Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математика и математические методы и модели в сервисной деятельности. Курс лекций
.pdf
Теорема. Если событие А не являются невозможным и, следовательно,
)(
)(
АР
АВР
)/()()( АВРАРАВР
Р(А)0, то
Р(В/А)=
. (1)
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого при условии, что первое наступило.
. (2)
Определение. Два события А и В называются независимыми в данном
опыте, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или не
произошло другое, т. е., если
P(A/B) = P(A) и P(B/A) = P(B). (3)
Следует, заметить, что для установления независимости двух событий А и
В достаточно проверить выполнение одного из равенств (3).
Для независимых событий А и В теорема умножения вероятностей принимает более простой вид.
Теорема. Если события А и В независимы, то вероятность их произведе-
ния равна произведению вероятностей этих событий
P(AB) = P(A)P(B). (4)
Замечание. Легко видеть, что и обратно, если для двух событий А и В выполняется равенство (4), то эти события независимы.
Поэтому равенство (4) можно принять в качестве определения независимости двух событий. Понятие независимости событий обобщается на произвольное конечное число событий.
Если события А и В совместны, то справедлива следующая, более общая
теорема сложения
P(A+B) = P(A) + P(B) – Р(AB). (5)
Вопросы:
1. Определение размещения.
2. Определение сочетания.
3. Определение перестановки.
4. Сформулируйте теорему сложения для несовместных событий.
5. Понятие условной вероятности.
6. Дайте определение независимых событий.
61
тий.
n
ННН ,...,,
21
)(),...,(),(
21 n
HPHPHP
)/(),...,/(),/(
21 n
HAPHAPHAP
1 1 2 2
( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / ).
nn
P A P H P A H P H P A H P H P A H
3
1
)()()(
321
НРНРНР
1
5
( / ) ,
11
Р А Н
2
7
( / ) ,
12
Р А Н
3
( / ) 1.Р А Н
1 5 1 7 1
P( ) 1 0,28.
3 11 3 12 3
А
7. Приведите теоремы умножения для независимых и зависимых собы-
8. Сформулируйте теорему сложения для совместных событий.
6.3. Формула полной вероятности, формула Байеса.
Независимые повторные испытания. Формула Бернулли
Пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий
, образующих полную группу. Напомним, что
полной группой событий называется совокупность нескольких событий в данном опыте, если в результате данного опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них. Пусть известны вероятности каждой гипотезы
и условные вероятности события А при этих гипотезах
. Тогда вероятность события А равна
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Пример
1. Имеются три урны. В первой 6 черных и 5 белых шаров; во второй
5 черных и 7 белых; в третьей – только белые шары. Некто подходит наугад к
одной из урн и вынимает один шар. Найти вероятность того, что шар белый.
Решение
Пусть событие А – появление белого шара.
Гипотезы: Н1 – выбор первой урны.
Н
– выбор второй урны.
2
Н
– выбор третьей урны.
3
. Найдем условные вероятности события А:
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного
из несовместных событий (гипотез) Н1,Н2,..,Нn, которые образуют полную
группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут
быть переоценены по формулам Байеса
62
Тогда
)(
)/()(
)/(
AP
HAPHP
AНР
ii
i
,
2
1
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2,0)/(
1
HAР
1
( / ) 1 0,2 0,8Р A H
4,0)/(
2
HAР
6,04,01)/(
2
HAР
3,0)/(
3
HAР
7,03,01)/(
3
HAР
7,07,0
6
1
6,0
3
1
8,0
2
1
)( AP
29,0
7,0
3
1
6,0
где Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.
Пример
2. Пассажир может купить билет в одной из трех касс. Вероятность того,
что он обратиться в первую кассу, равна
, во вторую –
, а в третью –
. Ве-
роятность того, что билетов в кассе нет, соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3.
Пассажир купил билет в одной из касс. Найти вероятность того, что это вторая
касса.
Решение
Пусть событие А – пассажир купил билет. Тогда событие А – пассажир не
купил билет, так как его нет в кассе.
Выберем гипотезы: Н1 – пассажир обратился в первую кассу,
Н
– пассажир обратился во вторую кассу,
2
Н
– пассажир обратился в третью кассу.
3
Запишем из условия задачи вероятности этих гипотез Р(Н1) =
, Р(Н3) =
. Вероятность того, что билета нет в первой кассе равна
, тогда
. Аналогично
, Р(Н2) =
и
и
Тогда Р(A) =
,
.
. Тогда по формуле Байеса
вероятность того, что пассажир купил билет во второй кассе, равна Р(Н2/А) =
.
Закономерности случайных явлений обнаруживаются, когда производится большое число повторных испытаний, когда один и тот же опыт повторяется
многократно: повторные измерения, стрельба из одного и того же орудия, массовое производство одного и того же изделия, подбрасывание одной и той же
монеты и т. д. При этом предполагается, что повторные испытания производятся в одинаковых условиях. В этом случае вероятность того или иного исхода
каждого испытания не зависит от того, какие исходы имели другие испытания.
Такие испытания называются независимыми относительно рассматриваемого
63
события А. Например, несколько последовательных подбрасываний монеты
knkk
nn
qpCkР
)(
6
6
5
6
4
6
РРР
066
6
155
6
244
6
6,04,06,04,06,04,0 ССС
600
6
0
6
9,01,0СР
!/)( keаkР
akn
npа
представляют собой независимые испытания.
Определение. Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если при каждом испытании возможны только два исхода, и ве-
роятности каждого из этих исходов остаются неизменными во всех испытаниях.
Принято называть исходы таких испытаний «успехами» и обозначать
буквой У и «неудачей» и обозначать буквой Н, а их вероятности Р(У) и Р(Н)
обозначать соответственно через р и q=1–p.
Чтобы найти вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, событие наступит ров-
но k раз, можно использовать формулу Бернулли
. Заметим, что
при этом число испытаний не более 10, а вероятность измеряется в десятых
(например, 0,1; 0,5 и т. п.)
Пример
1. Человек, принадлежащий к определенной группе населения, с вероят-
ностью 0,2 оказывается брюнетом, с вероятностью 0,3 – шатеном, с вероятностью 0,4 – блондином, с вероятностью 0,1 – рыжим. Выбирается наугад группа
из шести человек. Найти вероятности следующих событий:
А – в составе группы не меньше четырех блондинов;
В – в составе группы хотя бы один рыжий.
Решение
1) р – вероятность того, что человек оказался блондином. Она равна р =
0,4. Тогда q =1– р = 1 – 0,4 = 0,6. Событие А – в группе из шести человек 4 или
5, или 6 блондинов. Р(А) =
.
Р(А) =
= 0,16.
2) р – вероятность того, что человек рыжий, р = 0,1. Тогда q =1– р =
= 1–0,1 = 0,9. Событие В – в группе хотя бы один рыжий. Тогда событие А – в
группе нет рыжих. Р(А)=
0,53. Тогда Р(А) = 1–Р(А)=1– 0,53 =
0,47.
Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в
каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу Пуас-
сона
пытаниях,
(среднее число появлений события в n испытаниях). Отметим,
Где k – число появлений события в n независимых ис-
64
что n измеряется в сотнях, тысячах, а вероятность – в сотых или тысячных, так
npа
60
300
09,0
!2
5
5
2
2
еР
)(
1
)( x
npq
kР
n
2
2
2
1
)(
x
ex
npq
npkx
)(x
)(х
φ( ) φ( )xx
)()(),(
1221
хФхФkkР
x
z
dzехФ
0
2
2
2
1
)(
npq
npk
1
npq
npkx
2
2
)()( хФхФ
что их произведение
не более 10.
Пример
2. АТС получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно два вызова?
Решение
За минуту АТС получает в среднем
= 5 вызовов, т. е. а = 5. Требует-
ся найти вероятность события А – АТС получит за минуту 2 вызова.
Р(А) =
.
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых ис-
пытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, приближенно равна
, где
,
.
Значения функции
приведены в таблице для положительных зна-
чений х. При отрицательных значениях аргумента х пользуются свойством четности функции
:
. При значениях х, больших 3, значения
функции полагают равными 0. Данная функция применима при средних значениях вероятности и числа испытаний.
Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых
испытаниях событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно
равна
, где
х
=
1
,
.
– функция Лапласа.
Значения функции Лапласа приведены в таблице для х положительных.
При отрицательных значениях пользуются свойством нечетности функции
Лапласа:
ют равными 0,5.
Пример
. При значениях х, больших 5, значения функции полага-
65
3. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р =
)(
25,075,010
1
)8(
10
хР
)(7301,0 х
36,0
25,075,010
75,0108
npq
npk
х
)36,0(
400 2 1
(70,100) ( ) ( )P Ф x Ф x
25,1
8,02,0400
2,040070
1
1
npq
npk
x
5,2
8,02,0400
2,0400100
2
2
npq
npk
x
8882,0)3944,0(4938,0)100,70(
400
Р
0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8
раз.
Решение
По условию n = 10, k = 8, p = 0,75, q = 0,25. Используем локальную теорему Лапласа.
. По таблице
= 0,3739.
. Вычислим х.
Пример
4. Вероятность того, что деталь не прошла проверку контролера, равна
р = 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей
окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.
Решение
По условию р = 0,2; q = 0,8; n = 400, k1 = 70; k2 = 100.
гральной теоремой Лапласа
Воспользуемся инте-
.
Вычислим верхний и нижний пределы интегрирования.
,
.
По таблице находим Ф(2,5) = 0,4938; Ф(–1,25) = –Ф(1,25) = –0,3944.
Тогда
.
Вопросы:
1. Понятие полной группы событий.
2. Приведите формулу полной вероятности.
3. Приведите формулу Байеса.
4. Когда применяется формула полной вероятности и формула Байеса?
5. Когда применяется схема Бернулли?
6. Когда применяется формула Бернулли?
7. Приведите пример ее использования.
8. Когда применяется формула Пуассона?
9. Когда применяются интегральная и локальная теоремы Лапласа?
10. Понятие функции Лапласа и ее свойства.
66
6.4. Системы массового обслуживания
S S
n1
,...,
ji
SS
t t
1 2
, , ...
S S
n1
,...,
t t
1 2
, ,...
Пусть физическая система S находится в одном из состояний, образующих конечное множество
, и переходит из одного состояния в другое
случайным образом только в фиксированные моменты времени
Случайный процесс, протекающий в какой-либо физической системе S,
называется марковским (или процессом без последствия), если он обладает следующим свойством: для любого момента времени вероятность любого состо-
яния системы S в будущем зависит только от ее состояния в настоящем u не
зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние.
Поскольку множество состояний
тов времени
состоит из изолированных точек, такой случайный про-
конечно, а множество момен-
цесс называется марковской цепью с дискретным временем и конечным числом
состояний.
Как мы убедимся позже, такие цепи и некоторые их модификации могут
служить удобной математической моделью для описания многих интересных и
важных технических (в частности, транспортных) объектов.
Для марковской цепи с дискретными состояниями и дискретным временем моменты, когда система может менять свое состояние, удобно рассматривать как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого
зависит процесс, рассматривать не время, а номер шага. Случайный процесс в
этом случае характеризуется последовательностью состояний S(0), S(1), S(2), ...,
S(n), если S(0) – начальное состояние системы (перед первым шагом); S(1) – состояние системы непосредственно после первого шага; ...; S(k) — состояние си-
стемы непосредственно после k-го шага ....
Событие {S(k)= sk} = {сразу после k-го шага система находится в состоянии {Sk} (k = 1, 2, ...) является случайным, поэтому последовательность состояний можно рассматривать как последовательность случайных событий.
Начальное состояние S(0) может быть как заданным заранее, так и случайным.
Распределение вероятностей состояний в начале процесса p1(0), p2(0) ,..,
pi(0), ..., pn(0) называется начальным распределением вероятностей марков-
ской цепи. В частности, если начальное состояние S(0) системы S точно известно, например S(0) = Sk, начальная вероятность рk(0) = 1, а все остальные
равны нулю. Вероятностью перехода на k-м шаге из состояния Sk в состояние
67
S
S S S
1 2 3
, ,
p
ij
3,2,1, ji
S
i
j
S
p p p
p p p
p p p
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0 1 p
ij
;3,2,1, ji
.1
3
1j
ij
p
ii
p
P11
S1
P12 P12
P21
P22
P23
P32
P31
P13
P33
S3
S2
называется условная вероятность того, что система S после k-го шага ока-
k+1
жется в состоянии S
при условии, что непосредственно перед этим (после
k+1
k - 1 шагов) она находилась в состоянии Sk. Вероятности перехода назы-
ваются также «переходными вероятностями».
Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности
не зависят от номера шага, а зависят только от того, из какого состояния и в какое осуществляется переход. Переходные вероятности однородной марковской
цепи Р образуют квадратную таблицу (матрицу).
Приведем математическое описание марковских цепей с дискретным
временем, полагая для упрощения выкладок, что система может находиться
только в трех состояниях
Обозначим символом
стояния
в состояние
за один шаг. Тогда матрица Р вероятностей пере-
, т. е., принимая n = 3.
,
вероятность перехода системы из со-
ходов за один шаг
P =
. (1)
Элементы матрицы (1) обладают свойствами
,
(2)
Матрицу, обладающую таким свойством, называют стохастической.
Вероятность
есть не что иное, как вероятность того, что система,
пришедшая на данном шаге в состояние Si, в нем же и останется до очередного
шага.
Однородную марковскую цепь принято изображать в виде размеченного
графа состояний.
68
Введем матрицу-строку
Q k p k p k p k
1 2 3
, ,
p k
i
S
i
.3,2,1i
k 0
p k
i
i
1
1
3
.
Q p p p0 0 0 0
1 2 3
, ,
kpkpkpkQ
321
,,
Q k Q k P 1
.0kPQkQ
S
i
S
i
S
i
S
1
, где
вероят-
ность того, что после kшагов система находится в состоянии
Для элементов этой матрицы при любом
выполняется равенство
,
Если для однородной цепи Маркова задано начальное распределение:
при k = 0 имеем матрицу
начальное распределение
вероятностей состояний и матрица переходных вероятностей Р, то вероятности
состояний системы
могут быть определены по рекур-
рентной формуле
или
(3)
Уравнения позволяют определить вероятности состояний после k-го шага
по известному начальному распределению и заданной матрице P вероятностей
переходов за один шаг.
Введем следующие понятия.
Определение. Состояние
называется существенным, если, выйдя из
этого состояния, система может в него вернуться за один или несколько шагов.
Состояние
называется несущественным, если, выйдя из
, система не
может вернуться в него. Несущественные состояния потому так и называются,
что из каждого такого состояния система рано или поздно перейдет в существенное и больше не вернется.
Так, марковская цепь, граф которой приведен ниже, имеет одно несущественное состояние
.
Определение. Распределение вероятностей состояний марковской цепи
называется стационарным, если оно не изменяется во времени.
69
Стационарное распределение Q удовлетворяет матричному уравнению
Q Q P
1 1 11 2 21 3 31
2 1 12 2 22 3 32
3 1 13 2 23 3 33
,
,
.
p p p p p p p
p p p p p p p
p p p p p p p
p p p
1 2 3
1
~
lim ( )p p n
i
n
i
35231
4
, ,
, (4)
или в координатной форме
(5)
Для получения единственного решения к уравнениям (4) или (5) всегда
необходимо добавить условие нормировки
. (6)
Определение. Марковская цепь называется регулярной, если из любого
существенного состояния можно попасть в любое другое существенное состояние за конечное число шагов.
Определение. Вероятности
называются предельными (или
финальными) вероятностями состояний системы.
Естественно, финальные вероятности для несущественных состояний
равны нулю.
Теорема. Если марковская цепь регулярна, то предельные вероятности
состояний системы существуют и совпадают со стационарными вероятностями.
Система, для которой существуют финальные вероятности, называется
эргодической и соответствующий случайный процесс – эргодическим.
Пример
1. В городе N каждый житель имеет одну из трех профессий: А, В, С. Дети
отцов, имеющих профессии А, В, С, сохраняют профессии отцов с вероятностями
соответственно, а если не сохраняют, то с равными вероятностями
выбирают любую из двух других профессий.
Найти:
1) распределение по профессиям в следующем поколении, если в данном
поколении профессию А имело 20 % жителей, В 30 %, С 50 %;
2) предельное распределение по профессиям, когда число поколений рас-
тет;
3) распределение по профессиям, не меняющееся при смене поколений.
Решение
1. Составим граф состояний.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]