Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математика и математические методы и модели в сервисной деятельности. Курс лекций
.pdf
5
3
S1
5
1
6
1
3
2
8
3
6
1
5
1
8
3
4
1
S3
S2
.
4
1
8
3
8
3
6
1
3
2
6
1
5
1
5
1
5
3
P
112 PPP
1P
1P
5
1
480
201
160
61
360
67
720
389
720
197
600
122
600
197
600
281
4
1
8
3
8
3
6
1
3
2
6
1
5
1
5
1
5
3
4
1
8
3
8
3
6
1
3
2
6
1
5
1
5
1
5
3
2P
S
2
S
1
6
1
1
21
p
720
197
2
21
p
5,0)0(;3,0)0(;2,0)0(
321
PPP
5,0;3,0;2,0)0( Q
.
400
86
;
400
171
;
400
143
4
1
8
3
8
3
6
1
3
2
6
1
5
1
5
1
5
3
5,0;3,0;2,01
Q
По графу видно, что все состояния системы существенны, поэтому цепь
регулярна. Запишем матрицу вероятностей переходов за один шаг
2. Найдем матрицу вероятностей переходов за два шага
матрица вероятностей переходов за один шаг, т. е.
= P, тогда
, где
.
Заметим, что вероятность перехода из состояния
один шаг
3. По условию задачи
, а за два шага
, т. е. она увеличилась.
в состояние
, т. е.
за
. Найдем распределение вероятностей состояний за один и за
два шага, Q(1)
71
4. По формулам (4) найдем стационарное распределение вероятностей
1 2 3 1 2 3
3 1 1
5 5 5
1 2 1
, , , ,
6 3 6
3 3 1
8 8 4
p p p p p p
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
3 1 3
5 6 8
1 2 3
5 3 8
1 1 1
5 6 4
p p p p
p p p p
p p p p
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1 3
0
5 6 8
1 1 3
0
5 3 8
1 1 3
0.
5 6 4
p p p
p p p
p p p
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1 3
0,
5 6 8
1 1 3
0,
5 3 8
1.
p p p
p p p
p p p
15 18 8
стац
41 41 41
; ; .Q
.
41
8
~
;
41
18
~
;
41
15
~
321
ppp
p p p
1 2 3
1
,
или в координатной форме
.
После приведения подобных членов получим
Третье уравнение этой системы является линейной комбинацией первых
двух. Его можно отбросить и добавить к полученной системе условие нормировки, получим
Тогда
5. Марковская цепь регулярна, поэтому предельные вероятности суще-
ствуют и совпадают со стационарными. Получим
дом шаге, но сумма
Можно заметить, что вероятности всех трех состояний меняются на каж-
остается неизменной.
72
Вопросы:
1. Понятие марковского процесса.
2. Понятие марковской цепи с дискретным временем и конечным чис-
лом состояний.
3. Понятие начального распределения вероятностей марковской цепи.
4. Понятие вероятности перехода на k-м шаге.
5. Какая марковская цепь называется однородной?
6. Записать матрицу перехода вероятностей за один шаг.
7. Понятие размеченного графа состояний.
8. Определение существенного и несущественного состояний.
9. Понятие регулярной марковской цепи.
10. Понятие эргодической системы.
73
7. Основы математической статистики
n
n
w
i
i
n
i
i
nn
1
)(* xF
xX
)()(*
*
xXPxF
h
n
i
h
w
i
в
x
k
i
iiв
nx
n
x
1
1
7.1. Статистическая обработка опытных данных
Совокупность всех подлежащих изучению объектов называется генеральной совокупностью. Выборочной совокупностью (выборкой) называется сово-
купность объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.
Число объектов совокупности (выборочной или генеральной) называется
ее объемом.
Операция расположения значений случайной величины по возрастанию
(не убыванию) называется ранжированием статистических данных. Полученная таким образом последовательность значений случайной величины Х называется вариационным рядом. Сами значения x
случайной величины называют-
i
ся вариантами.
Числа ni, показывающие сколько раз встречаются варианты xi в ряде,
называются частотами, а их отношение к объему выборки – относительными
частотами
, где
.
Перечень вариантов и соответствующих им частот или относительных
частот называется статистическим рядом.
Эмпирической функцией распределения называется функция
определяющая для каждого значения xотносительную частоту события
:
.
Гистограммой частот (относительных частот) называется фигура, со-
стоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интер-
валы h, а высоты равны отношению
– плотность частоты (или
– плотность
,
относительной частоты). Очевидно, что площадь гистограммы частот равна
объему выборки, а площадь гистограммы относительных частот равна 1.
Выборочной средней
ний выборки
называется среднее арифметическое всех значе-
.
74
Выборочной дисперсий
в
D
k
i
k
i
iвiiвiв
wxxnxx
n
D
1
22
)()(
1
e
M *
n
xxx ,...,,
21
e
M *
1k
x
e
M *
2
1
kk
xx
*)(M
21
*,*
называется среднее арифметическое квадратов
отклонений значений выборки от выборочной средней
.
Модой М
* вариационного ряда называется варианта, имеющая
наибольшую частоту.
Медианой
на середину ряда
вариационного ряда называется значение, приходящееся
. Если n = 2k + 1, то
.
Оценка *параметра называется несмещенной, если
тивном случае оценка называется смещенной.
Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами – концами интервала.
Интервал
параметра
, называется доверительным интервалом, а вероятность –
, накрывающий с вероятностью истинной значение
надежностью оценки или доверительной вероятностью.
Статистическая гипотеза – это предположение
, если n = 2k, то
, в про-
– о виде предполагаемого распределения признака;
– предполагаемой величине параметра одного известного распределения
(0 = );
– равенстве параметров двух или нескольких распределений;
– независимости выборок.
Наряду с основной гипотезой рассматривают альтернативную (противоречащую ей) гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то следует
принять альтернативную.
Основную гипотезу еще называют нулевой, обозначают H0.
Альтернативную гипотезу обозначают H1.
P(H0) + P(H1) = 1.
Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение
(0 = ).
Сложной называют гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного
числа простых гипотез (0 > ).
потеза.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная ги-
75
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная ги-
потеза.
Замечание. Последствия этих ошибок различны. Правильные решения
тоже различаются: принята правильная гипотеза или отвергнута неправильная
гипотеза.
Вероятность совершить ошибку 1 рода называется уровнем значимости
= P(H1|H0).
Вероятность отвергнуть неверную гипотезу называется мощностью критерия
1– = P(H1|H1).
Статистическим критерием называют случайную величину K, которая
служит для проверки нулевой гипотезы.
Наблюдаемым значением K
называют значение критерия, вычисленно-
набл
го по выборке (выборкам).
Замечание. Для разных гипотез конструируются разные критерии, главное – чтобы был известен закон распределения критерия.
Критической областью называют совокупность значений критерия, при
которых нулевую гипотезу отвергают.
Областью принятия гипотезы называют совокупность значений крите-
рия, при которых нулевую гипотезу принимают.
Если наблюдаемое значение K
принадлежит критической области,
набл
гипотезу отвергают, если принадлежит области принятия гипотезы –
гипотезу принимают.
Критическими точками kкр называют точки, отделяющие критическую
область от области принятия решений.
В распределении выбираем те значения, у которых малая вероятность.
Критерий для альтернативной гипотезы.
Правосторонняя критическая область K > kкр (k
Левосторонняя критическая область K < kкр (возможно, k
Двусторонняя критическая область K < k1, K > k2 (k1 < k2).
> 0).
кр
кр
< 0).
Если критические точки симметричны относительно нуля, то |K| > kкр.
Вопросы:
1. Чем статистическая совокупность отличается от выборки?
2. Что такое гистограмма?
3. Перечислите основные числовые характеристики выборки.
76
4. Что такое статистическая гипотеза, какие их виды вы знаете?
),( YX
),( yx
),( YXM
xOy
X Y
1
x
2
x
……
i
x
…..
n
x
1
y
);(11yxp
);(12yxp
…..
);(1yxp
i
……
);(1yxp
n
);(21yxp
);(22yxp
…..
);(2yxp
i
…..
);(2yxp
n
…..
…..
…..
…..
…..
…..
…..
);(
1 j
yxp
);(
2 j
yxp
…..
);(jiyxp
…..
);(jnyxp
…...
…..
…..
…..
…..
…..
…..
m
y
);(
1 m
yxp
);(
2 m
yxp
…..
);(miyxp
…..
);(mnyxp
2
y
j
y
5. Что называют критическими точками?
7.2. Регрессионный анализ
Двумерной называют случайную величину
которой есть пары чисел
. Если рассматривать одновременно случайные
, возможные значения
величины X и Y, то они образуют систему двух случайных величин.
Двумерную случайную величину геометрически можно истолковать как
случайную точку
на плоскости
.
Примеры двумерной случайной величины:
1) станок-автомат штампует стальные плитки. Контролируемыми раз-
мерами являются длина X и ширина Y, образующие двумерную случайную
величину;
2) метеорологическая обстановка на определенный день характеризу-
ется температурой воздуха, давлением и влажностью, образующими трехмерную случайную величину;
3) при стрельбе фиксируется абсцисса X и ордината Y точки попада-
ния снаряда, которые также образуют двумерную случайную величину.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины
называют соответствие между возможными значениями случайных величин и
их вероятностями. Как правило, двумерная случайная величина задается в виде
таблицы.
77
Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной вели-
),();(
jiji
yYxXPyxp
mj
ni
ji
yxp
...1
...1
1),(
)(1xP
1
x
);(...);();()(
121111 m
yxpyxpyxpxP
)(ixP
i
x
)(jyP
j
y
X
xy
);( YX
μ ( ) ( ) ( )
xy
M X Y M X M Y
yx
xy
xy
r
11
xy
r
Y
чины X, а первый столбец – возможные значения случайной величины Y. На
пересечении этих возможных значений, т. е. j-той строки и i-того столбца, за-
писана соответствующая вероятность
. Все значения
вероятностей двумерной случайной величины удовлетворяют условию
.
Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти
закон распределения каждой из составляющих. Вероятность
случайная величина X примет значение
, равна
того, что
.
В общем случае, для того чтобы определить вероятность
просуммировать вероятности столбца
, следует просуммировать вероятности строки
. А для того чтобы найти вероятность
.
, следует
Одним из важных понятий теории вероятностей является понятие о независимых случайных величинах. Случайные величины X и Y называются неза-
висимыми, если закон распределения вероятностей каждой из них не зависит от
того, какое значение приняла другая случайная величина. В противном случае
и Y – зависимы. Для исследования зависимости между случайными вели-
чинами X и Y используется понятие корреляционного момента.
Корреляционным моментом
двумерной случайной величины
называется величина, находящаяся по формуле
. (1)
Коэффициентом корреляции величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений
этих величин
. (2)
Причем, справедливо
. Коэффициент корреляции служит для
оценки линейной связи между X и Y. Чем значение коэффициента корреляции
ближе к единице, тем линейная связь сильнее. Эта линейная связь междуX и
называется корреляционной и записывается в виде уравнения
78
σ
( ) ( ( ))
σ
y
xy
x
y M Y r x M X
. (3)
0
xy
0
xy
1
Уравнение (3) называется уравнением прямой линии регрессииYнаX.
Две случайные величины X и Y называются коррелированными, если их
корреляционный момент отличен от нуля, т. е.
ные величины называются некоррелированными, если
. И, наоборот, случай-
. Следует отме-
тить, что для независимых случайных величин корреляционный момент равен
нулю.
Вопросы:
1. Понятие случайной величины.
2. Понятие двумерной случайной величины (д. с. в).
3. Закон распределения д. с. в.
4. Понятие корреляционного момента д. с. в.
5. Понятие коэффициента корреляции и его свойства.
6. Уравнение линейной регрессии.
7. Понятие коррелированных и некоррелированных случайных величин.
Метод наименьших квадратов (МНК) – один из наиболее часто исполь-
зуемых методов при обработке эмпирических данных, построении и анализе
физических, биологических, технических, экономических и социальных моделей1.
С помощью МНК решают задачу выбора параметров функции (заранее
заданного вида) для приближенного описания зависимости величины у от величины х.
Пусть необходимо установить функциональную зависимость между двумя эмпирическими данными x и y, значения которых занесены в следующую
таблицу.
Первоначально МНК использовался для обработки результатов астрономических и геодезических наблюдений. Строгое математическое обоснование и установление границ содержа-
тельной применимости МНК даны А. А. Марковым и А. Н. Колмогоровым.
Впервые MНК был предложен К. Гауссом и А. Лежандром на рубеже 18–19 веков.
7.3. Метод наименьших квадратов
79
x
x1 x2 …
xi …
x
n
y
y1 y2 …
yi …
y
n
);(
ii
ух
)(xfy
bkxy
0)( bkxy
);(
11
ух
);(
22
ух
);(
nn
ух
)( bkxy
1 1 1
()δy kx b
2 2 2
()δy kx b
()δ
n n n
y kx b
1
δ
2
δ
δ
n
bkxy
Точки
Установим вид функции
координатной плоскости принято называть эксперимен-
по характеру расположения на коор-
динатной плоскости экспериментальных точек.
Если точки расположены так, как показано на рис.1, то разумно предположить, что между x и y существует линейная зависимость, выражающаяся
формулой
. (1)
Рассмотрим случай такой зависимости.
Рис. 1. Экспериментальные данные
Уравнение (1) можно представить в виде
.
Так как точки
,
, …,
не обязательно лежат на
одной прямой, то, подставляя вместо х и у значения координат этих точек в выражение
где
,
, …,
, получаем равенства
,
, …,
,
– некоторые числа, которые называют погрешностями (откло-
нениями, невязками).
Понятно, что чем меньше эти погрешности по абсолютной величине, тем
лучше прямая, задаваемая уравнением
, описывает зависимость
между экспериментально полученными значениями x и y.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]