Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математика и математические методы и модели в сервисной деятельности. Курс лекций
.pdf
Сущность метода наименьших квадратов заключается в подборе коэффи-
2 2 2 2 2
12
11
δ + δ +... δ δ ( ( ))
nn
n i i i
ii
S y kx b
min.
δ
i
),( bkSS
;0
,0
b
S
k
S
,))((2)())((2
11
i
n
i
iii
n
i
ii
xbkxyxbkxy
k
S
n
i
ii
n
i
ii
bkxybkxy
b
S
11
)).((2)1())((2
n
i
ii
i
n
i
ii
bkxy
xbkxy
1
1
.0))((2
,0))((2
0
11
2
1
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xbxkxy
циентов k и b таким образом, чтобы сумма квадратов погрешностей была как
можно меньшей
(2)
Отметим, что в равенстве (2) находится сумма именно квадратов погрешностей, так как в случае суммирования самих погрешностей
сумма может
оказаться малой за счет разных знаков погрешностей.
Так как в равенстве (2) xi и yi – заданные числа, а k и b – неизвестные, то
сумму S можно рассмотреть как функцию двух переменных k и b.
Исследуем ее на экстремум.
Необходимое условие существования экстремума функции двух переменных
.
Приравнивая эти частные производные к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя переменными k и b
Преобразуя первое уравнение системы, получим
Преобразуя второе уравнение системы, получим
.
81
011
bnxky
n
i
i
n
i
i
Откуда имеем систему
.
,
11
111
2
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
ybnxk
xyxbxk
),( bkSS
),( bk
,)(2)(2
1
2
1
2
2
n
i
ii
n
i
i
хxх
k
S
,2)1(2
1
2
2
n
b
S
n
i
.2)(2
11
2
n
i
ii
n
i
xx
bk
S
.
2
2
2
2
2
2
bk
S
b
S
k
S
.)(22)(4
2
1 11
2
1
2
nin
j
ji
n
i
n
i
ii
xxxхn
2
,0
),( bk
),( bkSS
,0
2
2
k
S
),( bk
2
Система (3) называется нормальной системой.
Из этой системы находим k и b, которые затем подставляем в уравнение
(1) и получаем искомое уравнение прямой.
.
(3)
Тот факт, что функция
в найденной точке
имеет имен-
но минимум, устанавливается с помощью частных производных второго порядка.
Вычислим
Очевидно,
имеет экстремум; а так как
условию экстремума функции двух переменных, в точке
следовательно, в найденной точке
то, согласно достаточному
функция
функция имеет
минимум.
неравенством Коши-Буняковского.
Последнее равенство студент может установить самостоятельно, воспользовавшись
82
Полученная функция
bkxy
01
2
2
axaxay
.
,
,
1
2
1
4
2
1
3
1
1
2
0
11
3
2
1
2
1
1
0
11
2
2
1
10
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
yxxaxaxa
yxxaxaxa
yxaxaan
bkxy
01
2
2
axaxay
называется линейной регрессией, а ко-
эффициенты k и b – коэффициентами регрессии (величины у на х).
Зависимость между экспериментально полученными величинами может
быть близка к квадратичной (рис. 2). В этом случае задача состоит в нахождении коэффициентов a2, a1, a0 для составления уравнения вида
.
Рис. 2. Квадратичная зависимость между экспериментальными данными
Можно доказать, что для определения коэффициентов a2, a1, a0 следует
решить систему уравнений
В экспериментальной практике в качестве приближающих функций, помимо линейной
сти от характера точечного графика часто используются следующие приближающие функции
и квадратичной
, в зависимо-
83
m
axy
,
mx
aey
baxy
1
b
x
a
y
bax
x
y
bxay ln
Очевидно, что когда вид приближающей функции установлен, задача
сводится только к отысканию значений параметров.
Вопросы:
1. Понятие экспериментальных данных.
2. Суть метода наименьших квадратов.
3. Определение погрешности вычислений.
4. Уравнение линейной регрессии.
,
,
,
,
.
84
Методические рекомендации по подготовке
к сдаче экзамена (зачета)
Главная задача высшего профессионального образования – подготовка
квалифицированных специалистов. Для того чтобы завершить курс обучения
конкретной дисциплины, проверить сложившуюся у студента систему понятий
и выявить уровень полученных знаний, умений и навыков, проводят итоговую
аттестацию в форме зачета (для проверки практических умений и навыков) или
экзамена (оценка уровня теоретической и практической подготовки).
Но экзамен это и в первую очередь активный процесс обучения и воспитания. Обучающее значение экзаменов состоит в том, что студент в период экзаменационной сессии вновь обращается к пройденному материалу, перечитывает конспект лекций или другую учебную литературу. Он не только повторяет,
но и закрепляет полученные знания, а иногда и открывает что-то новое для себя.
Процесс подготовки и сдачи экзамена стимулирует трудолюбие, принципиальность, ответственное отношение к делу, развивает чувство справедливости, уважения к науке, вузу, преподавателю. В этом состоит воспитательная
роль экзамена.
При подготовке к экзамену лучше использовать конспекты лекций, прочитанные преподавателем. В качестве дополнительного источника теоретических знаний используются учебные пособия из основного списка литературы, а
также математические словари и справочники. Для выполнения практической
части экзаменационного билета необходимо прорешать основные типы задач,
которые были разобраны на практических занятиях или решены в контрольной
или расчетно-графической работе. В качестве дополнительных источников
возможно использование учебных пособий, содержащих примеры задач и описание их решений.
Экзаменационные билеты содержат теоретические и практические вопросы. В ходе подготовки к ответу необходимо написать основные математические положения, теоремы, формулы, если необходимо сделать чертеж, а также
полностью оформить решение задач.
На экзамене преподаватель может задать студенту дополнительные и
уточняющие вопросы. Дополнительные вопросы задаются помимо вопросов эк-
85
заменационного билета и связаны с плохим ответом на вопросы билета. Уточняющие вопросы задаются в рамках билета и направлены на уточнение мысли
студента.
Можно выделить следующие критерии, которыми обычно руководствуется преподаватель на экзамене:
1) правильность ответов на вопросы (верное, четкое и достаточно
глубокое изложение основного теоретического материала);
2) полнота, логическая последовательность и одновременно
лаконичность ответа;
3) умение связывать теорию с практикой, анализировать условие и
решать типовые задачи;
4) умение оценить и показать правильность полученных ответов;
5) грамотное комментирование, приведение примеров, изображение
чертежей;
6) общая культура речи и поведения.
Критерий выставления оценки на ответ на экзамене:
– оценка «отлично»: ответ всесторонне и глубоко освещает теоретиче-
ский вопрос, устанавливает взаимосвязь теории с практикой, показывает умения решать типовые задачи, оценивать правильность полученных результатов;
– оценка «хорошо»: ответ соответствует основным предъявляемым требованиям, студент хорошо владеет материалом, однако не всегда обстоятельно
проводит изложение, либо не полностью или с неточностями решаются практические задачи;
– оценка «удовлетворительно»: ответ не полно раскрывает поставленные
вопросы, студент поверхностно владеет материалом, решение практической задачи вызывает определенные трудности;
– оценка «неудовлетворительно»: дан неправильный ответ на теоретический вопрос, студент не показывает необходимые минимальные знания по
предмету, а также не может решить практические задачи.
Таким образом, преподаватель оценивает как знания, полученные при
изучении курса математики в вузе, так и форму их изложения, понимание и
умение применить эти знания на практике.
86
Библиографический список
Основная учебная литература
1. Выскобойников Ю. Е. Регрессионный анализ данных в пакете Mathcad
: учеб. пособие для студентов. – М. : Лань, 2011.
2. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов : учеб. для студен-
тов вузов. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
3. Осипов А. В. Лекции по высшей математике. – М. : Лань, 2014.
Дополнительная учебная литература
1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике : учеб. пособие для студентов. – М. : Высшее образование, 2009.
2. Лунгу К. Н. Случайные события в примерах и задачах : сб. заданий
для студентов всех специальностей дневной формы обучения / К. Н. Лунгу,
Д. Т. Письменный, С. Н. Федин. – М. : Айрис-пресс, 2011.
3. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов : практикум :
учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. – М. : ЮНИТИ, 2007.
Методические разработки
1. Гниломедов П. И. Линейное программирование : метод. указания / П.
И. Гниломедов, И. Н. Пирогова, П. П. Скачков. – Екатеринбург : УрГУПС,
2010.
2. Пирогова И. Н. Случайные события в примерах и задачах : сб. заданий
для студентов всех специальностей дневной формы обучения. – Екатеринбург :
УрГУПС, 2007.
3. Пирогова И. Н. Векторная алгебра а примерах и задачах : сб. заданий
по дисциплине «Математика» для студентов всех экономических специальностей дневной формы обучения / И. Н. Пирогова, О. В. Куликова. – Екатеринбург : УрГУПС, 2010.
4. Пирогова И. Н. Линейная алгебра : учеб.-метод. пособие к изучению
темы «Линейная алгебра» по дисциплине «Математика» для студентов спец.
87
080100 «Экономика» заочной формы обучения / И. Н. Пирогова, Е. Г. Филиппова. – Екатеринбург : УрГУПС, 2012.
5. Пирогова И. Н. Теория очередей : учеб.-метод. пособие для студентов
всех форм обучения / И. Н. Пирогова, П. П. Скачков, Е. Г. Филиппова. – Екатеринбург : УрГУПС, 2017.
6. Пирогова И. Н. Введение в анализ в примерах и задачах : сб. заданий
для студентов дневной формы обучения факультета экономики и управления /
И. Н. Пирогова, Е. Г. Филиппова. – Екатеринбург : УрГУПС, 2016.
88
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]