Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Планирование испытаний на надежность механических конструкций. Монография.pdf
Глава 4
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
21
что одно и то же, из условия минимума функции
Ф , ln , ,..., .
mLmQQ
1
n
На практике объем многократно цензурированной выборки
для отдельно взятой детали часто бывает малым, поэтому полученные оценки m и σ имеют значительный разброс и, следовательно,
невысокую достоверность. Чтобы повысить достоверность оценок
искомых параметров, необходима дополнительная информация об
изготовлении из одного и того же материала по единой технологии
нескольких видов деталей,
отличающихся незначительными изменениями конфигурации. Тогда данные по испытаниям этих деталей
можно объединить. Для этого вводится предположение, что все
детали имеют один и тот же коэффициент вариации предельной
нагрузки
const.mW
На основании этого предположения разработаны алгоритм
и программа оценки коэффициента вариации предельной нагрузки
детали [29].
Пример
. Результаты испытаний однотипных деталей из одного
материала представлены выборками (табл. 4.1).
Таблица 4.1
№
выборки
1 8
Объем
выборки
Выборка экспериментальных данных
Конкретное
значение
предельной
нагрузки,
27
28,5
–
–
–
–
–
–
Состав выборки
Интервал,
содержащий
предельную
нагрузку
1
–
–
24
24
30
–
–
–
2
–
–
27
27
33
–
–
–
2
Нагрузка,
превосходя-
щая пре-
дельную,
3
–
–
–
–
–
35
37
–
Нагрузка,
не превос-
ходящая
предель-
ную,
4
–
–
–
–
–
–
–
24
22
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
Коэффициенты вариации предельных нагрузок
Окончание табл. 4.1
Состав выборки
№
выборки
Объем
выборки
2 5
3 4
Конкретное
значение
предельной
нагрузки,
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Интервал,
содержащий
предельную
нагрузку
1
2
40
43
40
37
–
–
–
–
–
43
46
43
40
–
–
–
–
–
2
Нагрузка,
превосходя-
щая пре-
дельную,
3
–
–
–
–
48
–
–
–
–
Нагрузка,
не превос-
ходящая
предель-
ную,
4
–
–
–
–
–
17
17
17
17
Оценка параметров распределения случайной величины методом максимального правдоподобия по выборкам 1 и 2 дала следующие результаты: m
σ
=1,921, W2 = 0,046. Общий коэффициент вариации по двум вы-
2
= 27,65, σ1 = 1,953, W1 = 0,071; m2 = 41,50,
1
боркам равен 0,060. Выборка 3 относится к вырожденным и не может быть обработана методом максимума правдоподобия без привлечения дополнительной информации. Для нормировки выборки 3
оценку среднего значения случайной величины проводили при коэффициенте вариации W
= 0,1. Получено m3 = 18,62. После норми-
3
ровки и объединения всех выборок в обобщенную методом максимума правдоподобия оценен общий коэффициент вариации:
= 0,055. При таком значении коэффициента вариации получены
W
0
следующие средние значения предельной нагрузки для каждой выборки: m
= 27,70, m2 = 41,46, m3 = 17,86.
1
4.2. Коэффициент вариации предельной нагрузки деталей
при статическом нагружении
Предельная нагрузка является случайной величиной в силу
случайности факторов, ее порождающих. В общем случае это
функция многих случайных величин:
Глава 4
Qfxx x
– фактор, влияющий на значение предельной нагрузки.
где х
i
, ,..., ,
12
(4.1)
k
23
К факторам, характеризующим предельную нагрузку детали, относятся следующие физико-механические характеристики материала:
– предел прочности σ
– предел текучести σ
– ударная вязкость а
,
в
,
0,2
,
n
– относительное удлинение δ,
– модуль упругости Е,
– коэффициент линейного температурного расширения
,
а также факторы, характеризующие геометрию детали: толщина
детали, средний радиус сферических, цилиндрических деталей, радиусы скругления и т. д. К интегральным факторам, характеризующим конструкцию детали и условия нагружения, можно отнести, например, условие разрушения, т. е. теорию прочности.
Наиболее достоверно функцию распределения вероятностей
предельной нагрузки детали, узла или изделия
в целом можно оценить по натурным испытаниям, однако, учитывая, что натурные
опыты дорогостоящие, можно использовать косвенные подходы.
Один из таких подходов состоит в привлечении математической модели (4.1) предельной нагрузки Q как функции ряда факторов. Для
ее получения можно использовать математические методы планирования эксперимента [30, 31], оптимизирующие объем испытаний или
расчетов [32], и
корреляционно-регрессионный анализ [33].
Установившиеся технологические процессы приводят к малым
отклонениям факторов x
. Обычно коэффициенты вариации факто-
i
ров не превышают 10–20 % [18]. Поэтому математическую модель
предельной нагрузки в области математических ожиданий факторов в первом приближении можно представить в виде линейной
модели (множественной регрессии) [32]:
Qa ax ax ax V
01122
...
kk
, (4.2)
где аi – передаточные коэффициенты, характеризующие влияние
исходного фактора х
на предельную нагрузку; а0 – постоянная
i
составляющая, характеризующая уровень предельной нагрузки;
V – случайная центрированная составляющая, характеризующая
неопределенность влияния неучтенных факторов.
24
x
x
Коэффициенты вариации предельных нагрузок
Уравнение связи относительных отклонений предельной на-
грузки от среднего значения записывается в виде
Qaxax axV
QQ V
где
QxVaa
, , ,
QxQQ
iiii
11 2 2
xx
ii i
i
...
kk
, (4.3)
; ,
Q – сред-
i
ние значения фактора и предельной нагрузки соответственно.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины
Q
по своей природе равно коэффициенту вариации предельной нагрузки и определяется по формуле
kkk
WaW aaWWW
Qix jlxxxxV
ijl
111, jl
2
iilil
2
(4.4)
.
Тесноту связи между предельной нагрузкой Q и действующими факторами х
реляции
R
характеризует коэффициент множественной кор-
i
[32].
...kQx x
1
Если корреляционная связь между входными величинами отсутствует, то (4.4) примет вид
k
WaWW
QixV
i
1
Коэффициент вариации предельной нагрузки
учтенных факторов определяется по формуле
WW W R (4.6)
' ... ...
VQxxQ Qxx
11
2
i
kk
2
.
(4.5)
W
за счет не-
V
2
1
или
k
WW aW
'
VQ ix
2
1
i
2
.
(4.6´)
i
При наличии только одного фактора уравнение (4.2) преобразуется в уравнение
QabxV
, (4.7)
в котором тесноту связи случайных величин Q и x характеризует
коэффициент парной корреляции ρ
Qx
.
Глава 4
x
25
Методы определения коэффициентов математической модели
приведены в [32].
В частном случае при степенной зависимости предельной нагрузки от факторов математическая модель может быть представлена в виде
Qxx x
ll
12
12
...
l
k
,
k
где k – количество факторов.
При малых значениях коэффициентов вариации
факторов xi
W
i
коэффициент вариации предельной нагрузки в первом приближении можно представить в виде
k
22
WlW
Qix
i
.
i
1
Отсюда при резко выделяющемся значении коэффициента вариации,
например, фактора x
получаем
i
WlW
Qix
i
и при
1l
1
WW
Qx
.
1
Наличие математической модели предельной нагрузки и коэффициентов вариации учитываемых и неучтенных факторов дает
возможность оценить коэффициент вариации предельной нагрузки
и (при необходимости) ее числовые характеристики.
Практика показывает, что предельная нагрузка является в основном функцией одного фактора, т. е. описывается уравнением
(4.7). В этом случае коэффициент вариации предельной нагрузки
характеризуется
ра. Таким фактором могут быть предел прочности σ
чести σ
, относительное удлинение δ и др. Как показывает анализ
0,2
коэффициентом вариации определяющего факто-
, предел теку-
в
экспериментальных данных, коэффициент вариации предельной
нагрузки определяется в основном коэффициентом вариации σ
пределом текучести σ
материала детали. Эту гипотезу подтвер-
0,2
или
в
ждают статистические данные Б. Б. Чечулина и др. [34–37] по разрушению образцов из пластичных материалов при однородном
и неоднородном напряженном состоянии. Влияние масштабного
фактора на временной предел прочности и условный предел текучести не замечено или незначительно [38].
Наряду с этим при хрупком разрушении конструкции предельная нагрузка зависит от масштабного фактора [12].
26
Коэффициенты вариации предельных нагрузок
Таким образом, разброс предельных характеристик деталей
изделий определяется разбросом механических характеристик материалов, из которых изготовлена деталь. Основной вклад в разброс
механических характеристик вносит разброс средних партионных
значений. В пределах партии разброс механических характеристик
для большинства материалов значительно меньше межпартионного.
Отсюда следует, что характер распределения механической характеристики в пределах генеральной
совокупности определяется распре-
делением межпартионных средних значений.
Для примера в табл. 4.2 приведены средние значения и среднее квадратическое отклонение предела прочности и предела текучести ряда конструкционных материалов (алюминиевых и титановых сплавов, сталей) [20].
Таблица 4.2
Материал
Д16АМ
Д16АМ
Д16АТ
Д20АТ
АМЦАМ
АМ25ВМ
В95АТ
ОТЧ
ВТ1-1
ВТ5-1
08кп
15кп
Ст3кп
Ст3сп
Ст3
10Г2
25ХГСА
30ХГСА
Характеристики конструкционных материалов [20]
Предел прочности Предел текучести
σ ,
,
σ
в
N
21479
95746
120928
1180
29,103
43993
11883
16638
78780
1532
32005
1010
–
229
20336
1210
709
492
кг/см
19,32
18,54
44,00
33,40
12,30
30,12
55,71
78,60
52,0
95,0
32,74
38,29
–
43,12
41,42
46,87
62,48
65,03
2
в
кг/см
1,081
0,976
1,053
0,934
1,170
1,040
1,523
4,0
4,3
2,7
2,022
3,368
–
2,322
3,065
2,921
3,272
4,537
2
W
σ
0,056
0,053
0,024
0,028
0,095
0,035
0,027
0,051
0,083
0,029
0,063
0,088
–
0,054
0,074
0,062
0,052
0,070
в
120928
N
–
–
–
–
43993
11883
–
–
–
31795
1010
1674
229
10748
1208
709
493
0,2
кг/см
–
–
29,77
–
–
17,71
49,02
–
–
–
21,17
24,52
29,50
29,52
28,99
31,37
44,55
47,41
,
2
σ ,
σ
0,2
кг/см
–
–
1,148
–
–
1,714
2,534
–
–
–
4,348
3,610
3,522
2,693
2,414
3,396
4,819
5,474
2
W
σ
–
–
0,039
–
–
0,097
0,052
–
–
–
0,205
0,147
0,119
0,091
0,083
0,108
0,108
0,115
0,2
№ по
[18]
1
5
11
63
78
114
115
5
115
175
7
271
473
499
552
8
71
97
Табл.
по [18]
1.1.1
1.14
1.21
1.3.1
Глава 4
27
4.3. Коэффициент вариации предельной нагрузки, разру-
шающей деталь, при ударном нагружении
4.3.1. Характеристики внешних ударных воздействий
Среди разнообразных видов механических нагрузок, встречающихся в технике, можно выделить класс так называемых ударных воздействий [39]. Причины возникновения такого рода механических сил весьма разнообразны: взрыв, ударная волна, порожденная взрывом, порыв ветра, катапультирование и т. п.
Качественно ударное воздействие (удар), приложенное к машинам и оборудованию, характеризуется кратковременностью и
обычно вызывает колебательные процессы, протекающие как во время
действия удара, так и после его окончания. Если колебательные процессы отсутствуют, то возможны две физические модели действия
удара: первая – машина и оборудование рассматриваются как абсолютно жесткие тела (время действия удара очень мало), а ударное
воздействие характеризуется импульсом; вторая – ударное
воздейст-
вие рассматривается как статическое (время действия удара велико).
В дальнейшем мы назовем внешним ударным воздействием
такое кинематическое или силовое возбуждение механической системы, время действия которого сравнимо по крайней мере с наименьшим периодом собственных колебаний [40], и вызывающее
в ней значительные перемещения.
Условно ударные воздействия можно классифицировать по
форме на
простые, обычно приложенные к машинам и оборудова-
нию, и сложные.
Простые ударные воздействия – воздействия, которые с хорошим приближением можно представить в виде кусочно-линейных,
тригонометрических или экспоненциальных функций. Такое описание ударных воздействий, характеризующих реальное взаимодействие оборудования с внешней средой, очень часто используется в технике [39].
Из анализа
имеющихся экспериментальных данных [41] следует, что простое описание ударных воздействий в указанных случаях является вполне приемлемым в динамических расчетах. Наиболее типичные виды простых ударных воздействий систематизированы в табл. 4.3.
28
Виды нагрузки
Коэффициенты вариации предельных нагрузок
Виды простых ударных воздействий
Математическое
описание
t
sin
aa
0
0,t
aa
0
aat
,,;aat
012
aa
0
2
1cos
0,t
01
0,t
t
1
,t
12
Возможные
параметров
= 0,5–100 мкс
a
= 3000…3g
0
t
= 0,5–1 мкс
= 1500…100g
a
0
1
2–1
2
2
= 1000…10g
a
0
пределы
= 1–5 мкс
= 1–10 мкс
Таблица 4.3
Внеш-
ние
условия
Соударение твердой
поверхности с упругой
a = a0
t [0, ]
15 мс
104g
а
0
Сложные ударные воздействия на составные части изделия
представляются простыми ударными воздействиями (см. табл. 4.3)
с наложением вибраций. Эти воздействия определяют расчетно или
экспериментально.
Несущие конструкции передают кинематическое возмущение
от корпуса носителя или сооружения, испытывающего воздействие
Транспортировка
Погрузочные работы.
Глава 4
29
ударной волны или соударение с объектом. Разделение конструкций или их элементов на несущие и промежуточные условное. Несущие элементы должны принадлежать корпусу изделия и принимать от объекта инерционные нагрузки, вызванные переданными
этими элементами ускорения.
Если динамическое воздействие на изделие и его составные
части не превышает период собственных колебаний составных
частей, то колебание элементов конструкции будет повторять характер
воздействия внешней нагрузки. Обычно среднее значение предельной нагрузки детали оценивается по экспериментальным данным
или с привлечением расчетов на прочность. Разброс предельных
нагрузок характеризует коэффициент вариации. Его можно оценить по данным лабораторных испытаний конструкций или на основании изучения физики
разрушения материалов. Первый подход
дорогостоящий и требует больших затрат времени; второй рассматривается ниже и дает возможность качественно охарактеризовать изменение коэффициента вариации предельной нагрузки, связанное с увеличением скорости нагружения конструкции.
4.3.2. Применение теории Журкова для оценки коэффици-
ента вариации механических характеристик
Из работ [42, 43] и кинетической теории С. Н. Журкова
[44, 45] следует, что время, в течение которого прикладывается на-
грузка при ударном нагружении деталей, играет большую роль при
разрушении деталей.
Исследования показывают, что большинство материалов следует теории Журкова [44], согласно которой при постоянном напряжении σ
в образце время, за которое разрушается образец, оп-
р
ределяется по формуле
γσ
uRT
0
0p
exp ,
13
10
– константа, характеризующая средний период тепло-
где
0
вых колебаний атомов в конденсированных телах [44]; u
(4.8)
– энергия
0
активации разрушения материала (энергия сцепления); γ – структурно-чувствительный коэффициент; R – универсальная газовая посто-
30
Коэффициенты вариации предельных нагрузок
янная (в периодической литературе чаще принимается постоянная
Больцмана k); T – абсолютная температура.
Формула Журкова (4.8) проверялась для различных материалов (металлических и неметаллических) [44] в широком диапазоне
температур (от –196 °С до 1200 °С) и напряжений (0,2–400 кг/мм
при временах до разрушения от 10
–3
до 107 с. Для большинства ма-
2
териалов она дает хорошее совпадение с экспериментом, хотя для
некоторых материалов имеются отклонения от экспериментальных
данных (см., например, [45]).
На основании линейной теории суммирования повреждений [46] при достижении критической меры накопленных повреждений (
1) произойдет разрушение детали или образца. Критерий
кр
разрушения можно представить в форме, предложенной Бейли [47]:
0
1
0
– «время жизни» детали, т. е. время до разрушения тела под
где τ
0
напряжением
,tT ; t – время.
,dttT
, (4.9)
Критерий Бейли дает возможность учесть не только разовое
нагружение, но и многократное.
Зависимость напряжения в детали от времени действия нагрузки имеет определенную форму, хотя и случайную по напряжению и длительности его воздействия. Так, например, при зависимости напряжения в детали от времени в виде трапеции
критерий Бейли можно представить уравнением
RT
exp
0
121
max
exp 1 exp
max max
RT RT RT
32 max
max
u
0
RT
exp 1
RT
(рис. 4.1)
(4.10)
1.
)