Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математика и математические методы и модели в сервисной деятельности. Курс лекций
.pdf
5. Оптимизационные задачи для функции двух переменных
);( yxfz
);( yxfz
);( yxfz
Oxyz
0),(),( yxfyxf
0),(),(log yxfyxf
a
0),(
),(
1
yxf
yxf
);( yxfz
);( yxfz
yx,
zyxfyxxf
x
);();(
0000
);(
000
yxP
Переменная zназывается функцией двух переменных x и y, если каждой
упорядоченной паре чисел (x; y) из некоторого множества пар D по определенному правилу поставлено в соответствие единственное значение переменной z.
При этом переменные x и y называются независимыми переменными (или аргументами), а переменная z – функцией. Обозначение функциональной зависимо-
сти между x, y и z имеет вид
Графиком функции
.
двух переменных называется множество
точек пространства, координаты которых имеют вид (x; y; z), где x – абсцисса,
y – ордината,
В прямоугольной декартовой системе координат
– аппликата.
графиком является
в общем случае поверхность.
Множество всех пар называется областью определения функции, а
множество значений, принимаемых z в области определения, называется мно-
жеством значений функции.
Некоторые условия нахождения области определения функции:
;
;
.
Линии на плоскости Оху вида f(x; y) = С называются линиями уровня
функции двух переменных
.
Построение линий уровня, соответствующих различным значениям по-
стоянной величины С, позволяет увидеть характер поверхности, заданной исследуемой функцией.
Сгущение линий уровня означает более быстрое изменение значений
функции. Редкое расположение линий уровня характеризует пологую поверхность (значения функции изменяются медленно).
Линии равных высот на физической карте – это пример линий уровня.
Дифференцирование функции
Разность называется частным прира-
щением по переменной х функции
51
в точке .
Аналогично определяется частное приращение по переменной y
);( yxfz
),(),( yxfyyxxfz
);( yxfz
yBxAdz
dy
y
z
dx
x
z
dz
yxyxz ln),(
x
z
y
z
.
22
1
2
111
ln
xyxxyx
yx
x
yx
yx
x
z
x
.
22
1
2
111
ln
yxyyyx
yx
y
yx
yx
y
z
y
);();(
0000
yxfyyxfz
y
x
z
x
z
x
x
0
lim
y
z
y
z
y
y
0
lim
yxyx
ffzz
,,,
.
Предел отношения частного приращения функции к вызвавшему его при-
ращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, называет-
ся частной производной функции
по этому аргументу ,
.
Используются также обозначения .
Приращение функции
ращением функции
.
называют полным при-
Главная, линейная относительно ∆х и ∆у часть полного приращения
функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz.
. Можно доказать, что
.
Частная производная функции двух переменных по переменной х пред-
ставляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при
фиксированном значении у, поэтому ее находят по правилам вычисления производных функций одной переменной (аналогично рассматривается и частная
производная по переменной у).
Примеры
1. Найти частные производные функции двух переменных
.
Решение
Вычислим частные производные
и
:
52
Частные производные второго порядка
);( yxfz
);( yxfz
x
z
x
xxxx
);( yxfz
x
z
y
xyxy
);( yxfz
y
z
x
yxyx
);( yxfz
y
z
y
yyyy
xy
z
yx
z
xy
z
yx
z
yxyyxyxyxz 23),(
224
x
z
y
z
yxyyxyxyyxyx
x
z
x
32423
23224
23223
24224
xxyxyxyyxyx
y
z
y
yyxyxyyx
x
z
xx
212324
2223
328324
323
xyxyxyyx
y
z
xy
Частная производная от частной производной функции
назы-
вается частной производной второго порядка. Приняты следующие обозначения для частных производных второго порядка:
– функция дифференцируется по х последова-
тельно два раза;
– функция сначала дифференцируется по х, а ре-
зультат затем дифференцируется по у;
– функция сначала дифференцируется по у, а ре-
зультат затем дифференцируется по х;
– функция дифференцируется по у последова-
тельно два раза.
Частные производные второго порядка
и
производные) не зависят от порядка дифференцирования
что они непрерывны.
Пример
1. Найти частные производные второго порядка от функции
.
Решение
Первоначально находим частные производные
и
(смешанные частные
=
при условии,
,
.
Последовательно находим частные производные второго порядка
,
,
53
328232
324
xyxxxyx
x
z
yx
,
424
2232 xxxyx
y
z
yy
xy
z
yx
z
);( yxP
);( yxfz
0,0
y
z
x
z
),( yxfz
);(00yxz
xx
);(00yxz
xy
);(00yxz
yy
0
);();(
);();(
0000
0000
yxzyxz
yxzyxz
yyxy
xyxx
),( yxfz
0);(
00
yxz
xx
0);(
00
yxz
xx
);(
000
yxP
);( yxfz
);(
000
yxfz
);(
000
yxP
),(),(
00
yxfyxf
);(
000
yxP
);(
000
yxfz
);( yxP
);(
000
yxP
),(),(
00
yxfyxf
);( yxfz
);( yxfz
);(00yx
);(00yx
.
На данном примере видно, что
=
, поэтому в дальнейшем достаточ-
но вместо двух найти только одну смешанную частную производную второго
порядка.
Экстремумы функции
Точка называется точкой максимума функции , а
значение функции в ней – максимумом, если существует такая
окрестность этой точки, что для всех точек
из этой окрестности, от-
личных от , выполняется неравенство .
Точка называется точкой минимума функции
, а зна-
чение функции в ней – минимумом, если существует такая
окрестность этой точки, что для всех точек из этой окрестности, от-
личных от , выполняется неравенство . Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума функции.
Точка, в которой обе частные производные равны нулю, т. е.
, называется стационарной точкой функции .
Пусть
дифференцируема по x и по yв области определения,
тогда равенство частных производных нулю является необходимым условием
экстремума функции двух переменных.
Теорема (достаточное условие экстремума)
Функция двух переменных имеет экстремум в стационарной
точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, имеет
в этой точке непрерывные частные производные второго порядка
,
частных производных положителен
Точка экстремума функции двух переменных
, и определитель второго порядка, составленный из этих
.
будет
,
точкой максимума, если
, и точкой минимума, если
54
.
Если
0
);();(
);();(
0000
0000
yxzyxz
yxzyxz
yyxy
xyxx
),( yxfz
0
);();(
);();(
0000
0000
yxzyxz
yxzyxz
yyxy
xyxx
z
x
z
y
z
.0
,0
y
x
z
z
xx
z
yy
z
xy
z
xx
z
yy
z
xy
z
);(00yx
);();(
);();(
0000
0000
yxzyxz
yxzyxz
yyxy
xyxx
(x0; y0) не имеет.
, то функция
экстремума в точке
Если
остается открытым.
Схема исследования функции
1. Нахождение стационарных точек:
1.1. Найти частные производные
1.2. Решить систему уравнений
2. Проверить условия теоремы о достаточном условии экстремума в
каждой стационарной точке:
2.1. Найти частные производные второго порядка
z(x; y).
2.2. Определить значения частных производных второго порядка
, то вопрос об экстремуме в точке (x0; y0)
(x; y) на экстремум
и
функции z(x; y).
,
,
функции
,
,
в стационарной точке
2.3. Вычислить определитель
.
.
2.4. Сделать вывод о наличии или отсутствии экстремума в каждой точке,
выяснить, максимум или минимум в точке экстремума и найти значение функции в них.
Вопросы:
1. Понятие функции двух переменных.
2. Область определения. Определение, примеры.
3. Линии уровня. Определение, примеры.
4. Частные производные. Определение, примеры.
5. Производные второго порядка. Определение, примеры.
6. Экстремум функции двух переменных.
7. Необходимое условие экстремума.
8. Достаточное условие экстремума.
55
6. Задачи прикладной математики
n
ААА ,...,,
21
n
ААА ,...,,
21
n
m
AP )(
6.1. Вероятность случайного события
Под событием понимается любой исход данного опыта. Событие называ-
ется достоверным, если оно в данном опыте обязательно произойдет, и невоз-
можным, если оно в результате данного опыта не может произойти.
Событие называется случайным, если в результате данного опыта оно
может произойти или не произойти.
Два события называются несовместными, если в результате данного опы-
та они не могут произойти одновременно. События
называют по-
парно несовместными, если несовместны любые два из них.
Попарно несовместные события
образуют полную группу, если
в результате данного опыта обязательно произойдет одно из них.
События называются равновозможными, если ни одно из них не является
более возможным, чем другое.
Итак, возможность наступления случайного события зависит от условий,
в которых оно рассматривается. Например, возможность наступления события
«в мае в городе пойдет снег» зависит от того, где расположен город. Так, на севере, в Мурманске, в мае снег выпадает часто – это очень вероятное событие. А
на юге, например, в Сочи, в мае снег почти никогда не выпадает – это событие
мало возможно.
Определение. Вероятностью события А называют отношение числа бла-
гоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак,
вероятность события А определяется формулой
, где n – общее число
исходов данного опыта, а m – число исходов, благоприятствующих событию А.
Подсчет вероятности событий широко используется в физике, биологии,
социологии, в экономике и политике, в спорте и повседневной жизни каждого
человека.
56
Пример
24
1
1. На экзамене – 24 билета. Андрей не разобрался в одном билете и
очень боится его вытянуть. Какова вероятность того, что Андрею достанется
несчастливый билет?
Решение
Событие А – достался несчастливый билет. Всего у данного опыта «до-
стали наугад один билет» – 24 исхода, все они равновероятны. У Андрея один
шанс из 24 вытянуть несчастливый билет, поэтому вероятность того, что ему
достанется несчастливый билет, равна
.
Основные свойства вероятности:
1. Вероятность случайного события является неотрицательным числом,
меньшим или равным единицы 0 Р(А) 1.
2. Вероятность достоверного события равна единице.
3. Вероятность невозможного события равно нулю.
При решении задач по теории вероятностей часто используются формулы
комбинаторики. Рассмотрим некоторые из них.
Справедлив следующий принцип комбинаторики, называемый «правилом
суммы».
Если действие А можно выполнить N способами, а действие В можно
выполнить M способами (не такими, как А), то какое-либо из них (или А, или В)
можно выполнить (N + M) способами.
Пример
2. Пассажир может сесть или в первый вагон на одно из 5 свободных
мест, или во второй вагон на одно из 3 свободных мест. Сколько возможностей
размещения в поезде есть у пассажира?
Решение
За действие А обозначим посадку в первый вагон, оно может быть выполнено пятью способами. За действие В обозначим посадку во второй вагон, оно
может быть выполнено тремя способами. За действие С обозначим посадку в
поезд. Пассажир может сесть или в первый вагон, или во второй, т. е. должно
выполняться или действие А, или действие В. Следовательно, С = А + В. Таким образом, у пассажира есть 5 + 3 = 8 возможностей чтобы разместиться в
поезде.
57
Следующий принцип в комбинаторике носит название «правило произве-
mn
n ...321
дения». Это правило, как и правило суммы, распространяется на любое конечное число множителей. Мы сформулируем его только для двух множителей.
Пусть необходимо выполнить одно за другим какие-то два действия А
и В, причем действие А может быть выполнено n способами, а действие В –
m способами. Тогда оба действия (и А, и В) могут быть выполнены (
) спо-
собами.
Пример
3. Сколько среди чисел от 1 до 100 таких, которые делятся хотя бы на
одно из чисел: 2, 3?
Решение
Пусть n1 – число чисел от 1 до 100, делящихся на 2; n2 – число чисел от 1
до 100, делящихся на 3; n12 – число чисел от 1 до 100, делящихся на 2 и на 3, и n
– число чисел, которые делятся хотя бы на одно из чисел: 2, 3. Очевидно, что n
1
= 50 (каждое второе по счету число четное, т. е. делится на 2), n2 = 33 (каждое
третье по счету число делится на 3), n
лится на 6). Значит, n = n1 + n2 – n
12
= 16 (каждое шестое по счету число де-
12
= 50 + 33 – 16 = 67.
Вопросы:
1. Понятие события, случая, опыта.
2. Какие виды событий бывают?
3. Понятие полной группы событий.
4. Понятие вероятности.
5. Перечислите основные свойства вероятности.
6. Понятие принципа суммы и принципа произведения в комбинаторике.
6.2. Основные формулы комбинаторики. Теоремы сложения
и умножения
Факториалом называют часто встречающуюся в практике функцию,
определенную для целых неотрицательных чисел. Название функции произошло от английского математического термина factor – «сомножитель». В общем
случае, т. е. для произведения
принято обозначение n! (читается «эн
– факториал»).
58
Определение. Для каждого целого положительного числа n функция n!
)1)...(2)(1( knnnnA
k
n
)!(
!knn
A
k
n
m
n
А
m
n
А
!nPn
nn ...321!
!
!!
k
n
n
С
k n k
равна произведению всех целых чисел от 1 до n.
Принято считать: 0! = 1.
Пусть дано конечное множество, состоящее из n различных элементов.
какой природы), называются соединениями. Сами объекты называются элемен-
тами соединения.
Определение. Размещениями из n элементов по k в каждом называются
такие соединения, каждое из которых содержит k элементов, взятых из числа n
данных элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число всех возможных размещений из n
элементов по k в каждом может быть найдено по формуле
или
.
Определение. Упорядоченный набор, состоящий из m элементов, выбран-
ных из данного множества, которые могут повторяться, называется размещени-
ем с повторением из n элементов по m.
Число размещений из n элементов по m обозначается
(черта ставит-
ся, чтобы отличить их от размещений без повторений).
Число размещений с повторениями равно
= nm.
Определение. Перестановками из n элементов называются такие соеди-
нения, каждое из которых содержит все n элементов, они отличаются друг от
друга лишь порядком расположения элементов. Число всех возможных пере-
становок из n элементов можно найти по формуле
, где
.
Замечание. Для дальнейшего удобно считать, что пустое множество мож-
но упорядочить только одним способом, т. е. P0 = 0! = 1.
кие соединения, каждое из которых содержит k элементов, взятых из числа n
данных элементов, и отличаются друг от друга, по крайне мере, одним элементом (порядок расположения элементов безразличен). Число сочетаний изnэле-
ментов по k в каждом может быть найдено по формуле
мул комбинаторики.
Определение. Сочетаниями из n элементов по k в каждом называются та-
Приведем пример задачи по теории вероятностей с использованием фор-
59
Пример
4
15
15! 15!
7 13 15 1365
4!(15 4)! 4!11!
n С
2
10
Сm
2
5
10! 5!
450
2!(10 2)! 2!(5 2)!
С
33,0
1365
450
)(
n
m
АР
В урне 15 шаров. Из них 5 белых и 10 синих. Взяли четыре шара. Какова
вероятность того, что среди них два белых и два синих шара?
Решение
Пусть событие А – из урны взяли 2 белых и 2 синих шара. Общее число
случаев равно
. Число благопри-
ятных случаев по правилу произведения с использованием формул сочетаний
равно
равна
.
. Тогда вероятность события А
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Определение. Суммой двух событий А и В называется событие С, заклю-
чающееся в том, что происходит либо событие А или В или оба события.
Если событие С является суммой событий А и В, то пишут С = А + В.
Теорема сложения. Вероятность суммы двух несовместных событий А и
В равна сумме их вероятностей Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Определение. Пусть А – некоторое событие. Тогда событие, состоящее в
том, что А не происходит, называется событием, противоположным А и обо-
значается А.
Следствие. Сумма вероятности двух противоположных событий равна
единице Р(А) + Р(А) = 1.
Теоремы умножения
Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что со-
бытие А произошло, называется условной вероятностью события В.
Это записывается так: Р(В/А) или РА(В).
Определение. Произведением двух событий А и В называется событие С,
состоящее в том, что произошло событие С: и событие А, и событие В.
Если событие C является произведением событий А и В, то пишут С =
А
В, или С = АВ. Таким образом, событие АВ равносильно событию «А и В».
Заметим, что из определения произведения двух событий А и В следует,
что события АВ и ВА равносильны, иными словами, произведение событий обладает переместительным свойством.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]