Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математика и математические методы и модели в сервисной деятельности. Курс лекций
.pdf
2. Векторная алгебра
AB a
AB
ab
ab
,,a b c
ba
ba
0
0
0
,,i j k
,,i j k
,,a x y z
a x i y j z k
Вектором aназывается направленный отрезок прямой. Если точка А –
начало вектора, точка В – его конец, то вектор a обозначают
или модулем вектора
вектора совпадают начало и конец, то его называют нуль-вектором и обозна-
чают 0. Нуль-вектор не имеет определенного направления, его модуль равен
нулю.
Векторы a и b называются коллинеарными, если они расположены на
одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы обознача-
ют a││b.
Два вектора a и bназываются равными, если они имеют равные модули
и сонаправлены, т. е.
воположными, если они имеют равные модули и противоположные направления, т. е.
и a↑↓b.
называется число, равное длине отрезка АВ. Если у
и a↑↑b. Два вектора a и b называются проти-
. Длиной
Три вектора
одной и той же плоскости или лежат в одной плоскости.
Произведением вектора a на число
которого равна
ра a, если
нуль-вектор.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Поставим в соответствие каждой из координатных осей Ох, Oy, Oz единичные век-
торы
нием соответствующей оси. Единичные векторы
векторами или базисом. Любой вектор в пространстве может быть задан своими координатами
Oz соответственно. Также вектор a может быть представлен в виде линейной
так, чтобы их направления совпадали с положительным направле-
, и противоположно ему, если
называются компланарными, если они параллельны
называется вектор
, его направление совпадает с направлением векто-
. При
называются базисными
, где х, y, z – проекции вектора a на оси Оx, Oy,
, длина
получается
комбинации базисных векторов
.
11
Над векторами можно производить следующие линейные операции:
1 1 1
,,a x y z
2 2 2
,,b x y z
1 2 1 2 1 2
,,a b x x y y z z
1 1 1
,,a x y z
2 2 2
,,b x y z
1 2 1 2 1 2
,,a b x x y y z z
a
1 1 1
,,a x y z
,,a x y z
2 2 2
a x y z
1 1 1
( , , )A x y z
2 2 2
( , , )B x y z
AB
2 1 2 1 2 1
,,AB x x y y z z
2 2 2
2 1 2 1 2 1
( ) ( ) ( )AB x x y y z z
1 1 1
,,a x y z
2 2 2
,,b x y z
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
a
cosa b a b
1 2 1 2 1 2
a b x x y y z z
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos
a b x x y y z z
a b x y z x y z
вектор
вектор
1. Сумма двух векторов
2. Разность двух векторов
3. Произведение вектора
.
.
на число
и
и
определяет
определяет
определяет вектор
.
Длину (модуль) вектора
лить по формуле
Если точки
.
и
по его координатам можно вычис-
– начало и конец вектора
ветственно, то координаты вектора и его модуль находят по формулам
,
Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов: век-
соот-
.
торы
и
коллинеарны тогда, и только тогда, когда
пропорциональны их соответствующие координаты, т. е.
Рассмотрим действие умножения векторов. Для векторов определены три
разных операции, называемых умножением (произведением).
Скалярным произведением векторов
называется число, равное произведению модулей
этих векторов на косинус угла между ними
Скалярное произведение векторов в координатной форме
.
С помощью скалярного произведения можно:
.
и b
1) найти угол φ между векторами aи b
2) найти проекцию вектора aна заданное направление вектора b
;
12
1 2 1 2 1 2
2 2 2
2 2 2
b
a b x x y y z z
пр a
b x y z
;
1 2 1 2 1 2
0x x y y z z
,,a b c
sinc a b
a
,,a b c
ab
b
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
i j k
y z x z x y
a b x y z i j k
y z x z x y
x y z
,,i j k
S a b
1
2
S a b
3) доказать перпендикулярность векторов aи b (необходимое и доста-
точное условие перпендикулярности векторов)
.
Векторным произведением векторов a и b называется вектор c, удовле-
творяющий условиям:
1) вектор c перпендикулярен векторам a и b;
2) вектор c направлен так, что три вектора
образуют правую тройку;
3)
, где – угол между векторами
и b, т. е. модуль вектора c численно равен площади
параллелограмма, построенного на векторах aи b.
Три некомпланарных вектора
, взятые в указанном порядке, образуют правую (левую) тройку, если с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден совершающимся про-
тив часовой стрелки (по часовой стрелке).
Векторное произведение векторов a и b обозначают символом
.
Векторное произведение можно выразить через координаты векторов a и
по формуле
, где
– единичные базисные векторы.
С помощью векторного произведения можно:
1) найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
;
2) найти площадь треугольника, построенного на векторах a и b
.
13
3) доказать коллинеарность векторов a и b (необходимое и достаточное
0ab
,,a b c
ab
ab c
,,a b c
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x y z
ab c x y z
x y z
,,a b c
V ab c
,,a b c
1
6
V ab c
,,a b c
0a b c
условие коллинеарности векторов)
векторы a и bколлинеарны тогда, и только тогда, когда
Смешанным произведением трех векторов
ное скалярному произведению вектора
Смешанное произведение обозначают
Смешанное произведение векторов
на вектор c.
.
в коорди-
называется число, рав-
натной форме можно вычислить по формуле
.
С помощью векторного произведения можно:
1) найти объем параллелепипеда, построенного на трех векторах
.
:
2) найти объем пирамиды, построенной на трех векторах
3) доказать компланарность трех векторов (необходимое и достаточное
условие компланарности): векторы
когда
.
Вопросы:
1. Понятие вектора.
2. Виды векторов.
3. Длина вектора. Орт вектора.
4. Действия над векторами.
5. Скалярное произведение векторов.
6. Свойства скалярного произведения.
:
компланарны тогда, и только тогда,
7. Понятие векторного произведения векторов.
8. Свойства векторного произведения векторов.
9. Понятие смешанного произведения векторов.
10. Свойства смешанного произведения векторов.
14
3. Введение в математический анализ и дифференцирование
M x f x
()Df
()y x x
3.1. Основные элементарные функции
Переменная величина y называется функцией переменной величины x,
если каждому значению x, взятому из некоторого множества, по определенному
правилу (закону) f ставится в соответствие единственное значение y. При этом х
называют независимой переменной, или аргументом, y – зависимой переменной, или функцией. Функциональную зависимость переменных x и y в общем
виде записывают y = f(x). Множество допустимых для х значений называется
областью определения функции и обозначается D(f). Множество значений,
принимаемых переменной y, называется областью значений функции y = f(x) и
обозначается E(f).
Чтобы задать функцию, можно использовать способы: аналитический,
табличный и графический. Если функция задана аналитически, т. е. с помощью
формулы вида y = f(x), то область определения функции – это множество значений независимой переменной x, при которых функция имеет смыслf(x).
Графиком функции называется множество точек плоскости Оxy, коорди-
наты которых имеют вид
определения функции
функции f(x).
Элементарной называется функция, которую можно задать одним аналитическим выражением, составленным из основных элементарных функций с
помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа операций взятия функции от функции.
Основные элементарные функции:
1. Степенная функция
Приведем графики некоторых степенных функций.
, а ордината y – равна соответствующему значению
, где абсцисса х принадлежит области
, где – действительное число.
15
xy
Линейная функция
2
xy
Квадратичная функция
3
xy
Кубическая парабола
1
xy
Гипербола
1,0, aaay
x
1, aay
x
10, aay
x
2. Показательная функция
;
16
x
a
log
1a
y(x)=
x
a
log
, a>1
y(x)=
x
a
log
, 0 < a < 1
ctgx;
y(x)= sinx,
y(x) = cosx,
y(x) = tgx
y(x)= ctgx
3. Логарифмическая функция y(x) =
, a > 0,
;
4. Тригонометрические функции: y(x) = sinx, y(x) = cosx, y(x) = tgx, y(x) =
17
( ) arcsiny x x
( ) arccosy x x
( ) arctgy x x
( ) arcctgy x x
y(x)= arcsinx
y(x) = arccosx
y(x)= arctgx
y(x)= arcctgx
y f x b
y f x
y f x a
y f x
a
y A f x
y f x
1
A
01A
5. Обратные тригонометрические функции
,
.
,
При построении графиков функций часто используются следующие пра-
вила преобразования графиков:
1. График функции
путем сдвига вдоль оси Oy на b единиц вверх при b > 0 или b единиц
вниз при b < 0.
2. График функции
путѐм сдвига вдоль оси Ox на a единиц влево при a > 0 или
ниц вправо приа < 0.
3. График функции
путем растяжения вдоль оси Oy вА раз (А > 1) или сжатия в
. Если А < 0, то к растяжению (сжатию) добавляется еще симметрич-
получается из графика функции
получается из графика функции
еди-
получается из графика функции
раз
ное отображение относительно оси Ох.
18
4. График функции
y f k x
y f x
1
k
01k
y f x
y f x
y f x
112
x
x
y
1
322
1
12
x
x
x
x
y
2
1
3
x
1
1
yx
2
3
yx
3
3
1
yx
4
3
2
1
yx
получается из графика функции
путѐм сжатия вдоль оси Ox в k раз (k > 1) или растяжения в
5. График функции
получается из графика функции
раз
.
путем симметричного отображения относительно оси Ox, а график функции
– симметричным отображением относительно оси Oy.
С помощью преобразований можно построить графики более сложных
функций.
Примеры
Построить графики функций:
1.
.
Решение
Преобразуем функцию следующим образом
. График этой функции, гипербола, получается из графика функции
с применением следующих преобразований:
растяжением в 3 раза вдоль оси OY;
сдвигом на 1 единицу вправо вдоль осиOX;
сдвигом предыдущего графика вверх вдоль оси OY на две
единицы вверх. Все шаги деформации представлены на рис. 1.
19
112
x
x
y
π
( ) 3cos 2 1.
3
y x x
π
3cos2 1,
6
yx
π
3
1
cos .yx
2
cos2yx
3
π
cos2
6
yx
π
6
4
π
3cos2
6
yx
5
π
3cos2 1
6
yx
Рис. 1. График функции
2.
Решение
Преобразуем данную функцию к виду
определим правильный сдвиг по оси OX, (довольно часто ошибочно определя-
ют сдвиг как
тем с помощью деформации получим:
). В качестве исходного графика возьмем график
сжатием вдоль оси OX в 2 раза;
сдвигом предыдущего графика на
тем самым
За-
вправо по оси Ох;
чим график, изображенный на рис. 2.
растяжением предыдущего графика в 3 раза по оси OY;
сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Полу-
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]