Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие для обучающихся по направлению подготовки бакалавриата «Экономика»
.pdf
Индекс n;i указывает на продолжительность ренты и величину
процентной ставки. Этот множитель называют коэффициентом наращения ренты. Он представляет собой наращенную сумму ренты, член
которой равен 1.
N = 1;
S
=
n;i
= (1+ i)t или S = RS
; (18)
n;i
T = 0.
Наращение финансовой ренты представлено на рис. 19.
Рис. 19. Логика финансовой операции наращения финансовой ренты
6.3. Приведение финансовых рент
Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо (P).
Условия:
член ренты равен R;
срок n;
ежегодное дисконтирование;
рента немедленная.
Дисконтированная величина первого платежа равна: R, где
= 1/ (1 + i) — коэффициент дисконтирования.
Дисконтированная величина второго платежа равна R 2, дисконтированная величина последнего платежа равна R n.
То есть получаем ряд геометрической прогрессии с первым членом
R и знаменателем :
81
P = R
= R
= R
= R
= R
;
a
=
n,i
;
t = 0; t = 1.
Коэффициент приведения ренты характеризует современную стоимость ренты с членом, равным 1.
Определение современной величины потока платежей показано на рис.
20.
Рис. 20. Логика финансовой операции
определения современной величины потока платежей
Коэффициент приведения p-срочной ренты с начислением процентов m раз в году (p не равно m), т. е. самый общий случай:
(p)
a
mn;j/m
1 - (1 + j/m)
=
p (1 + j/m)
m/p
-mn
- 1
.
Если p = 1, получаем годовую ренту с начислением процентов m
раз в году, коэффициент приведения которой равен:
a
mn;j/m
1 - (1 + j/m)
=
(1 + j/m)
m/p
-mn
- 1
Если m = 1, получаем p-срочную ренту с ежегодным начислением
процентов, коэффициент приведения которой равен:
82
1/p
- 1
.
1 - (1 + i )
(p)
a
=
n;i
p (1 + i)
Если m = p, получаем p-срочную ренту, в которой число членов
ренты равно числу начислений процентов. Коэффициент приведения
такой ренты равен:
a
mn = pm;j/m
1- (1 + j/m)
=
-mn
.
Одна из крупнейших в истории человечества техногенная катастрофа произошла в ночь со 2-го на 3-е декабря 1984 г. в индийском
городе Бхопал. На предприятии по производству пестицидов корпорации «Юнион Карбайд» произошел выброс около 40 т высокотоксичного газа метилизоцианата. Из-за сбоя в системах безопасности территория площадью около 40 км2 с населением более полумиллиона человек
была быстро охвачена плотным облаком ядовитого газа. По официальным данным «Юнион Карбайд», в результате прямого воздействия газа
погибло более 500 чел., приблизительно 6 тыс. получили серьезное химическое поражение, 2 тыс. из них умерло в течение следующих нескольких недель. Около 100 тыс. чел. нуждались в различных формах
лечения. Существует и другая статистика, говорящая о гораздо большем числе погибших и пострадавших. Даже сегодня около 20 тыс. чел.,
продолжающих жить в окрестностях этого предприятия, подвергаются
токсическому воздействию от загрязненных почв и грунтовых вод.
Корпорация «Юнион Карбайд» первоначально предложила в качестве компенсации пострадавшим 200 млн долл., выплачиваемых в течение 35 лет помесячно равными суммами. Предложение было отклонено (журнал «За рубежом». 1985. № 11).
Если выплаты производятся помесячно на протяжении 35 лет равными суммами, то данный ряд платежей представляет собой постоянную ренту (p = 12) с годовой суммой выплат 200/35 = 5,714 млн долл. в
год. Если это рента постнумерандо, при ставке i = 10 % получим:
A = R
1-( 1+ i)
(1 + i)
1/p
-n
1
= 5,714
1-( 1+ 0,1)
12 (1 + 0,1)
83
1/12
-35
=57,59.
1
A = 57,59 млн долл. Иначе говоря, капитал в сумме 57,59 млн долл.
при начислении 10 % годовых был бы достаточен для выполнения обязательства.
Такая компенсация адекватна 57,6 млн долл, выплаченных единовременно.
Контрольные вопросы и задания
Задание 1. Изучите вопросы темы:
1. Потоки платежей, их классификация и основные параметры.
2. Наращение финансовых рент. Наращенная сумма постоянной
ренты постнумерандо.
3. Приведение финансовых рент.
Задание 2. Изучите опорные понятия и уясните содержание каж-
дого из них.
Опорные понятия
Потоки платежей.
Регулярные потоки платежей.
Нерегулярные потоки платежей.
Член потока платежей.
Финансовая рента.
Период ренты.
Срок ренты.
Наращенная сумма потока платежей.
Современная стоимость потока платежей.
Годовая рента.
Р-срочная рента.
Дискретная рента.
Непрерывная рента.
Ренты с ежегодным начислением.
Ренты с начислением m раз в году.
Ренты с непрерывным начислением.
Ограниченные по срокам ренты.
Вечная рента.
Немедленная рента.
Отсроченная рента.
Постоянная рента.
Переменная рента.
Верная рента.
84
Условная рента.
Рента пренумерандо.
Рента постумерандо.
Коэффициент приведения ренты.
Задание 3. Дайте устные ответы на контрольные вопросы.
1. Что понимается под потоком платежей?
2. Какие потоки платежей называются финансовыми рентами?
3. Какие параметры используются для характеристики финансовых
рент?
4. В каких сферах используются параметры потоков платежей?
5. Что понимается под наращением ренты?
6. Что понимается под приведением ренты?
7. Что представляют собой коэффициенты наращения и приведе-
ния ренты?
Задание 4. Выполните письменно учебные упражнения.
Составьте схему классификации потоков платежей.
Напишите формулы для расчета коэффициентов наращения и коэффициентов приведения финансовых рент.
Изобразите графически процесс формирования будущей стоимости
аннуитета постнумерандо и пренумерандо.
Изобразите графически процесс определения современной стоимости аннуитета постнумерандо и пренумерандо.
Задание 5. Решите задачи.
Задача 1. Определите значение коэффициента наращения постоян-
ной ренты постнумерандо сроком 10 лет при процентной ставке 12 %.
Задача 2. Определите значение коэффициента приведения посто-
янной ренты постнумерандо сроком 10 лет при процентной ставке 12
%.
Задача 3. Найдите значение наращенной суммы постоянной ренты
постнумерандо с членом ренты, равным 10 тыс. руб., сроком 10 лет при
процентной ставке 12 %; период ренты — 1 год.
Задача 4. Рассчитайте современную стоимость постоянной ренты
постнумерандо с членом ренты, равным 10 тыс. руб., сроком 10 лет при
процентной ставке 12 %; период ренты — 1 год.
85
7. ФИНАНСОВАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ
0976176,0)11,1(2)110,01(2)11(
m
imj
7.1. Эквивалентности процентных ставок и платежей
Эквивалентными считаются такие значения различающихся по
своему виду процентных ставок, применение которых в однотипных по
назначению операциях приводит к одинаковым финансовым результатам. Поэтому для участвующих в сделках сторон не имеет значения,
какая из эквивалентных ставок фигурирует в соответствующем контракте.
Понятие эквивалентности ставок используется при:
сравнении ставок, применяемых в различных финансовых со-
глашениях;
определении эффективности финансово-кредитных операций
(определяются эквивалентные годовые ставки простых и сложных процентов);
безубыточной замене одного вида процентных ставок и метода
их начисления другими.
На финансовые результаты операции влияют не только размер и
вид процентных ставок, но и суммы платежей и их сроки.
Иногда возникает необходимость в объединении (консолидации)
платежей — замене нескольких платежей одним или, наоборот, замене
одного платежа несколькими с различными сроками, а также в изменении срока платежа.
В этих случаях руководствуются принципом финансовой эквивалентности платежей. Он предполагает постоянство финансовых обстоятельств сторон до и после упомянутых изменений.
Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведенными по заданной процентной ставке к одному моменту времени,
оказываются равными.
Пример.
Какая должна быть установлена номинальная ставка процентов,
обеспечивающая годовую доходность на уровне 10 % при начислении
процентов 2, 4 и 12 раз в год:
а) m = 2;
86
(по таблицам находим 9,761769634 %);
964544,0)1
4
1(4 ij
568968515,9)11(12
12
ij
)11(
m
imj
б) m = 4;
(по таблицам находим 9,645475634 %);
в) m = 12;
(по таблицам находим 9,568968515).
Пример.
Какова эффективная ставка, если номинальная ставка равна 12 %,
при:
а) помесячном начислении процентов (m = 12):
i = (1 + 0,12/12)12 – 1 = 1,0112 – 1 = 1,126825 или 0,126825.
По таблице находим i = 12,68250301 %;
б) поквартальном начислении процентов (m = 4):
i = 12,55088100;
в) начислении процентов по полугодиям:
i = 12,36.
Таким образом, для сторон в сделке безразлично, применить ставку 12 % при помесячном начислении процентов или годовую ставку
12,6825 %.
Реальная доходность при помесячной капитализации —
12,68250301 %, по квартальной — 12,55088100 %, капитализации по
полугодиям — 12,36 %.
Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон, т. е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.
При подготовке контрактов может возникнуть необходимость в
решении обратной задачи — в определении j (номинальной ставки) по
заданным значениям i и m:
. (19)
В справочниках приводятся годовые ставки сложных процентов,
эквивалентные номинальным ставкам при начислении 2, 4 и 12 раз в
87
году, а также номинальные ставки, начисляемые m раз в году, эквива-
nd
d
i
1
ni
i
d
1
n
n
с
i
i
1)1(
лентные годовым сложным ставкам.
Все формулы для определения эквивалента годовой ставки сложных процентов являются формулами расчета эффективной ставки.
Эффективная ставка — это годовая ставка сложных процентов,
которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов
по ставке j/m (т. е. по номинальной ставке).
Обозначим эффективную ставку через i.
По определению множители наращения по эффективной и номинальной процентной ставкам при m-разовом начислении процентов
должны быть равны:
(1 + i)n = (1 +
)mn, i = (1 +
)mn – 1. (20)
Как видим, при m > 1 эффективная ставка больше номинальной,
при m = 1 они равны.
Приравнивая формулы для определения наращенной суммы при
различных способах начисления процентов попарно друг к другу, можно получить формулы эквивалентности процентных ставок.
Эти формулы выражают зависимость между различными процентными ставками:
1) между простой годовой ставкой процента (i) и простой годовой
учетной ставкой (d):
; (21)
; (22)
2) между простой годовой ставкой процента (i) и годовой ставкой
сложных процентов (ic):
; (23)
88
11 nni
c
i
; (24)
)11(
mn
nimj
1)1(
m
c
mji
)11(
m
c
imj
c
c
c
d
d
i
1
c
c
c
i
i
d
1
3) между простой годовой ставкой процента (i) и номинальной
ставкой сложных процентов (j):
; (25)
(26)
4) между годовой ставкой сложных процентов (ic) и номинальной
ставкой сложных процентов (j):
; (27)
; (28)
5) между годовой ставкой сложных процентов (ic) и сложной годо-
вой учетной ставкой:
; (29)
. (30)
7.2. Уравнения эквивалентности
Изменение условий платежей не может быть произвольным. Общим принципом такого изменения является безубыточность, иначе говоря, финансовые отношения сторон после изменения условий должны
сохраниться на прежнем уровне, т. е. новые финансовые обязательства
должны быть эквивалентны старым.
89
В простейшем случае, например, при пролонгации срока платежа
06,0)
365
59
(1
0
)06,0
365
31
1(60005000)06,0
365
61
1(10000
S
S0 на n лет, новая сумма равна наращенной сумме по обусловленной
ставке процентов за этот срок, т. е.
S1 = S
(1 + i)
0
n
.
Если же сумма выплачивается досрочно, то она должна быть дисконтирована, т. е.
S1 = S
ν
.
0
n
В более сложных случаях применяются специальные формулы или
разрабатываются уравнения эквивалентности.
В уравнении эквивалентности сумма приведенных платежей по
старым условиям контракта равна сумме приведенных на тот же момент времени платежей по новому (измененному) соглашению.
Вид уравнения эквивалентности определяется конкретным содержанием контрактов, поэтому методику разработки уравнения эквивалентности удобно показать на примере.
Пример.
Имеются обязательства:
1. Уплатить 10 тыс. руб. 1 ноября.
2. Уплатить 5 тыс. руб. 1 января.
Эти обязательства заменяются новыми с условием, что должник
уплачивает 6 тыс. руб. 1 декабря, остальной долг он гасит 1 марта следующего года.
Необходимо найти сумму нового платежа S0 при условии, что
ставка процентов сохраняется на прежнем уровне — 6 %.
Решение.
Возьмем в качестве даты приведения 1 января, тогда уравнение эквивалентности имеет вид:
Контрольные вопросы и задания
Задание 1. Изучите вопросы темы:
1. Эквивалентность процентных ставок и платежей.
2. Уравнения эквивалентности.
90
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]