Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие для обучающихся по направлению подготовки бакалавриата «Экономика»
.pdf
Множитель 72 имеет большое количество делителей, соответствующих малым процентам (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12), и потому более удобен
для использования в качестве делимого по сравнению с более точным
значением 69 и более легким для запоминания значением 70. По этой
причине правило используется как в виде «Правило 70», так и «Правило 72» (но и также «Правило 69»).
Альберт Эйнштейн назвал исчисление сложного процента роста
доходов «величайшим математическим открытием в истории человечества».
Пример. Как определить, когда ваши деньги вырастут в 2 раза
(сумма увеличится вдвое)?
Чтобы определить, за какое время количество ваших денег удвоится, можно воспользоваться так называемым «правилом 72». Просто
разделите число 72 на процентную ставку. Например, если вы вложили
деньги под 8 % годовых, разделив 72 на 8, вы получите число 9. Это
значит, что вам понадобится девять лет, чтобы удвоить свой вклад при
годовой ставке в 8 %.
Кто-то подсчитал, что один доллар, вложенный под 3 % во времена
Христа, сейчас стоил бы половину всех имеющихся в мире денег.
24 доллара, выплаченные голландцами местным индейцам за остров Манхэттен, если бы их положили в то время под 5 % годовых, сегодня стоили бы более 2,2 млрд долл.
«Правило семидесяти (правило 70), «правило 72», «правило 69» —
простой способ (приближенной) оценки срока, в течение которого величина вырастет вдвое при постоянном росте на некоторый процент.
Согласно «правилу 70»,
70 %
T ≈
,
r
где r — годовая ставка инфляции; T — срок (в годах) удвоения цен.
Первое упоминание о правиле содержится у Луки Пачоли в его математическом труде «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности» (1494). Пачоли не приводит расчет и не
объясняет данное правило, что позволяет сделать вывод о том, что оно
было известно и ранее.
Абсолютная погрешность при использовании «правила70» не превышает четырех месяцев, если только годовое значение инфляции не
превышает 1,01 %.
61
При ставке 2 % точная формула и «правило70» дают идентичные
результаты.
Относительная погрешность, начиная со ставки 2 % и выше,
непрерывно растет, достигая 9,86 % при ставке 25 %.
«Правило 70» может использоваться не только для оценки инфляции, но также для любых других процессов.
Примеры использования:
1. Оценка срока, в течение которого цены упадут вдвое в резуль-
тате дефляции, если за год они падают на определенное значение процентов.
2. Оценка срока, в течение которого ВВП удвоится при заданном
темпе экономического роста.
3. Оценка срока, в течение которого удвоится вклад в банке при
заданной процентной ставке.
4. Закон радиоактивного распада: за тысячелетие количество ра-
диоактивного материала в слитке падает на определенное значение
процентов. Через какое время количество радиоактивного материала
сократится вдвое?
Срок при этом не обязательно исчисляется в годах; нужно только,
чтобы коэффициент говорил об изменении величины за ту же единицу
времени, в каких измеряется период удвоения.
Кроме того, величина может уменьшаться за единицу времени.
Тогда, конечно, оценивается срок не удвоения величины, а уменьшения ее вдвое.
62
Рис. 18. Влияние уровня инфляции на погрешность вычисления
по правилам приближенного счета
Контрольные вопросы и задания
Задание 1. Изучите вопросы темы:
1. Сущность и формула сложных процентов.
2. Соотношение роста по простым и сложным процентам.
3. Начисление сложных процентов несколько раз в году.
4. Наращение по сложным процентам при дробном количестве пе-
риодов начисления.
5. Определение срока ссуды, формулы удвоения и правила при-
ближенного счета.
Задание 2. Изучите опорные понятия и уясните содержание каж-
дого из них, составьте словарь опорных понятий.
Опорные понятия
Капитализация процентов.
Реинвестирование процентов.
Сложный декурсивный коэффициент.
Множитель наращений по сложным процентам.
63
Таблицы множителей наращения по сложным процентам.
Точность расчета множителя наращения.
Формула наращения по сложным процентам.
График роста по сложным процентам.
Номинальная годовая процентная ставка.
Релятивная процентная ставка.
m-разовое начисление сложных процентов в году.
Полугодовая капитализация процентов.
Ежеквартальная капитализация процентов.
Ежемесячная капитализация процентов.
Ежедневная капитализация процентов.
Непрерывная капитализация процентов.
Сила роста.
Счеты Андрея Платоновича Пеленкина.
Наращение по сложным процентам при дробном количестве периодов начисления.
Общий метод наращения по сложным процентам при дробном количестве периодов начисления.
Смешанный (комбинированный) метод наращения по сложным
процентам при дробном количестве периодов начисления.
Формулы удвоения.
«Правило 69».
«Правило 70».
«Правило 72».
Практическое использование «правила 72».
Задание 3. Дайте устные ответы на контрольные вопросы:
1. При каких сроках финансовых операций чаще используются
сложные проценты? Почему?
2. В чем состоит смысл реинвестирования (капитализации) процен-
тов?
3. Что такое сила роста?
4. Чем определяется точность расчета множителя наращения по
сложным процентам в практических расчетах?
5. Как влияет частота начисления процентов на выгодность кон-
тракта при условии начисления по сложным процентам?
64
6. Почему нет однозначного решения задач в том случае, когда
продолжительность финансовой операции не измеряется целым числом
лет?
7. Какой метод используется при наращении по сложным процен-
там при дробном количестве периодов начисления?
8. Для каких целей используются формула удвоения и «правило
72»? Поясните «правило 72». Когда его можно использовать?
Задание 4. Выполните письменно учебные упражнения.
Разработайте с помощью табличного процессора Excel таблицу
множителей наращения по сложным процентам.
Постройте в одной системе координат графики роста денежной
суммы при наращении по простой и сложной процентным ставкам
одинакового уровня — 12 % годовых, используя сервис онлайнпостроения графиков сайта http://yotx.ru.
Задание 5. Решите задачи.
Задача 1. 3 млн руб. вложены на 5 лет под 6 % годовых. Определи-
те множитель наращения и наращенную сумму долга, если:
а) проценты не капитализируются (простые проценты);
б) проценты капитализируются ежегодно;
в) проценты капитализируются два раза в год (по полугодиям);
г) проценты капитализируются ежеквартально;
д) проценты капитализируются ежемесячно.
Задача 2. Номинальная годовая процентная ставка равна 28 %.
Определите относительные (релятивные) ставки:
а) полугодовую;
б) квартальную;
в) месячную.
Задача 3. Один банк принимает вклад 100 тыс. руб. сроком на 1 год
под 60 % годовых с ежемесячным начислением и реинвестированием
процентов. Другой банк принимает такой же вклад на тот же срок под 62
% годовых с ежеквартальным начислением и реинвестированием процентов. Где условия для вкладчика более выгодны и выше доход?
Задача 4. Кредит в сумме 300 тыс. руб. выдан на 2 года и 183 дня
под 10 % годовых, проценты капитализируются один раз в год. Определите наращенную сумму, если используется общий метод.
65
Задача 5. Кредит в сумме 300 тыс. руб. выдан на 2 года и 183 дня
под 10 % годовых, проценты капитализируются один раз в год. Определите наращенную сумму, если используется смешанный метод.
Задача 6. Остров Манхэттен, на котором расположена центральная
часть Нью-Йорка, был выменян за 24 долл. Стоимость земли этого острова через 350 лет оценивалась примерно в 40 млрд. долл. Определите
годовую процентную ставку, обеспечивающую такой рост при:
а) ежегодной капитализации процентов;
б) капитализации процентов по полугодиям.
Задача 7. За какой срок сумма, равная 100 тыс. руб., достигает
200 тыс. руб. при наращении по сложной ставке 12 % годовых при:
а) ежегодной капитализации процентов;
б) ежеквартальной капитализации процентов.
Задача 8. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн руб., че-
рез пять лет при росте по сложной ставке 12 % годовых (проценты капитализируются ежеквартально).
66
5. ДИСКОНТИРОВАНИЕ И ОПЕРАЦИИ С УЧЕТНЫМИ СТАВКАМИ
5.1. Сущность и методы дисконтирования
В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной
наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить
через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной
ссуды P.
Такая ситуация может возникнуть при разработке условий контракта.
Расчет P (первоначальной суммы) по S (наращенной сумме) необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются непосредственно при выдаче ссуды, т. е. вперед, или при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем.
В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержания называют
учетом, а удержанные проценты — дисконтом.
Термин «дисконтирование» употребляется и в более широком
смысле — как средство определения любой стоимостной величины,
относящейся к будущему на конкретный, более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостного показателя
к заданному, обычно начальному моменту времени.
Величину P, найденную с помощью дисконтирования, называют со-
временной (текущей) стоимостью величины S (в зависимости от контек-
ста).
Это понятие — одно из важнейших в количественном анализе финансовых операций, так как именно с помощью дисконтирования (а не
наращения) учитывается фактор времени в экономических расчетах.
Исходя из целей дисконтирования и вида процентной ставки, при-
меняют два метода дисконтирования:
1) математическое дисконтирование;
2) банковский (коммерческий) учет.
В первом случае используется ставка наращения, во втором —
учетная ставка.
5.2. Математическое дисконтирование по простым процентам
67
Математическое дисконтирование представляет собой формальное
решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в
конце срока сумму S при условии, что на долг начисляются проценты по
ставке i?
S = P(1 + ni) P =
S
P =
1+ni
S
;
1+ni
. (10)
Устанавливаемая таким путем величина P является современной
величиной суммы S, которая будет выплачена спустя n лет.
Дробь
1
называют дисконтным множителем по простым про-
1+ni
центам при математическом дисконтировании. Он показывает, какую
долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его
сумме.
Разность (S – P) можно рассматривать не только как проценты,
начисленные на P, но и как дисконт с суммы S.
Пример. Через 180 дней после подписания договора должник
уплатит 500 тыс. руб. Кредит выдан под 30 % годовых. Какова
первоначальная сумма долга при условии, что временная база
равна 365 дней?
Дисконт равен:
D = S – P = 500000 – 435560,89 = 64439,11.
Дисконт равен как скидка с конечной суммы долга не обязательно
определяется через процентную ставку, он может быть установлен по
соглашению сторон и в виде абсолютной величины для всего срока.
5.3. Операции с простой учетной ставкой.
Наращение и дисконтирование по простой учетной ставке
68
При наращении по учетной (дисконтной) ставке проценты за пользование ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце
срока ссуды.
Процентные деньги при этом (т. е. величина дохода от предоставления денег в долг) называют дисконтом (D):
D = S – P.
По определению годовая учетная ставка (D) находится как отношение:
D = (S – P) / (S n) S = P / (1 – nd),
где d — учетная ставка.
P
S =
. (11)
1 - nd
Это формула наращения по простой учетной ставке, где величина
1
представляет собой множитель наращения, в основу которого по-
1 - nd
ложена учетная ставка (множитель наращения при антисипативном вычислении простых процентов).
P = S(1 – nd). (12)
Это формула дисконтирования по простой учетной ставке.
Величина (1 – nd) — дисконтный множитель при применении
учетной ставки.
Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при
временной базе К = 360 дней; число дней ссуды обычно берется точным.
При вычислениях с использованием учетной ставки чаще всего
возникает необходимость в определении дисконта и первоначальной
суммы долга.
Рассмотрим применение учетных ставок в практических расчетах.
Суть операции банковского (коммерческого) учета (учета векселей) заключается в следующем.
69
Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю (или иному платежному обязательству) приобретает
его у владельца по цене меньшей суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т. е. приобретает (учитывает) его с дисконтом, (т. е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги,
банк реализует дисконт.
В свою очередь, владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги, хотя и не в полном объеме, однако раньше
указанного в нем срока.
Таким образом, задача сводится к нахождению P и D при известной сумме S, т. е. к определению цены векселя и величины дисконта.
Пример. Выдан вексель на сумму 2 млн руб. с оплатой 16 ноября.
Вексель учтен в банке 23 сентября, учетная ставка 16 %. Необходимо
найти полученную при учете сумму.
Решение. Определяем оставшийся до уплаты срок:
сентябрь 30 – 23 = 7 дней
октябрь 31 день
ноябрь 16 дней
t = 54 дня
P = S(1 – nd) = 2 000 000∙(1 – 54/360 0,16) = 1 952 000;
D = S – P = 2 000 000 – 1 952 000 = 48 000 руб.
Необходимость в наращении по учетной ставке возникает при
определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана
текущая сумма долга.
Например, задача, обратная предыдущей.
Определить, какую сумму необходимо проставить в векселе, который выписывается 18 августа со сроком погашения 16 ноября при
учетной ставке 16 %, если текущая сумма долга 1 920 000 руб.
Решение:
август 31 – 18 = 13 дней
сентябрь 30
октябрь 31
ноябрь 16
t = 90 дней
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]