Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Учебное пособие для обучающихся по направлению подготовки бакалавриата «Экономика»
.pdf
S =
0113571,2
1
)15,01(
1
5
P
1 nd
Ставка наращения и учетная ставка применяются для решения
сходных задач.
Для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной — дисконтирование. Для учетной ставки,
наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная — в
наращении.
5.4. Математическое дисконтирование по сложным процентам
При математическом дисконтировании по сложным процентам имеем:
Величину Vn =
S = P(1 + i)
1
1
=
n
(1+i)
q
n
P = S / (1 + i)
называют дисконтным множителем.
n
n
.
Значения дисконтного множителя приводятся в таблицах.
Если проценты начисляются m раз в году, получаем:
S = P(1 + j/m)
mn
. (13)
В этом случае табулировать значение дисконтного множителя без
предварительных вычислений затруднительно, поэтому проще рассчи-
тать
и mn, а затем воспользоваться таблицами или специальным
калькулятором.
Пример 1.
Сумма 10 млн руб. выплачивается через пять лет. Необходимо
определить ее современную стоимость при условии, что применяется
ставка сложных процентов, равная 15 % годовых (т. е. проценты начисляются ежегодно).
Дисконтный множитель составит:
.
Современная величина этой суммы равна:
71
P = 10 млн руб. 0,497176735 = 4 971 767,35,
;478892342,0
)1(
1
54
4
15,0
.474567603,0
)1(
1
512
12
15,0
т. е. 4 млн 971 тыс. 765 руб. 35 коп.
Пример 2.
Условия те же, но проценты начисляются:
а) ежеквартально:
б) ежемесячно:
Современная величина суммы денег зависит от:
ставки процента — чем выше ставка процента, тем сильнее дис-
контирование (уменьшение), дисконтный множитель меньше;
срока платежа — с увеличением срока размер современной сто-
имости убывает;
количества периодов начисления в году — чем чаще происходит
дисконтирование, тем оно ощутимее, тем меньше дисконтный множитель.
Инфляционные ставки приводят к бессмысленным результатам даже при относительно небольших сроках: при ставке 200 % и сроке 5 лет
дисконтный множитель равен 0,004116, т. е. близок к нулю.
Если при учете применяют сложную учетную ставку, то процесс
дисконтирования происходит с замедлением, так как каждый раз учетная ставка применяется к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени.
Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по форму-
ле:
P = S(1 d)
n
. (14)
Эта формула получена следующим образом:
P
S=
1 nd
72
S
P
=
1
1 d
S
2
S3=
=
1 d
S
1
1 d
S
2
=
=
1 d
P
1 d
P
/
1 d=
/
1 d=
1 d
1 d
P
;
2
P
Если дисконтирование производится не один раз, а m раз в году,
т. е. каждый раз по ставке f/m, то формула приведения имеет вид:
P = S(1 – f/m)mn, (15)
а формула наращения:
(1
P
(16)
mn
f
)
m
S =
Формула наращения по сложной учетной ставке имеет вид:
S = P / (1 – d)n. (17)
Величину 1/(1 – d)n называют множителем наращения при ис-
пользовании сложной учетной ставки.
По аналогии с номинальной и эффективной ставкой процентов существуют понятия:
номинальная учетная ставка — f (годовая учетная ставка);
эффективная учетная ставка — годовая учетная ставка, которая
даст тот же результат, что и m — разовое дисконтирование в году по
номинальной ставке f.
Пример.
Облигация на сумму 10 млн руб., срок платежа по которой поступает через 4 года, продана с дисконтом по сложной учетной ставке 12
% годовых. Какова сумма дисконта:
а) при дисконтировании один раз в год:
P = 10 000 000∙(1 – 0,12)∙4 = 10 000 000 0,599695360 =
= 5 996 953,60 руб. — цена облигации.
Дисконт S – P = 10 млн – 5 млн 996 тыс. 953 руб. 60 коп.;
73
б) при ежеквартальном дисконтировании:
S = 10 000 000∙(1 – 0,12/4)∙44 = 6 142 531 руб.
Контрольные вопросы и задания
Задание 1. Изучите вопросы темы:
1. Сущность и методы дисконтирования.
2. Математическое дисконтирование по простым процентам.
3. Операции с простой учетной ставкой, наращение и дисконтиро-
вание по простой учетной ставке.
4. Математическое дисконтирование по сложным процентам.
5. Операции со сложной учетной ставкой, наращение и дисконти-
рование по сложной учетной ставке.
Задание 2. Изучите опорные понятия и уясните содержание каж-
дого из них, составьте словарь опорных понятий.
Опорные понятия
Дисконтирование.
Дисконт.
Приведение.
Современная (текущая) стоимость.
Методы дисконтирования.
Математическое дисконтирование.
Дисконтный множитель.
Банковский учет.
Наращение по простой учетной ставке.
Дисконтирование по простой учетной ставке. Математическое
дисконтирование по сложным процентам.
Дисконтирование по сложной учетной ставке.
Задание 3. Дайте устные ответы на контрольные вопросы.
1. Что характеризует дисконтный множитель?
2. Какой метод оценки срока финансовой операции обычно ис-
пользуется при учете векселей?
3. В чем заключаются прямая и обратная задачи при использова-
нии ставок наращения и учетных ставок?
4. Какие факторы влияют на современную величину стоимости?
5. Как изменится дисконтный множитель при повышении ставки
процента?
74
6. Как изменится дисконтный множитель при увеличении срока
платежа?
7. Как влияет периодичность дисконтирования на дисконтный
множитель?
Задание 4. Выполните письменно учебные упражнения.
1. Разработайте с помощью табличного процессора Excel таблицу
дисконтных множителей по сложным процентам.
2. Постройте в одной системе координат графики дисконтирова-
ния денежной суммы по простой и сложной процентным ставкам одинакового уровня — 12 % годовых, используя сервис онлайн-построения
графиков сайта http://yotx.ru.
Задание 5. Решите задачи.
Задача 1. Через 150 дней после подписания договора должник
уплатит 100 тыс. руб. Кредит предоставлен под 12 % годовых. Какова
первоначальная сумма долга и величина дохода, если временная база
— 360 дней.
Задача 2. Вексель выдан на сумму 300 тыс. руб. с уплатой 15 июля.
Вексель учтен в банке 26 мая по учетной ставке 12 % годовых. Определите полученную при учете сумму и величину дисконта.
Задача 3. Определите, какую сумму необходимо представить в
векселе, который выписывается 20 июня со сроком погашения 15 июля
при простой учетной ставке 12 %, если текущая сумма долга — 297 500
руб.
Задача 4. Вексель выписывается 20 июня при простой учетной
ставке 12 %. Текущая сумма долга — 297 500 руб. Определите такую
дату погашения векселя, чтобы сумма к оплате составляла 30 500 руб.
Задача 5. Облигация на сумму 100 тыс. руб., срок платежа по ко-
торой наступает через 5 лет, продана с дисконтом по сложной учетной
ставке 16 % годовых. Какова сумма дисконта, если дисконтирование
осуществляется:
а) 1 раз в год;
б) ежеквартально.
Задача 6. Сумма 10 млн руб. выплачивается через пять лет. Определите ее современную стоимость при условии, что применяется
ставка сложных процентов, равная 15 % годовых, а проценты начисляются ежегодно.
Задача 7. Сумма 10 млн руб. выплачивается через пять лет. Опре-
делите ее современную стоимость при условии, что применяется ставка
75
сложных процентов, равная 15 % годовых, а проценты начисляются
ежеквартально.
Задача 8. Сумма 10 млн руб. выплачивается через пять лет. Определите ее современную стоимость при использовании сложных процентов 15 % годовых с ежемесячным начислением.
76
6. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ
6.1. Потоки платежей, их классификация и основные параметры
Современные финансово-кредитные операции часто предполагают
не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени (погашении задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т. д.). Такие последовательности или ряды платежей называют потоком плате-
жей, потоком наличности, денежным потоком, cash-flow (кэш-фло).
Отдельный элемент этого ряда называют членом потока. Введение понятия «поток платежей» в практику количественного анализа
произошло сравнительно недавно, это расширило его возможности и
рамки.
Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными.
В нерегулярном потоке платежей членами являются как положительные величины (поступления), так и отрицательные величины (выплаты), а соответствующие платежи могут производиться через разные
интервалы времени.
Поток платежей, все члены которого положительные величины,
а временные интервалы между платежами одинаковы, называют фи-
нансовой рентой, или просто рентой, а иногда аннуитетом независимо от назначения или происхождения платежей (например, рентой
является последовательность получения процентов по облигации,
платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т. д.).
Для финансовых рент разработаны стандартные формулы, что
упрощает количественный их анализ и проводимые расчеты.
Рента характеризуется следующими параметрами:
член ренты — размер отдельного платежа;
период ренты — временной интервал между двумя последова-
тельными платежами;
срок ренты — время от начала первого периода ренты до конца
последнего периода;
процентная ставка — размер не всегда оговаривается.
77
При характеристике отдельных видов рент необходимы дополнительные условия и параметры: число платежей в году, способ и частота
начислений процентов, а также обобщающие параметры.
Чаще всего анализ потоков платежей предполагает расчет одной из
двух обобщающих характеристик: наращенной суммы или современной стоимости.
Наращенная сумма потока платежей (amount of cash flow) —
сумма всех его членов с начисленными на них к концу срока процентами.
Под современной стоимостью потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени (в старой русской финансовой
литературе аналогичный по содержанию показатель назывался настоящей ценой платежей).
Наращенная сумма может представлять собой общую сумму
накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв и т. д.
Современная стоимость характеризует приведенные к началу осуществления проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль от реализации проекта и т. п.
Обобщающие параметры потоков платежей используются:
1) для разработки планов последовательного погашения задолженно-
сти;
2) для измерения эффективности проекта;
3) для сравнения безубыточного изменения условий контрактов и
т. д.
В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу
их классификации могут быть положены различные признаки. Рассмотрим некоторые из таких классификаций.
По количеству выплат членов ренты на протяжении года
можно выделить:
годовые ренты (выплата один раз в год);
р-срочные ренты (р — количество выплат в году);
ренты с периодами, превышающими один год, применяются
реже, но встречаются.
Перечисленные виды рент называют дискретными. В финансовой
практике встречаются и с такими последовательностями платежей, ко-
78
торые производятся столь часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.
По количеству начислений процентов на протяжении года различают:
ренты с ежегодным начислением;
ренты с начислением m раз в году;
ренты с непрерывным начислением.
По количеству членов различают:
ренты с конечным числом членов, т. е. ограниченные по срокам
ренты (их срок заранее оговорен);
бесконечные, или вечные ренты.
С вечной рентой встречаются на практике в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что период функционирования анализируемой системы или срок операции весьма продолжителен и не оговаривается
конкретными деталями. В качестве вечной ренты логично рассматривать и
выплаты процентов по облигационным займам с неограниченными срока-
ми.
По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента
времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия
контракта или дата его заключения), ренты делятся на:
немедленные;
отложенные, или отсроченные.
Моменты начисления процентов необязательно совпадают с моментами выплат членов ренты. Однако расчеты заметно упрощаются,
если два указанных момента совпадают.
По величине своих членов ренты делятся на:
постоянные (с одинаковыми платежами);
переменные — члены переменных рент изменяют свои размеры
во времени, следуя какому–либо закону, например, арифметической
или геометрической прогрессии, либо несистематично (задаются таблицы).
По вероятности выплат ренты делятся на:
верные;
условные.
Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно.
Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления
некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее не-
79
известны. К условным рентам относятся страховые аннуитеты — различные последовательные платежи в имущественном и личном страховании (например, пожизненная выплата пенсии).
Очень важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то соответствующие ренты называют обыкновенными, или постнумерандо. Если же платежи производятся в начале периодов, то их
называют пренумерандо. Иногда контракты предусматривают платежи
или поступления денег в середине периодов.
6.2. Наращение финансовых рент.
Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносят по R
рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i процентов годовых. Таким образом, имеется рента, член которой равен R, а
срок n. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты: на
первый член процента начисляются n — 1 год, на второй n — 2 и т. д.
На последний взнос проценты не начисляются (рента постнумерандо).
Напомним, что геометрическая прогрессия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на
определенное число (знаменатель прогрессии).
Формула суммы первых n первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
Sn=
n
bi
i=1
bn q - b
=
q - 1
1
=
nb
, если q = 1
1
n
b
1
q
q - 1
- 1
, если q ≠1;
Отсюда:
Обозначим множитель, на который умножается R, через S
80
:
n;i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]