:
1) знать свойства и методы исследования функций; методы дифференци-
ального исчисления; основы линейного программирования; основные способы
решения задач оптимизации для функции двух переменных, свойства случайных событий и случайных величин; основные понятия математической статистики, теории массового обслуживания;
2) уметь исследовать функции, строить их графики; решать задачи по
теории вероятностей случайных событий и случайных величин; решать задачи
оптимизации, проводить статистическую обработку данных, решать вопросы
корреляции двух величин.
4
3) владеть аппаратом дифференциального исчисления функций одной и
двух переменных; методами исследования функций; методами приближенных
вычислений, а также методами решения задач по теории вероятностей случайных событий и случайных величин, методами решения задач оптимизации и задач, связанных с теорией массового обслуживания.
5
1. Линейная алгебра
11 12 1
21 22 2
12
...
m
m
n n nm
a a a
a a a
A
a a a
11 12
, , ...,
nm
a a a
()
ij
Aaи ()
ij
Bb
ij ij
ab
λBA
λ
ij ij
ba
ij ij ij
c a b
C A B
1 1 2 2
...
ij i j i j im mj
с a b a b a b
1, 2,..., ;in
1,2,..., .jk
ij
a
ij
1 0 0
0 1 0
0 0 1
E
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из n строк
и m столбцов:
. Числа
называются элемен-
тами матрицы A. Размер матрицы обозначают (nm).
Квадратной матрицей порядка n называется матрица размера (nn).
Две матрицы
стоящие на соответствующих местах, равны, т. е.
Произведением матрицы А на числоλ называется матрица
менты которой равны
.
называются равными, если их элементы,
.
, эле-
Суммой двух матриц А и В размера (nm) называется матрица С размера
(nm) такая, что
.
Если А – матрица размера (nm), а В – матрица размера (mk), т. е. число
столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведением этих матриц называется матрица
размера (nk), каждый элемент которой ра-
вен
Матрица, содержащая один столбец, называется матрицей-столбцом, а
матрица, содержащая одну строку – матрицей-строкой.
Элементы матрицы
(т. е.
), называются диагональными и образуют главную диагональ матри-
цы.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее недиагональ-
ные элементы равны нулю.
Диагональная матрица называется единичной, если все ее диагональные
элементы равны единице, т. е. матрица имеет вид
, где
, у которых номер строки равен номеру столбца
.
6
Каждой квадратной матрице А порядка n можно поставить в соответствие
11 12
21 22
,
aa
aa
11 12
11 22 21 12
21 22
.
aa
a a a a
aa
11 12
,aa
21 22
,aa
11 21
,aa
12 22
,aa
11 22
,aa
21 12
,aa
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13
31 32 33
13 22 31 23 32 11 21 12 33
.
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a a a
11 22 33
,,a a a
13 22 31
,,a a a
произведения элементов
матрицы, стоящих на побочной
диагонали, а также образующих
равнобедренные треугольники,
основания которых параллельны
побочной диагонали
произведения элементов
матрицы, стоящих на главной
диагонали, а также образующих
равнобедренные треугольники,
основания которых параллельны
главной диагонали
число, называемое ее определителем и обозначаемое A. Определитель первого
порядка матрицы (а11) – это само число а11. Определитель второго порядка, со-
ответствующий матрице
называется число, вычисленное следую-
щим образом
Элементы
рую строку,
ную диагональ,
образуют первую строку определителя,
– первый столбец,
– побочную диагональ.
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице А – это число,
вычисленное по правилу треугольника
Элементы
образуют главную диагональ определителя третьего
– вто-
– второй столбец,
– глав-
порядка, а элементы
– его побочную диагональ. Первые три слагае-
мые – это произведения элементов матрицы, стоящих на главной диагонали и в
вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны
главной диагонали. Следующие три слагаемые – произведения элементов матрицы, стоящих на побочной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали, взятые со
знаком минус.
Схематическая запись этого правила выглядит так.
7
Определитель можно вычислить, разложив его по элементам какой-либо
ij
M
ij
a
ij
A
ij
a
( 1)
ij
ij ij
AM
11 12 13
22 23 21 23
1 1 1 2
21 22 23 11 11 12 12 13 13 11 12
32 33 31 33
31 32 33
( 1) ( 1)
a a a
a a a a
a a a a A a A a A a a
a a a a
a a a
21 22
13
13
31 32
( 1)
aa
a
aa
22 23 21 23
21 22
11 12 13
31 32
32 33 31 33
a a a a
aa
a a a
aa
a a a a
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... ,
... ,
...........................................
... ,
nn
nn
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
, 1,2, , , 1,2, , ,
ij
a i m j n
i
b
j
x
12
, , ,
n
x x x
строки (столбца). Рассмотрим понятия минора и алгебраического дополнения.
Минором
, соответствующим элементу
, называется определитель, полу-
ченный из данного определителя вычеркиванием из него i-той строки и j-того
столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Алгебраическим дополнением
элемента
называется число, определяемое равенством
.
Разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки
можно представить
.
Аналогично можно выполнить разложение по элементам любой другой
строки или столбца.
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравне-
ний и n неизвестных, называется система вида
где числа
числа
– свободными членами,
называются коэффициентами системы,
– неизвестные системы.
Решением системы называется n значений неизвестных
при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равен-
ства.
Система может иметь единственное решение, бесконечное множество
,
решений или не иметь решений. Система уравнений называется совместной,
если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни
одного решения.
8
Обозначим
11 12 1
21 22 2
12
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
1
2
...
m
b
b
B
b
1
2
...
n
x
x
X
x
A
0
12
12
, ,..., ,
n
n
x x x
ii
A
i
A
0 A
1
A
EAAAA
11
.A X B
1A
BAXAA
11
BAXE
1
BAX
1
– матрица, составленная из коэффи-
циентов при неизвестных – основная матрица системы;
столбец свободных членов;
– вектор-столбец неизвестных.
– вектор-
Пусть число уравнений равно числу неизвестных, т. е. n = m, тогда матрица А коэффициентов при неизвестных – квадратная. Ее определитель
называется главным определителем системы.
Справедливо утверждение: если главный определитель системы
, то
система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Кра-
мера
где
, а матрица
получена из основ-
ной матрицы системы А заменой i-того столбца на столбец свободных членов.
Рассмотрим матричный способ решения систем уравнений.
Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель
не равен нулю, т. е.
ная матрица
которая удовлетворяет условию
единичная матрица.
Систему, приведенную в начале параграфа, можно представить в виде
матричного уравнения
Чтобы из данного уравнения найти матрицу Х, умножим обе части урав-
нения слева на матрицу
.
. В этом случае для матрицы А существует обрат-
, где Е –
. Получим
9
;
;
Обратная матрица имеет вид
11 21 1
12 22 2
1
12
...
1
n
n
n n nn
A A A
A A A
A
A A A
ij
A
ij
a
ij
a
1 2 3
4, 2, 1x x x
, где
– алгеб-
раическое дополнение элемента
матрицы А. Эти алгебраические дополнения
занимают место, симметричное положению элемента
тельно главной диагонали.
Очевидно, что
, т. е. результат решения совпадает с
ответом, полученным по формулам Крамера.
Вопросы:
1. Понятие матрицы.
2. Основные виды матриц.
3. Основные операции над матрицами.
4. Понятие определителя.
5. Правило вычисления определителя второго порядка.
6. Правило вычисления определителей третьего порядка.
7. Понятие решения системы линейных уравнений.
в матрице А относи-
8. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.
9. Какая матрица называется вырожденной?
10. Метод решения систем матричным способом.
11. Понятие обратной матрицы.
12. Формулы для вычисления обратной матрицы.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]