Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математика и математические методы и модели в сервисной деятельности. Курс лекций
.pdf
4.1. Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
,
,
0, 1,2;
;
j
m m m
a x a x b
a x a x b
xj
a x a x b
(min).max)(
22110
xcxccХf
12
;n c c
0
2211
xcxc
n
max 1 2
;X x x
maxmax
Xff
maxmax
Xff
Пусть задана стандартная математическая модель задачи с двумя неизвестными
(1)
.
(2)
Нахождение решения этой модели на основе ее геометрической интерпретации включает следующие этапы:
1. В плоскости х1Ох2 строят прямые, уравнения которых получаются в ре-
зультате замены в ограничениях (1) модели знаков неравенств на знаки точных
равенств.
2. Находят полуплоскости, определенные каждым неравенством системы.
3. Находят выпуклый многоугольник решений всей системы (1).
4. Строят нормальный вектор целевой функции
совмещают с началом координат и строят прямую
5. Передвигают эту прямую в направлении вектора
, начало вектора
.
, в результате либо
находят вершину (или отрезок), в которой целевая функция принимает
наибольшее значение, либо устанавливают неограниченность сверху этой
функции на множестве допустимых решений.
6. Если функция ограничена, то определяют
значение функции в этой точке
.
вычисляют
При геометрической интерпретации задач ЛП могут встретиться случаи,
изображенные на рис. 58.
Рис. 5. Задача ЛП имеет единственное решение
.
вая функция достигает максимума на отрезке [М; N ].
Рис. 6. Задача ЛП имеет бесчисленное множество решений, так как целе-
31
ху.
i
S
i
b
3,2,1i
0
x
1
x
2
f(Х
max
)
0
x
1
x
2
f(Х
max
)
0
x
1
x
2
f(Х
max
) → ∞
0
x
1
x
2
Рис. 5 Рис. 6
Рис. 7. Задача ЛП не имеет решения, так как функция неограничена свер-
Рис. 8. Задача ЛП не имеет решения, так как система (1) несовместна.
Рис. 7 Рис. 8
Пример
Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три
вида сырья S1 , S2 , S3. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в табл. 1.
Решение
Прибыль от реализации одного изделия каждого вида равна с1и с2 , а общее количество сырья вида
равно
,
. Считая, что изделия А и В мо-
гут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), требуется соста-
32
вить такой план их выпуска, при котором прибыль предприятия от реализации
Сырье
А
В
Запасы
S
1
а
11
= 12
а
12
= 4
b1 = 300
S2 а
21
= 4
а
22
= 4
b2 = 120
S
3
а
31
= 3
а
32
= 12
b3 = 252
Прибыль
с
1
= 30
с
2
= 40
12
2
1
12
12 4 300,
4 4 120,
3 12 252, 0, 1,2.
j
xx
xx
x x x j
1 2 1 2
( ) 30 40 max, ,f Х x x X x x
12
12 4 300xx
1
25;0А
1
0;75B
12
4 4 120xx
2
30;0А
2
0;30B
12
3 12 252xx
3
84;0А
3
0;21B
12
30 40 0xx
30;40n
всех изделий будет максимальной.
Таблица 1
Решение. Обозначим через х1 и х2 количество изделий первого и второго
вида в плане предприятия. Поскольку производство продукции ограничено
только сырьем каждого типа Si, то получим условия
Переменные х1 и х2 не могут быть отрицательными по смыслу задачи.
Вычислим прибыль от реализации продукции и получим
Итак, мы получили стандартную модель с двумя переменными.
Решим задачу линейного программирования геометрически, придерживаясь плана, приведенного ранее.
1. Строим прямые l1, l2, l3 в плоскости х1Ох2 (рис. 9):
l1:
l2:
l3:
, по двум точкам
, по двум точкам
, по двум точкам
Обратимся к неравенствам (2.3). Отметим те полуплоскости, которые им
(3)
.
и
и
и
;
;
.
удовлетворяют. Учтем на чертеже неотрицательность переменных х1и х2, получим многоугольник ОВ3ЕСА1 решений данной системы неравенств (рис. 9).
2. Построим линию уровня прямую l:
тор
.
и нормальный век-
33
3. Передвигая линию уровня l в направлении вектора
n
12
1 2 1 2
4 4 120,
3 12 252, 12, 18.
xx
x x x x
12;18Е
max max max
12,18 , ( ) 1080.Х f f X
Е
x
2
x
1
10
20
304050
60
70
80
10
203040
50
60
708090
100
O
D
1
D
3
C
2
C
1
C
3
l
1
l
3
f(x)=0
l
2
F
l
•
•
•
•
•
• • •
D
2
, заметим, что в
точке Е целевая функция будет иметь наибольшее значение. Найдем координаты этой точки как координаты точки пересечения прямых l2 и l3, решая систему
соответствующих уравнений
Таким образом, точка
функции.
определяет наибольшее значение целевой
Рис. 9. Графическое решение системы
4. Найдем величину целевой функции, подставив найденные значения пе-
ременных, и запишем окончательный ответ
Наибольшая прибыль будет равна 1080 (у. е).
34
4.2. Двойственность в задачах линейного программирования
1
1
11 12 2 1
12
2
21 22 2
2
1
2
1
... ,
... ,
0, 1,2,... ;
... ;
j
n
n
n
n
m mn n m
m
a x a x а x b
a x a x а x b
x j n
a x a x а x b
.max...)(
2211
nn
xcxcxcXf
ininii
bxaxaxa ...
2211
0 ( 1, ... ).
i
y i m
....,2,1
,...
0
2211
mi
cyayaya
х
imimii
i
Построение двойственных моделей
Двойственная задача – это вспомогательная задача ЛП, формулируемая с
помощью определенного правила непосредственно из условия исходной задачи. Заметим, что для разных моделей исходной задачи правила построения
двойственных моделей отличаются.
Рассмотрим правило построения двойственной модели, если исходная задача задана в виде стандартной модели
(1)
(2)
Правило построения двойственной модели
1. Проверить, отвечает ли исходная модель двум требованиям:
а) все неравенства в системе (1) имеют одинаковый знак « » (или « »).
б) если целевая функция задачи ЛП максимизируется, то знак в неравен-
ствах должен быть «», а если целевая функция минимизируется, то знак должен быть «». В нашей модели это требование выполнено.
2. Каждому i-тому ограничению исходной задачи соответствует j-тое не-
известное в двойственной задаче: так, неравенству
соответствует
3. Каждому неизвестному исходной модели соответствует ограничение
двойственной модели. Матрица коэффициентов при неизвестных двойственной
задачи является транспонированной матрицей исходной задачи. Неравенства
ограничения имеют противоположный смысл неравенствам исходной задачи.
Правые части ограничений равны коэффициентам функции цели прямой задачи. Таким образом, для i-той переменной получим
35
4. Целевая функция двойственной модели
1 1 2 2
( ) ... ,
mm
q Y b y b y b y
( 1, )
i
y i m
11
( ) ... max.
nn
f Х c x c x
.min...)(
11
mm
ybуbYq
11 1 12 2 1 1
21 1 2 2
22 2
11
22
1
... ,
... ,
,
...
0,
0.
nn
nn
n
m mn m
m
n
a x a x a x b
a x a x b
ax
a x a x b
ax
x
x
1
2
1
11
21 2 1
1
1
1
22
0,
0
,
0
,
... ,
...
.
m
mm
n
n mn m n
y
y
y
y
a a y a y c
y
a
a y a y c
.max...)(
11
mm
ybуbYq
11
( ) ... min.
nn
f Х c x c x
11 1 12 2 1 1
21 1 2 2
22 2
11
22
1
... ,
... ,
,
...
0,
0.
nn
nn
n
m mn m
m
n
a x a x a x b
a x a x b
ax
a x a x b
ax
x
x
1
2
1
11
21 2 1
1
1
1
22
0,
0
,
0
,
... ,
...
.
m
mm
n
n
n mn m
y
y
y
y
a a y a y c
y
a
a y a y c
и решается задача минимизации. Запишем модели по соответствию
(3)
Такие модели задачи ЛП называются симметричными. Заметим, что в
симметричных задачах система ограничений как исходной, так и двойственной
задачи задается неравенствами, причем на двойственные переменные накладывается условие неотрицательности.
Если исходная задача ЛП − основная задача минимизации, то двойствен-
ная ей стандартная задача максимизации, при этом переменные второй задачи
могут иметь любой знак. Пара таких задач имеет вид:
(4)
36
Заметим, что для полученной двойственной модели можно также постро-
1
*
*
( ) 0, 1, 2,... .
m
j ij i j
i
x a y c j n
1
**
( ) 0, 1, 2,... .
n
i ij j i
j
y a x b i m
ить по тем же правилам двойственную модель, которая будет представлять исходную модель ЗЛП.
Теоремы двойственности
Существующие зависимости между решениями прямой и соответствую-
щей ей двойственной задачи определяются следующими основными теоремами
двойственности.
Теорема 1. Если X – любое опорное решение исходной задачи, а Y – лю-
бое опорное решение соответствующей ей двойственной задачи, то f(X) ≤ q(Y).
Теорема 2. Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное
решение, то и другая тоже имеет оптимальное решение, причем оптимальные
значения целевых функций равны между собой f(X
max
) = q(Y
min
).
Теорема 3. Если одна из взаимно двойственных моделей не имеет опти-
мального решения (например, целевая функция не ограничена), то и другая не
имеет допустимых решений, т. е. система ограничений в ней – несовместна в
области планов.
Теорема 4. Пусть одна из взаимно двойственных задач имеет оптималь-
ное решение. Тогда для неизвестных и ограничений выполняются следующие
условия:
1) если координата хj оптимального плана исходной модели строго положительна, то соответствующее ограничение выполняется при подстановке в него координат оптимального решения, как уравнение;
2) если при подстановке X
в какое-либо ограничение исходной задачи
опт
оно выполняется как строгое неравенство, то соответствующая ему переменная
у
равна нулю.
i
Теорема 5.Для того чтобы два допустимых решения Х* и Y* пары двой-
ственных задач были оптимальными решениями, необходимо и достаточно,
чтобы они удовлетворяли системе уравнений
Зная оптимальное решение одной из двойственных задач, можно, исполь-
зуя теоремы двойственности, найти оптимальное решение другой.
37
Пример. Вернемся к задаче, решение которой получено в разделе 4.1. По-
12
12
12
1
2
12 4 300,
4 4 120,
3 12 252,
0,
0,
xx
xx
xx
x
x
1
2
3
1 2 3
1 2 3
0,
0,
0,
12 4 3 30,
4 4 12 40,
y
y
y
y y y
y y y
12
( ) 30 40 max.f Х x x
1 2 3
( ) 300 120 252 min.qY у y y
max max
12,18 , 1080.X f X
min
1080qY
1 1 2 3
2 1 2 3
12 0 12 4 3 30,
18 0 4 4 12 40.
x y y y
x y y y
1
2
3
144 72 216 300 0,
48 72 120 120 0,
36 216 252 252 0,
y
y
y
1 2 3
1 2 3
1
12 4 3 30,
4 4 12 40,
0.
y y y
y y y
y
23
23
1
4 3 30,
4 12 40,
0.
yy
yy
y
9
10
3
y
3
20
)
3
10
30(
4
1
2
y
).
9
10
,
3
20
,0(
min
Y
1080
9
10
252
3
20
120)(
min
Y
q
)()(
.minmax
YqХf
строим для заданной модели двойственную и решим ее с помощью теорем
двойственности
Двойственная модель задачи ЛП построена по правилу, изложенному ра-
нее.
Нам известно, что исходная задача имеет оптимальное решение
Воспользуемся первой теоремой двойственности. Двойственная модель
тоже имеет оптимальное решение, причем оптимальное значение целевой
функции q(Y)тоже равно 1080, т. е.
.
Далее, будем использовать теорему 4. Начнем с первой части
Подставим оптимальное решение X
Получим систему уравнений для определения оптимального решения
двойственной модели
Получим
Проверим расчет
,
Задача решена.
38
в ограничения задачи
max
,
.
4.3. Транспортная задача линейного программирования
11
.
mn
ij
ij
аb
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
1 2 3
... ,
...
,
...
.
n
n
m m m mn m
х х х х a
x x x x a
x x x x a
11 21 31 1 1
12 22 32 2 2
1 2 3
... ,
...
,
...
.
m
m
n n n mn n
х х х х b
x x x x b
x x x x b
0, ( 1,2,... ; 1,2,... ).
ij
x i m j n
Постановка задачи
Пусть имеется m поставщиков некоторого однородного груза, сосредо-
точенного на станциях А1, А2 , … Аm , и имеется n потребителей этого продукта, расположенных на станциях В1 , В2 , …Вn. Известны также запасы этого груза (а1, а2 ,…, аm), которые должны быть вывезены в фиксированный период
времени. Потребности получателей груза за этот же период времени составляют (b1 , b2 , …bn).
Пусть запасы равны потребностям, т. е.
(1)
При выполнении условия (1) транспортная задача называется закрытой.
Кроме того, известны затраты Сij на перевозку единицы груза с любой
станции Аi на каждую станцию Вj.
Требуется составить такой план перевозок, чтобы весь груз был вывезен,
все потребности были удовлетворены, а суммарные затраты на перевозки были
минимальны.
Математическая модель
Обозначим величину перевозки со станции Аi на станцию Bj как xij. Тогда
условия полного вывоза груза со всех станций Аi можно записать в виде системы уравнений
(2)
С другой стороны, станции Вj должны получить необходимое количество
груза, что тоже записывается в виде системы уравнений
При этом выполняется условие неотрицательности для переменных xij
(3)
39
Функция цели задачи по критерию минимума суммарных затрат –
11
( ) min.
mn
ij ij
ij
f Х C x
Потребит.
Поставщ.
B1
B2
B3
B4
B5
Запасы
А1
c11
x11
c
11
x12
c
11
x13
c
11
x14
c
11
x15
a1
А
2
c11
x21
c
11
x22
c
11
x23
c
11
x24
c
11
x25
a2
А
3
c
11
x31
c
11
x32
c
11
x33
c
11
x34
c
11
x35
a3
Потребности
b1
b2
b3
b4
b5
(4)
Таким образом, транспортная задача представляет собой основную задачу
линейного программирования.
Часто при решении реальных задач число переменных (следовательно, и
число свободных переменных на любом плане) получается значительным, решение транспортной задачи геометрическим способом бывает малоэффективным или невозможным, поэтому были разработаны специальные методы решения таких задач. Рассмотрим некоторые из них.
Вся исходная информация для транспортной задачи организуется в виде
матрицы или таблицы (здесь для краткости рассмотрена задача размерности
3×5 (табл.1)), в которую заносится опорный план задачи. В этой же таблице
проводится оптимизация плана и записывается решение задачи.
Таблица 1
Рассмотрим различные методы нахождения первого опорного решения.
Метод северо-западного угла
Определение первого опорного плана начинается с того, что в верхнюю
левую (северо-западную) клетку таблицы заносится максимально возможный
объем перевозки груза со станции А1 для удовлетворения потребности первого
потребителя В1. Если потребности потребителя полностью удовлетворены, вычеркиваются все клетки первого столбца (В1). Если со станции А1 вывезены все
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]