Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математика и математические методы и модели в сервисной деятельности. Курс лекций
.pdf
π
( ) 3cos 2 1
3
y x x
y f x
fx
xa
fx
lim
xa
f x A
Рис. 2. График функции
Вопросы:
1. Понятие функции.
2. Область определения и область значений.
3. Основные свойства функции.
4. Способы задания функции.
5. Понятие графика функции.
6. Элементарные функции.
7. Как можно построить график функции с помощью метода преобразо-
вания графиков элементарных функций?
3.2. Теория пределов и непрерывность функции
Рассмотрим функцию
ченно приближаются к некоторому числу А, когда значения аргумента х неограниченно приближаются к числу а, при этом
пределом функции
записывается так
. Если значения функции
, то число А называется
при стремлении аргумента х к значению а. Кратко это
.
21
неограни-
Если
lim ( ) 0
xa
fx
fx
xa
2
( ) 1f x x
1x
2
1
lim 1 0
xx
xa
ax
lim ( )
xa
fx
2
2
1
lim
( 2)
xx
5 2 2
lim lim 5 5
xx
x
xx
x
2
lim 2
x
xx
ССax
lim
Axf
ax
)(lim
Bxg
ax
)(lim
BAxgxf
ax
))()((lim
BAxgxf
ax
))()((lim
)(lim)(lim xfcxfc
axax
B
A
xg
xf
ax
)(
)(
lim
Bxg
ax
)(lim
0
x
1
sin
lim
0
x
x
x
e
x
x
x
1
1lim
0
x
0
x
00;xx
0
0
x
)(xfy
0
x
)()(lim
0
0
xfxf
xx
, то функция
называется бесконечно малой при
. Например, функция
на, так как
Если при
.
абсолютные значения функции неограниченно возраста-
ют, то функция называется бесконечно большой при
так:
. Например,
при
.
бесконечно малая величи-
. Это записывается
Аналогичные ситуации могут возникнуть при неограниченном увеличе-
нии значения х (по модулю). Например,
.
Если при неограниченном увеличении х значения функции неограничен-
но возрастают, то функция называется бесконечно большой при
Например,
.
При нахождении пределов используются следующие теоремы о пределах:
.
1. Если С – постоянная величина, то
2. Если
что
Замечание: теоремы о пределах справедливы и при
3.
4.
Пусть
– некоторое действительное число( точка на числовой оси).
Окрестностью точки
,
,
, то
,
.
– первый замечательный предел.
– второй замечательный предел.
называется всякий интервал вида
.
,
, при условии,
.
, где
. Число
Функция
лена в этой точке и некоторой ее окрестности и
называется центром окрестности, а число – ее радиусом.
называется непрерывной в точке
, если она опреде-
.
22
Если значения функции
)(xfy
0
xx
0
x
)(xfy
0
x
1
0
)(lim
0
Axf
xx
0
x
0
xx
0
xx
2
0
)(lim
0
Axf
xx
)(xfy
0
x
)()(lim)(lim
0
00
00
xfxfxf
xxxx
)(xfy
0
x
0
xx
0
xx
0
x
0
x
неограниченно приближаются к неко-
торому числу А1 при
шие
(x0 < x), то число А1 называют пределом функции
слева и обозначают
функции y = f(x) справа в точке
, но при этом х принимает значения, строго мень-
. Аналогично введем понятие предела
при
. Число А2 называется пределом функции справа. Такие пре-
делы называются односторонними пределами.
Сформулируем второе определение непрерывности функции в точке.
Функция
называется непрерывной в точке
этой точке и некоторой ее окрестности и
Если функция
и не является непрерывной в точке
этой точке, а точка
определена в некоторой окрестности точки x=
, то функция называется разрывной в
называется точкой разрыва. Точки разрыва можно
и
в точке
. В этом случае пишут
, если она определена в
.
разделить на два рода:
1. Точка
называется точкой разрыва первого рода, если существуют
оба односторонних предела.
2. Точка
называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один
из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.
Имеет место утверждение – всякая элементарная функция непрерывна во
всех точках, принадлежащих ее области определения.
Вопросы:
1. Понятие предела функции.
2. Основные свойства пределов.
3. Первый и второй замечательный предел.
4. Понятие непрерывности функции в точке.
5. Точки разрыва функции.
23
3.3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
0
xxx
xxx
0
)x(f)x(f
0
)()(
00
xfxxfy
y)x(f)xx(f
00
)x(fy
0
x
0
x
)(0xf
)(0xf
x
xfxxf
x
y
xx
)()(
limlim
00
00
)x(fy
)x(fy
и его геометрический смысл
Пусть функция y = f(x) определена в точке х0 и в некоторой окрестности
этой точки. Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое значение х. Приращением аргумента в точке х0 называют разность
. Аналогично разность
f(x) и обозначаетсяy:
Определение. Производной функции
называется приращением функции
. Отсюда
в точке
называется предел
, откуда
.
отношения приращения функции y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента x при условии, что x произвольным образом стремится к ну-
лю. Производная функции f(x) в точке
обозначается
. Итак, по опре-
делению
=
.
Определение. Функция
, имеющая в точке х0 производную, назы-
вается дифференцируемой в этой точке.
Операция нахождения производной функции называется дифференциро-
ванием этой функции. Для одной и той же функции
производная в раз-
личных точках х может принимать различные значения, т. е. в свою очередь является функцией от х.
Выясним геометрический смысл производной. С этой целью введем пределение касательной к кривой в данной точке. Пусть на кривой L выбрана точка
М0. Рассмотрим другую точку М кривой, и проведем секущую М
М.
0
Определение. Касательной к кривой L в точке М0 называется предельное
положение секущей М0М, когда точка М, перемещаясь по кривой L, неограниченно приближается к точке М0.
24
Mo
M
секущая
касательная
L
Рис. 3. Касательная к кривой
)x(fy
0
x
0
x
PMx0
MPy
)yy;xx
00
0
tgφ
MP y
M P x
x
0
M
MM
0
0
M
TM
0
)x(fy
))x(f;x(M
000
кас 0
00
tgα lim tgφ lim ( )
xx
y
k f x
x
y
x
Mo M xo
xo+x
P
T
0
секущая
касательная
Рассмотрим график непрерывной функции
с абсциссой
По чертежу видно, что
невертикальную касательную (рис. 3). Дадим
. Тогда функция получит приращение
Точка М графика функции имеет координаты М(
кущая М0М образует с осью ОХ угол φ. Тогда
, имеющей в точке М0
приращениеx.
. Пусть се-
. При стремлении
к нулю приращение функции y также стремится к нулю, и точка M, пере-
мещаясь по графику функции, неограниченно приближается к точке
этом секущая
ние
– касательной к графику функции
, поворачиваясь около точки
, стремится занять положе-
в точке
этому
.
.
. При
. По-
Рис. 4. Геометрический смысл производной
25
Значит, значение производной функции
)x(fy
0
x
)x(fy
0
M
0
M
)xx(kyy
00
)xx)(x(f)x(fy
000
()s s t
)()( tstv
)()(
00
xfxxfy
00
( )( )f x x x
MM
0
TM
0
x)x(fy
0
0
()f x x
x
)x(fy
dy
x)x(fdy
0
xy
xx)x(dxdy
xdx
0
()dy f x dx
tgαdy x PT
PT
0
x
xx
0
)x(fy
0
x
()dy f x dx
()
dy
fx
dx
0c
1)(
xx
x
x
2
1
xx
ee )(
aaa
xx
ln)(
x
x1)(ln
ax
x
a
ln
1
)(log
(sin ) cos ;xx
xx sin)(cos
2
1
(tgx)
cos x
2
1
(ctg )
sinxx
2
1
(arcsin )1x
x
2
1
(arccos )1x
x
2
1
(arctg )1x
x
в точке
равно угло-
вому коэффициенту касательной к графику функции
пользуя уравнение прямой, проходящей через точку
коэффициентом
, можно написать уравнение касательной к
в точке
. Ис-
с заданным угловым
графику функции y = f(x) в точке х0. Оно будет иметь вид
.
Отметим также механический смысл производной. Пусть материальная
точка движется по прямой, по закону
теризует скорость точки в момент времени t
. Тогда производная s(t) по t харак-
. Эту скорость называют
иногда мгновенной скоростью точки.
Приращение
величиной
. Геометрически это равносильно замене дуги
участке графика функции отрезком прямой
, линейное относительно
иногда удобно заменять приближенной
на
:
. Выражение
, называется дифференциалом функции
и обозначается
, т. е.
Геометрически
касательной при переходе от
ции
в точке с абсциссой
в точке х0 равен приращению ординаты касательной, проведенной
. Окончательно имеем
. Значит,
. Пусть
. Поэтому окончательно имеем
. Отрезок
к
выражает приращение ординаты
. Таким образом, дифференциал функ-
. Отсюда в частности
, тогда
вытекает, что производную можно рассматривать как отношение дифференци-
алов dy и dx:
. Приведем таблицу производных основных элементар-
ных функций.
Основные формулы дифференцирования:
1.
; 2.
; 3.
; 4.
;
.
5.
9.
12.
; 6.
; 10.
; 13.
; 7.
; 11.
26
; 14.
; 8.
;
;
15.
2
1
arcctgx
1 x
)x(uu
()v v x
vuvu
)(
vuvuvu
)(
.)( uccu
2
v
vuvu
v
u
1
D
1
D
D
1
D
xux
ufy
)(uf
)(xgu
)(xfy
)(xf
.
Если
и
– дифференцируемые функции, то справедливы
следующие правила.
Основные правила дифференцирования:
1.
2.
3.
4.
(производная суммы (разности)).
(производная произведения).
(производная частного).
Дадим определение сложной функции. Пусть функция y = f(u) определена
на множестве D, а функция u = g(x) на множестве
ответствует значение u = g (x), где u
. Тогда на множестве
, причем любому х
определена
со-
функция y = f(g(x)), которая называется сложной функцией от x. Производная
этой функции будет определяться по формуле
.
Производная сложной функции равна производной внешней функции
, вычисленной в точке
функции g(x) в точке х.
Вопросы:
1. Понятие производной.
2. Геометрический смысл производной.
3. Записать уравнение касательной к графику функции.
4. Таблица производных.
5. Правила дифференцирования.
6. Понятия сложной функции и ее производной.
3.4. Производные высших порядков
, умноженной на производную внутренней
Производная
функции y = f(x) есть также функция от х и называ-
ется производной первого порядка. Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Если функция
дифференцируема,
то ее производная называется производной второго порядка и обозначается
27
)(yy
. Производной n-го порядка называется производная от производной
)(
)1()(
nn
yy
cos
x
yx
2
cos sin
cos
x x x
y
x
x
xxxxxxxx
yy
4
22
cos
))(cossin(coscos)sin(cos
)(
x
xxxxxxxx
4
2
cos
)sin)(cossin(cos2cos)cos(
0
0
φ( )yx
0
x
00
()φ( ) 0f x x
φ ( ) 0x
00
( ) ( )
lim lim
φ( ) φ ( )
x x x x
f x f x
xx
00
lim ( ) limφ( )
x x x x
f x x
0
0
(n-1) порядка
Пример
Найти производную второго порядка функции
Решение
.
.
. Тогда
.
3.5. Вычисление пределов по правилу Лопиталя
Рассмотрим метод раскрытия неопределенностей вида
и
, кото-
рый основан на применении производной.
Теорема. Пусть функции y = f(x) и
мы в окрестности точки
Пусть
в некоторой окрестности этой точки. Если существует предел
и обращаются в ноль в этой точке
непрерывны и дифференцируе-
отношения производных этих функций, то он равен пределу отношения самих
функций
Это правило справедливо также и если
ет возможность раскрывать неопределенности вида
изводных опять представляет собой неопределенность
.
. Тогда оно да-
. Если отношение про-
или
, то можно
правило Лопиталя применить повторно, т. е. перейти к пределу отношения вто-
.
рых производных.
28
Пример
1
10
lim
ln 0
x
x
xx
11
( 1) 1
lim lim
1
( ln )
ln
xx
x
xx
xx
x
1
1
lim 1
ln 1
xx
.
Вопросы:
1. Понятие второй производной. Привести пример.
2. В чем заключается правило Лопиталя и когда оно применяется?
29
4. Задачи линейной оптимизации
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... ,
... ,
0, 1,2,... ;
... ;
nn
nn
j
m m mn n m
a x a x а x b
a x a x а x b
x j n
a x a x а x b
1 1 2 2 0
( ) ... max(min)
nn
f X c x c x c x c
12
; ;...;
n
X x x x
Линейное программирование (ЛП) это раздел математики о методах ис-
следования и поиска наибольших и наименьших значений некоторой линейной
функции, причем ограничения задачи тоже линейны. Математические модели
задач линейного программирования (ЗЛП) различаются между собой по виду
ограничений.
Определение. Математическая модель ЗЛП называется стандартной, ес-
ли ограничения в ней представлены в виде линейных неравенств, а целевая
функция минимизируется или максимизируется.
Например, пусть в модели n неизвестных: х1, х2, …xn. Надо найти среди
решений системы неравенств такие, которые дают целевой функции наибольшее (наименьшее) значение. Такая модель имеет вид:
(1)
, (2)
где
искомое решение системы.
Система линейных неравенств, определяющая допустимое множество
решений задачи (1), называется системой ограничений задачи линейного про-
граммирования, а линейная функция f(Х) (2) называется целевой функцией или
критерием оптимальности.
Вопросы:
1. Понятие стандартной модели ЗЛП.
2. Определение критерия оптимальности.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]