Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Планирование испытаний на надежность механических конструкций. Монография.pdf
Глава 4
M
M
41
В общем случае в (4.24) параметры Q0i, Qсi, mi, а также Ci при
одной и той же внешней нагрузке С на изделия различны.
Оценим интервал, в котором должен лежать коэффициент вариации предельной нагрузки, выводящей из строя изделие, как
простой элемент.
Параметры распределения Вейбулла случайной величины Q
иσ
и ее числовые характеристики
Q связаны соотношениями
Q
MQ Q
Q
с
Г 11
0
Q
Г 12 Г 11
mm
Г 12 Г 11
mm
m
,
2
Q
2
(4.25)
(4.26)
или
QQ
Q
c
Г 11
– среднее квадратическое отклонение случайной величины Q,
где σ
Q
0
,
(4.27)
m
Г(·) – гамма-функция.
Можно записать тождество
Q М Q М QQ
QQ
0
Q
c
MQ Q m
0
–1
Г 11
0
,
(4.28)
которое с учетом (4.25)–(4.27) и вводом обозначений
QMQ и
1 Q
где
a при 0QQ .
1
Обозначив
и учитывая (4.23), имеем
QQ a
QQ
0
Q
c
a
1
QQ
0
Q
c
можно переписать в виде
0 Q
1 Г 11 ,
m
1 Г 11 .
am
1
m
m
(4.29)
m
(4.30)
42
Коэффициенты вариации предельных нагрузок
Рассмотрим частный случай распределения случайной величины Q, когда все предельные нагрузки, выводящие из строя элементы, имеют одинаковую форму распределения, т. е. параметры
= m. В том числе это может быть и псевдосимметричное распре-
m
i
деление при m = 3,6, которое близко к слабоусеченному нормальному закону в точке
QMQ
0
Для равнопрочной конструкции
3, 2 .
(4.31)
Q
при Q = C = const для всех
элементов будем иметь
С Q С Q
01 0
QQ
c1 c
i
, 1... ,
i
ik
(4.32)
и сумма в экспоненте уравнения (4.24) примет вид
01
01
0
Q
c
i
.
a
1
и при
m
m
i
m
1 Г 11 ,
1 Г 11 ,
constm
m
1
m
i
, для случая, когда рас-
(4.33)
m
(4.34)
m
а при m
где
= m для неравнопрочной конструкции
i
1111
Учитывая, что
CQ
,a
kk m
Q
kk
CQ
11
ii
11
ii
i
пределение предельной нагрузки, выводящей из строя элемент,
в равнопрочной конструкции совпадает с распределением предель-
ной нагрузки наиболее «слабого» элемента
струкции, можно написать неравенство
CQ CQ CQ
k
QQQ
mmm
01 0 01
c1 c c1
k
1
i
i
неравнопрочной кон-
i
.
(4.35)
При m = const форма распределения одинакова, а масштабный
параметр Q
Равнопрочной называется конструкция, вероятности выхода из
строя элементов которой одинаковы. В частном случае это система с одинаковыми распределениями Q элементов.
характеризует разброс нагрузки. В общем виде для
c
Элемент, определяющий надежность конструкции.
Глава 4
1
рассматриваемого случая параметр масштаба
Q
предельной на-
c
грузки для конструкции равен
Q
где
1
Q
c
1
– нормирующие множители, которые выбраны из условия
i
CQ CQ
Q
c
c1
001
1
m
ii
,
(4.36)
k
i
i
1
i
,
Q
c1
(4.37)
где Q01, Qсi – параметры распределения Q «слабого» элемента.
Для равнопрочной системы с одинаковыми распределениями
нормирующие множители
= 1 и параметр масштаба равен
i
Q
c1
Q
(4.38)
cp
.
m
1
k
Из выражений (4.37) и (4.38) следует, что
(4.39)
c.p c 1 c
а отношение средних квадратических отклонений
нагрузки, выводящей из строя реальную
системы, к среднему квадратическому отклонению
,QQQ
с
и равнопрочную
Q
предельной
Q
предельной
1Q
нагрузки «слабого» элемента имеет вид
c
Q
Q
1
1
m
(4.40)
k
i
i
1
и
p
1
Q
Q
1
(4.41)
m
1
k
соответственно. Отсюда
p
c
(4.42)
QQ
Q
.
1
Среднее значение предельной нагрузки, выводящей из строя
«слабый» элемент и реальную систему, определяется по формулам
43
p
Q
44
M
Коэффициенты вариации предельных нагрузок
MQ Q
101
Г 11
1
Q
Г 12 Г 11
mm
m
2
(4.43)
и
MQ Q
c
01
Г 11
1
Q
1
k
i
m
i
1
Г 12 Г 11
m
2
mm
Для равнопрочной конструкции
Г 11
1
c.p
MQ Q
Из формул (4.44) и (4.45) получаем
11 ,
W
01
12
m
kmm
MQ MQ
11
Q
1
1
m
1
k
i
1
i
Q
Г 12 Г 11
c
Г 12 Г 11
m
Г 11
m
2
mm
откуда следует, что
c.p c
QMQMQ
.
(4.47)
1
Коэффициент вариации предельной нагрузки реальной конст-
рукции определяется по формуле
W
1
W
c
Q
11 .
W
1
Q
1
1
k
1
1
i
Q
1
k
i
m
m
i
1
Г 11
Г 12 Г 11
m
2
mm
(4.44)
.
.
(4.45)
(4.46)
(4.48)
Глава 4
45
Из (4.48) следует, что для встречающихся на практике распределений предельных нагрузок, имеющих закон крайних членов выборок, для коэффициента вариации предельной нагрузки равнопрочной конструкции при
0,Q 20 %,
0
W
Qi
будет вы-
10m
полняться неравенство
W
1
Q
WW
(4.49)
p1
m
QQ
1
k
.
Для неравнопрочной конструкции коэффициент вариации
предельной нагрузки находится в интервале
WWWSupW
(4.50)
pc
QQQ Qi
,
т. е. коэффициент вариации предельной нагрузки, выводящей из
строя систему, не выше коэффициента вариации
Q «слабого» эле-
мента или элемента с наибольшим коэффициентом вариации предельной нагрузки равнопрочной системы.
На практике функция распределения предельной нагрузки
выводящей из строя
i-й элемент, зачастую принимается нормаль-
Q
ной, т. е. все распределения имеют одинаковый параметр формы
(
m = 3,6) и
MQ Q
ii Qi
3, 2 .
(4.51)
0
Тогда если, например, равнопрочная система состоит из числа элементов 10, а коэффициент вариации
W
элемента 5 % (10 %), то
Q
коэффициент вариации предельной нагрузки, выводящей из строя
равнопрочную систему, будет равен 2,9 % (6,2 %).
4.4.2. Коэффициент вариации предельной нагрузки конструкции при нормальном законе распределения предельных нагрузок элементов
Проведем исследование распределения предельной нагрузки
конструкции путем статистического моделирования равнопрочной
и неравнопрочной конструкций. Конструкции состоят из последовательно соединенных элементов.
Равнопрочная конструкция рассматривалась в узком смысле,
т. е. вероятности выхода из строя каждого ее элемента одинаковы
и распределения предельных нагрузок элементов совпадают.
,
i
46
M
M
M
M
Коэффициенты вариации предельных нагрузок
Неравнопрочная конструкция в общем виде может состоять из
элементов, для которых:
1) предельные нагрузки
ют одинаковые средние значения
вариации
W
различны;
Qi
2) предельные нагрузки
Q и коэффициенты вариации W
i
3) предельные нагрузки
W
вариации
, а средние значения
Qi
Q
, выводящие из строя элемент, име-
i
QMQ , а коэффициенты
i
Q
имеют различные средние значения
i
;
Qi
Q
имеют одинаковые коэффициенты
i
Q различны.
i
Для упрощения моделирования предельные нагрузки нормировались к среднему значению.
Для равнопрочной системы изменение коэффициентов вариации
при увеличении числа элементов от 1 до 12 приведено в табл. 4.8,
плотность распределения вероятностей – на рис. 4.6. Параметры рас-
пределения
ратическое отклонение 0,1
Q
элементов: среднее значение
i
W
.
Qi Qi
= 1 и среднее квад-
Q
i
Рис. 4.6. Плотность распределения предельной нагрузки элемента и равно прочной системы из 10 элементов (на фоне равночастотной гистограммы)
Глава 4
Таблица 4.8
Числовые характеристики равнопрочной системы
Число элементов
в системе
1 1,0 0,1 0,1
2 0,943 0,0823 0,0873
4 0,896 0,0701 0,0782
6 0,874 0,0640 0,0732
8 0,859 0,0589 0,0698
10 0,847 0,0590 0,0696
12 0,838 0,0570 0,0680
Оценки по (4.48) коэффициентов вариации для равнопрочной
системы при псевдосимметричном распределении предельной нагрузки элементов близки к значениям коэффициентов вариации
предельной нагрузки, выводящей из строя систему, при нормальном законе распределения
равны 0,053 и 0,069 при
Для неравнопрочной системы выполняется условие
В конструкции из
вующей нагрузки можно выделить доминирующий элемент, который практически определяет надежность системы. Пусть их будет
два. Поэтому важно знать, при каких соотношениях средних значе-
ний и коэффициентов вариации
дельных нагрузок можно с достаточной точностью оценивать надежность системы по одному доминирующему элементу.
Исследовалась система из двух элементов, на которую действует постоянная нагрузка. Среднее значение и коэффициент вариа-
ции предельной нагрузки первого элемента равны
и
0,1,
W а второго – варьировались.
1
Q
при изменении числа элементов
Среднее
Среднее значение
Q
. Для системы из 10 элементов они
i
MQ
i
WWSupW
pc
QQ Qi
k элементов при определенном уровне дейст-
квадратическое
отклонение
1
и 0,1
W соответственно.
Qi
.
MQ W
11
(4.52)
,
и
Q
Коэффициент
MQ W пре-
cc
вариации
,
47
Q
1MQ
1
48
M
Теоретически при любых отношениях
Коэффициенты вариации предельных нагрузок
QMQ вероят-
21
ность отказа системы при заданной нагрузке выше, чем вероятность отказа первого элемента. Поэтому за критерий при оценке
влияния второго элемента на показатель надежности системы примем некоторую величину такую, что
1c
где
R
и Rc – показатель надежности первого элемента и системы
1
,RR (4.53)
соответственно.
Исследования проведены для трех уровней показателя надежности первого элемента: 0,9; 0,99; 0,999, для которых значения
брались 0,01; 0,001; 0,0001, т. е. на порядок меньше, чем вероятность отказа элемента
1.qR
Результаты расчетов приведены
11
в табл. 4.9. Отсюда следует, что, например, при коэффициентах вариации предельной нагрузки
W
0,1,
1
Q
если
21
1,1 5MQ MQ ,
то при показателе надежности первого элемента 0,9–0,999 можно
не учитывать влияние показателя второго элемента на показатель
надежности системы.
Примеры оценки распределений предельной нагрузки системы
с различными математическими ожиданиями предельных нагрузок
элементов и постоянным коэффициентом вариации и с постоянным
математическими ожиданиями предельной нагрузки элементов, но
с разными коэффициентами вариации приведены на рис
. 4.7 и 4.8
соответственно.
Таким образом, исследования показывают, что, используя априорные оценки предельных нагрузок элементов, можно прогнозировать значения коэффициентов вариации предельной нагрузки
конструкции в целом.
Глава 4
49
Рис. 4.7. Распределение предельной нагрузки системы с различными
математическими ожиданиями предельной нагрузки элементов
Рис. 4.8. Распределение предельной нагрузки системы с постоянными
математическими ожиданиями предельной нагрузки элементов
50
M
M
Коэффициенты вариации предельных нагрузок
Влияние отношений
системы из двух элементов (см. (4.53))
Показатель
надежности R
(первого элемента)
0,9 0,01
0,99 0,001
0,999 0,0001
1
QMQ и
21
коэффициентов
Таблица 4.9
WWна надежность
Отношение
WW
21QQ
вариации
21QQ
0,05/0,1
0,075/0,1
0,10/0,1
0,125/0,1
0,15/0,1
0,175/0,1
0,20/0,1
0,05/0,1
0,075/0,1
0,1/0,1
0,125/0,1
0,15/0,1
0,175/0,1
0,2/0,1
0,05/0,1
0,075/0,1
0,1/0,1
0,125/0,1
0,15/0,1
0,175/0,1
0,2/0,1
Отношение
математических
ожиданий
QMQ
21
1,0
1,06
1,138
1,228
1,336
1,462
1,618
1,0
1,0
1,114
1,252
1,432
1,690
1,972
1,0
1,0
1,09
1,27
1,516
1,888
2,1