Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие для обучающихся по направлению подготовки бакалавриата «Экономика»
.pdf
На практике этот метод применяется в тех случаях, когда срок ссуды
меньше года — месяцы или дни, а также в случаях, когда проценты не
присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору.
Для записи формулы наращения простых процентов введем
обозначения:
I — проценты за весь срок ссуды (процентный платеж);
P — первоначальная сумма долга;
S — наращенная сумма, или сумма в конце срока;
i — годовая ставка процентов (ставка наращения в виде деся-
тичной дроби);
n — срок ссуды, лет.
Начисленные проценты за каждый год равны произведению первоначальной суммы и процентной ставки, представленной в виде десятичной дроби: Pi.
Проценты, начисленные за весь срок, составят:
I = Pn∙i. (1)
Наращенная сумма находится как:
S = P + I = P + P∙n∙i = P(1 + n∙i);
S = P(1 + n∙i). (2)
Формулу (2) называют формулой наращения по простым процентам, или кратко формулой простых процентов.
Множитель (1 + n∙i) называют множителем наращения простых
процентов.
График наращения по простым процентам показан на рис. 11.
41
Рис. 11. Наращение по простым процентам
В случаях, когда срок ссуды меньше периода начисления, возникает вопрос: какая часть процента должна быть уплачена кредитору?
Наиболее распространенный в практике случай — с годовым периодом начисления, так как ставка в договоре указывается обычно годовая. Если же срок ссуды меньше года, требуется определить, какая
часть годового процента уплачивается кредитору.
Общий срок ссуды выразим в виде дроби:
t
n =
, (3)
K
где t — число дней ссуды; К — число дней в году или временная база.
Если К = 360, за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней) и получают обыкновенные
или коммерческие проценты.
Если K = 365 (366), за базу берут действительное число дней в году
(365 или 366) и получают точные проценты.
При одинаковом числе дней ссуды соотношение между точными
(Ie) и обыкновенными (Io) процентами будет следующим:
Ie
= 0,986301.
Io
Так как
Pit /365
Pti/360
=
1/365
1/360
=
360
365
, то
Ie
= 1,013889.
Io
Только за счет использования различных методов определения
срока финансовой операции различия в наращенной сумме могут до-
42
стигать без малого полутора процентов. К сожалению, зачастую приходится сталкиваться с ситуацией, когда обращают внимание на различия
в десятых процента и ввиду элементарной финансовой безграмотности
никакого внимания не обращают на используемый метод определения
срока финансовой операции.
При определении числа дней пользования ссудой также применяются два подхода:
точный;
приближенный.
В первом случае подсчитывается фактическое число дней между
датами, во втором — число дней в каждом месяце принимается равным
30.
И в том и в другом случае день выдачи и день погашения считается за один день. Во многих странах первый день не учитывается, а последний учитывается.
Например, если вычисляется число дней с 22 апреля по 16 августа:
в апреле (30 – 22) 8
в мае 31
в июне 30
в июле 31
в августе 16
Итого 116
Для подсчета числа дней ссуды можно использовать таблицу порядковых номеров дней в году (прил. A, прил. Б): 228 – 112 = 116 дней. Эти
таблицы приводятся в справочниках по финансово-экономическим расчетам.
Таким образом, имеется три практически применяемых вари-
анта оценки:
1. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды —
применяются в Германии, Дании, Швеции, России (360/360).
В России при исчислении процентов количество дней в месяце
условно принимается за 30, а в году за 360. В месяцах, имеющих 31
день, 31-е число в расчет не принимается, а в феврале остаток за последнее число повторяется столько раз, сколько дней недостает до 30.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды
(365/360). Они распространены в операциях коммерческих банков
Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии, Югославии.
3. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365). При-
меняются в Португалии, Англии, США, а также при расчетах Центрального банка с контрагентами.
43
Вариант расчета с точными процентами и приближенным числом
Вариант начисления
процентов
Порядок расчета
Временная
база
Примечание
Точные проценты
с точным числом дней
Фактическое число дней,
определяемое по календарю
или специальной таблице
365, 366
Английская
практика
Обыкновенные
проценты с точным
числом дней ссуды
Фактическое число дней,
определяемое по календарю
или специальной таблице
360
Французская
практика
Обыкновенные
проценты
с приближенным
числом дней ссуды
Расчет числа дней
осуществляют, исходя из
того, что в каждом месяце
30 дней
360
Немецкая
практика
дней ссуды лишен смысла.
Методики расчета срока финансовой операции обобщены в табл. 2.
Таблица 2
Методики расчета срока финансовой операции
Пример 1. Капитал величиной 10 млн руб. вложен в банк на 4 мес.
под 15 % годовых. Найти наращенную сумму:
S = 10 ∙ (1 + 4/12 ∙ 0,15) = 10,5 млн руб. или
I = 10 ∙ 1200/360/0,15 = 1200/2400 = 0,5 млн руб.
S = 10 + 0,5 = 10,5.
Пример 2. Капитал величиной 50 млн руб. вложен в банк с 6 марта
по 9 июля того же года включительно под 20 % годовых. Определить
процентный платеж и наращенную сумму капитала:
t = 125 дней — год високосный;
t = 23 + 30 + 30 + 30 + 10 = 123 — точное число дней.
а) точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):
I = 50125/366/0,2 = 6250/1830 = 3,415;
S = 53,415;
б) обыкновенные проценты с точным числом дней:
I = 50 ∙ 125/360/0,2 = 6250/1800 = 3,472;
S = 53,472;
в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней:
I = 50 ∙ 123/360/0,2 = 6150/1800 = 3,416(6).
Особо следует остановиться на случае, когда начальная или конечная даты ссуды приходятся на 31-е число месяца, а количество дней
ссуды определяются приближенно, на основе 360-дневного года.
44
Например, ссуда выдается 31-го числа в день, которого при схеме
«двенадцать 30-дневных месяцев» не существует, а в действительности
сделки могут заключаться и в этот день.
При этом возможно использование либо американского, либо европейского метода определения приближенного числа дней ссуды.
Американский метод определения приближенного числа дней ссуды. Если начальная дата является 31-м числом месяца, то она полагается равной 30-му числу того же месяца. Если конечная дата является 31м числом месяца, а начальная дата меньше, чем 30-е число, то конечная
дата полагается равной 1-му числу следующего месяца, в противном
случае конечная дата полагается равной 30-му числу того же месяца.
Европейский метод определения приближенного числа дней ссуды. Начальная и конечная даты, которые приходятся на 31-е число месяца, полагаются равными 30-му числу того же месяца.
Понятно, что потребность в применении этих методов возникает
не так уж часто, поскольку, во-первых, с такой ситуацией можно
столкнуться только при использовании обыкновенных процентов с
приближенным числом дней ссуды (один из трех основных вариантов),
во-вторых, только тогда, когда начальная или конечная даты приходятся
на 31-е число (а таковых в году всего семь дней).
При начислении процентов при изменении остатка средств на счете в мировой практике при расчете процентов используются понятия
«процентное число» и «процентный ключ» (дивизор). Определим процентный платеж для t дней с использованием:
а) приближенных процентов;
б) точных процентов.
К = 360; К = 365;
I = P∙n∙i = P∙t∙i/360; I = P∙t∙i/365;
I = P∙t∙i/36 000. I = P∙t∙i/36 500.
Разделим в этих формулах числитель и знаменатель на i:
I = Pt/360/i; I = Pt/365/i;
I = Pt/36 000/i. I = Pt/36 500/i.
Числитель Pt в этом выражении называют процентным числом, а
знаменатель — процентным ключом, или дивизором. Таким образом,
45
процентный платеж определяется путем деления процентного числа на
Дата
Движение
средств
Остаток средств
на счете
Срок, дней
Процентное
число
5.02
12
12
155
1 860
10.07
–4 8 102
816
20.10 8 16
72
1 152
31.12 — 16 — —
Итого 3828
процентный дивизор.
Понятно, что процентный платеж, вычисляемый с использованием
дивизора 365/i, будет меньше, чем процентный платеж, полученный
при использовании дивизора 360/i. Поэтому при обслуживании конкретного заемщика всегда используется только один из дивизоров.
Пример. Движение средств на счет характеризуется следующими
данными: 5 февраля поступило 12 млн руб., 10 июля снято 4 млн руб.,
20 октября поступило 8 млн руб. Процентная ставка — 18 % годовых.
Найти сумму на счете на конец года.
Процентный делитель:
K
365
=
i
= 2027,778.
0,18
Сумма процентов за весь срок составит:
3828
I=
2027,778
=1,888 млн руб.
Расчет приведен в табл. 3.
Таблица 3
Расчет суммы процентов при изменяющихся остатках средств
с использованием процентных чисел
По сути, это модель банковского счета, которая может использоваться не только при использовании простых, но и сложных процентов
— в этом случае добавляется операция зачисления рассчитанных про-
центов за предыдущий отрезок времени, т. е. капитализация или реинвестирование процентов, о чем речь пойдет в следующей главе книги.
46
3.3. Начисление процентов в смежных календарных периодах
и при переменных ставках
Часто даты начала и окончания ссуды находятся в смежных календарных отрезках времени. Понятно, что начисленные проценты не могут быть целиком отнесены к одному из них.
Необходимость деления общей суммы процентов между периодами возникает в бухгалтерском учете, при налогообложении, финансовом анализе деятельности предприятия.
Если общий срок ссуды захватывает два смежных календарных периода, причем на первый приходится срок n1, на второй —
n2, то алгоритм деления процентов между смежными календарными периодами:
I = I1 + I2 = Pn1i + Pn2i. (4)
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки.
Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма
определяется так:
S = P(1 + n1i1 + n2i2 + … + nmi
) = (1 +
m
);
S = P(1+
). (5)
Это формула наращения по простым процентам с переменными
ставками.
Если известна величина первоначального долга (капитала), то для
определения процентного платежа используют расчет «от ста»: I = Pni.
Однако при расчете величины процентного платежа не всегда известен
размер первоначальной суммы P; могут быть ситуации, когда известна
только величина капитала, уменьшенного или увеличенного на процентный платеж.
Если при расчете процентов известна величина капитала, уменьшенного на процентный платеж, то такой расчет называется расчетом
«меньше ста».
Если известна величина капитала, увеличенного на процентный
платеж, то такой расчет называется расчетом «выше ста».
47
Контрольные вопросы и задания
Задание 1. Изучите вопросы темы:
1. Временной фактор в финансовых расчетах. Основные сведения о
процентах.
2. Сущность и формула простых процентов.
3. Методики расчета сроков финансовой операции.
4. Начисление процентов в смежных календарных периодах и при
переменных ставках.
Задание 2. Изучите опорные понятия и уясните содержание каж-
дого из них, составьте словарь опорных понятий.
Опорные понятия
Принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени.
Проценты.
Процентные ставки.
Единицы измерения процентных ставок.
Период начисления.
Годовые и релятивные ставки.
Капитализация и реинвестирование процентов.
Наращение. Рост. Компаудинг.
Первоначальная сумма.
Наращенная сумма.
Множитель наращения.
Ставка наращения. Ставка процентов.
Декурсивные проценты.
Проценты «на сто».
Учетные ставки. Дисконтные ставки.
Антисипативные проценты.
Проценты «со ста».
Фиксированные процентные ставки.
Плавающие процентные ставки.
Маржа.
Дискретные проценты.
Непрерывные проценты.
Простые проценты.
Формула простых процентов.
Множитель наращения по простым процентам.
График роста по простым процентам.
48
Обыкновенные (коммерческие) проценты.
а) 13 %;
б) 6⅔ %;
в) 5⅜ %;
г) 2⅛ %.
Точные проценты.
Точный способ определения числа дней ссуды.
Приближенный способ определения числа дней ссуды.
Точные проценты с точным числом дней ссуды.
Английская практика.
Обыкновенные проценты точным числом дней ссуды.
Французская практика.
Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Немецкая практика.
Американский метод расчета приближенного числа дней ссуды.
Европейский метод расчета приближенного числа дней ссуды.
Процентное число.
Процентный ключ. Дивизор.
Задание 3. Дайте устные ответы на контрольные вопросы:
1. Что понимается под процентами в финансовых вычислениях?
2. Что такое процентная ставка?
3. Какие существуют классификации процентные ставок?
4. Какие методики расчета сроков финансовой операции приме-
няются на практике?
5. Почему лишен смысла расчет точных процентов с приближен-
ным числом дней ссуды?
6. При каком способе учета временной базы могут применяться
американский и европейский методы расчета приближенного числа
дней ссуды?
Задание 4. Выполните письменно учебные упражнения. По своему
выбору или по заданию преподавателя дайте письменные ответы на два
вопроса из перечисленных ниже.
1. Составьте таблицу порядковых номеров дней в году для 360-
дневного года.
2. Почему существуют различные методы расчета срока финансо-
вой операции?
3. В каких документах регламентируется использование того или ино-
го метода определения срока финансовой операции конкретным банком?
Задание 5. Решите задачи.
Задача 1. Представьте в виде десятичной дроби с точностью до
четвертого десятичного знака следующие процентные ставки:
49
Задача 2. Представить каждую из следующих дробей в виде про-
а) 0,065;
б) 0,04;
в) 3/50;
г) 8,20/240.
центных ставок с точностью до сотой доли процентов:
Задача 3. Номинальная процентная ставка равна 12 % годовых.
Определите релятивные ставки:
а) полугодовую; б) квартальную; в) месячную.
Задача 4. 300 тыс. руб. вложены в банк 15 декабря 2012 г. на 12
мес. под 12 % годовых. Определите множитель наращения, наращенную сумму и сумму процентов, если применяются:
а) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды;
б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
в) точные проценты с точным числом дней ссуды.
Задача 5. Ссуда в размере 300 тыс. руб. выдана 16 января 2012 г.
до 12 ноября 2002 г. под 12 % годовых. Какую сумму заплатит должник
в конце срока при использовании различных способов измерения числа
дней ссуды и числа дней в году?
Задача 6. Используя данные задачи 4, распределите общую сумму
процентов между 2012 и 2013 гг. при разных методах расчета процентов.
Задача 7. Ссуда в размере 300 тыс. руб. выдана 25 марта до 31 мая 2013
г. под 12 % годовых (простые проценты). Какую сумму заплатит должник в конце срока, если применяются обыкновенные проценты:
а) с европейским методом расчета приближенного числа дней ссуды;
б) с американским методом расчета приближенного числа дней ссуды.
Задача 8. 15 мая 2012 г. 9 500 руб. вложены под 10 % годовых
(простые проценты). Определите дату, когда сумма начисленных процентов составит 100 руб., если используются обыкновенные проценты
с приближенным числом дней ссуды.
Задача 9. 10 млн руб. вложены в банк на 4 мес. под 15 % годовых.
Найти наращенную сумму.
Задача 10. Капитал величиной 50 млн руб. вложен в банк с 6 марта
по 9 июля включительно под 20 % годовых. Определить сумму нара-
щенных процентов и наращенную сумму капитала.
Задача 11. Ссуда в размере 1 млн руб. выдана 20 января до 5 ноября
того же года включительно (год не високосный) под 18 % годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении
простых процентов? При решении применить все возможные методы
расчета.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]