Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории автоматического управления. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Рис. 5.4. Примеры кривых Михайлова для различных систем:

а – устойчивые системы; б – неустойчивые системы

Рис. 5.5. Примеры кривых Михайлова для различных систем,

находящихся на границе устойчивости: а – апериодическая граница устойчивости; б – колебательная граница устойчивости; в – граница устойчивости в случае бесконечного корня

Нахождение системы на границе устойчивости по виду кривой Михайлова проиллюстрировано на рис. 5.5. В случае апериодической границы устойчивости (нулевой корень) годограф Михайлова выходит из начала координат (рис. 5.5, а). В случае колебательной границы устойчивости (мнимый корень) годограф Михайлова попадает в начало координат в точ-

ке  = 0 (рис. 5.5, б), а частота 0 будет частотой незатухающих колебаний системы. В случае границы устойчивости третьего рода (бесконечный корень) конец годографа Михайлова перебрасывается (рис. 5.5, в), при этом коэффициент характеристического полинома аn будет проходить через нулевое значение, меняя знак с плюса на минус.

5.4. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

вых

apa...papa

bpb...pbpb

)р(Х

)р(X

)p(W











)(iV)(Ue)(A)i(K

)(i





tsinAx

вх



)tsin(Ax

выхвых



вх

вых

)(А 

Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости

замкнутой САУ по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) разомкнутой системы.

АФЧХ разомкнутой системы имеет вид

. (5.15)

При подстановке р = i в выражение (5.15) получается АФЧХ (ча-

стотная передаточная функция) разомкнутой системы:

. (5.16)

АФЧХ разомкнутой системы представляет собой комплексное число (вектор на комплексной плоскости). Если на вход разомкнутой системы подать сигнал ошибки в виде гармонической функции

с ам-

плитудой Авх и частотой , то на установившемся режиме выходная величина будет изменяться тоже по гармоническому закону с той же частотой

, но уже в общем случае с амплитудой А

и фазо-

вых

вым сдвигом . Модуль частотной передаточной функции (длина вектора) представляет собой отношение амплитуд выходной и входной величин:

а аргумент (угол поворота вектора) – фазовый сдвиг .

Если частоту входного воздействия  изменять от нуля до бесконечности и откладывать на комплексной плоскости точки, соответствующие концу вектора, то геометрическое место этих точек образует положительную ветвь АФЧХ разомкнутой системы (на рис. 5.6, а, сплошная линия). Для построения ветви этой характеристики, соответствующей отрицательным частотам, необходимо зеркально отразить положительную ветвь АФЧХ относительно вещественной оси (на рис. 5.6, а, пунктирная линия).

Все автоматические системы можно условно разделить на статические и астатические (см. п. 1.3). У статических систем передаточная функция (5.15) не будет иметь в качестве множителя в знаменателе оператор р,

а АФЧХ такой системы непрерывна (не имеет точек разрыва). Иначе для

)1pApA...pA(

)1pB...pBpB(

)p(W









Рис. 5.6. АФЧХ разомкнутых систем:

а, б – абсолютно устойчивая статическая система;

в – условно устойчивая статическая система

а б в

передаточных функций астатических систем

где r – порядок астатизма системы.

Формулировка критерия устойчивости Найквиста для статических си-

стем: замкнутая САУ будет устойчивой, если годограф АФЧХ разомкну-

той системы при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывает точку с координатами (–1; i0) (рис. 5.6, б).

САУ называют абсолютно устойчивой, если она остается устойчивой

при любом уменьшении коэффициента усиления разомкнутой цепи K (рис. 5.6, б).

САУ называют условно устойчивой (рис. 5.6, в), если она остается устойчивой при изменении значения коэффициента усиления разомкнутой цепи в некоторых пределах (как при увеличении, так и при уменьшении K).

Система будет находиться на границе устойчивости колебательного типа, если при некоторой частоте 0 годограф АФЧХ (рис. 5.7, а) будет

пересекать точку (–1; i0). Если годограф АФЧХ охватывает точку с координатами (–1; i0), то система будет неустойчивой (рис. 5.7, б).

Рассмотрим теперь устойчивость астатических систем. АФЧХ разомкнутой астатической системы будет иметь бесконечный разрыв в точке

 = 0. В этой точке длина вектора будет стремиться к бесконечности А( = 0)  , а фаза сделает скачок на r  180° (r  ), т. е. на комплекс- ной плоскости амплитудно-фазовая частотная характеристика сделает по-

ворот по часовой стрелке (рис. 5.8).

Рис. 5.7. АФЧХ разомкнутых систем:

а – система, находящаяся на колебательной границе устойчивости;

б – неустойчивая система

Рис. 5.8. АФЧХ разомкнутых систем:

а – система с астатизмом первого порядка;

б – система с астатизмом второго порядка

а б

Формулировка критерия устойчивости Найквиста для астатических

систем: для определения устойчивости САУ с астатизмом любого поряд-

ка достаточно построить только одну ветвь АФЧХ, соответствующую положительным частотам, которая должна быть дополнена окружностью (дугой, полуокружностью) бесконечно большого радиуса. Для устойчивой в замкнутом состоянии САУ эта ветвь вместе с частью окружности (дуги, полуокружности), заключенной между положительной полуосью вещественных значений и АФЧХ, соответствующей положительным частотам, не должна охватывать точку с координатами (–1; i0).

АФЧХ устойчивых систем показаны на рис. 5.9. Из этого рисунка

 

iW

Рис. 5.9. АФЧХ разомкнутых систем с различной степенью астатизма:

а – САУ с астатизмом нулевого порядка (статическая);

б – САУ с астатизмом первого порядка; в – САУ с астатизмом второго

порядка; г – САУ с астатизмом третьего порядка

следует, что абсолютная устойчивость может быть получена у САУ при степени астатизма r  2. При степени астатизма 3 и более может быть по-

лучена только условная устойчивость.

Критерий Найквиста можно сформулировать и для логарифмических частотных характеристик. Этот способ и будет рассмотрен ниже.

5.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КРИТЕРИЯ НАЙКВИСТА

ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ

ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

Возможность использования критерия Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы основана на однозначной связи между АФЧХ

разомкнутой системы.

и ЛАЧХ, ЛФЧХ

Рассмотрим эту связь на примере САУ с астатизмом первого порядка,

 

  

1рT1рTр





ср



   

1iWA

срср



   

0Alg20L

срср







   

180iWarg 



Рис. 5.10. Частотные характеристики САУ с астатизмом первого порядка:

а – амплитудно-фазовая частотная характеристика;

б – логарифмическая амплитудно-частотная L()

и фазочастотная () характеристики

которая имеет передаточную функцию разомкнутой системы

ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФЧХ такой системы приведены на рис. 5.10.

Частота

, при которой амплитудно-фазовая частотная характери-

стика пересекает окружность единичного радиуса или ЛАЧХ пересекает ось частот и меняет знак, называется частотой среза:

; (5.17)

. (5.18)

Таким образом, при частоте среза амплитуды выходных и входных колебаний равны, т. е. не происходит ни усиление, ни ослабление выходного гармонического сигнала.

Частоту, при которой амплитудно-фазовая частотная характеристика пересекает отрицательную полуось вещественных значений, обозначают

. Значение ФЧХ при этой частоте равно – (или –180о):

. (5.19)

На основании критерия Найквиста можно утверждать, что замкнутая

 

iW

   

1iWA 



   

0Alg20L 



ср







 

0L 



 

ср

180





ср





ср





САУ будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы

не будет

охватывать точку с координатами (–1; i0), что возможно лишь тогда, когда ветвь АФЧХ пересекает отрицательную вещественную полуось на участке от –1 до 0. При этом фазовый сдвиг, равный –180о, должен быть при длине вектора (модуле АФЧХ) меньше единицы:

. (5.20)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика в этом случае

. (5.21)

Исходя из вышеизложенного, сформулируем условия устойчивости

замкнутой системы для случая наличия значений

и (или)

1) замкнутая САУ будет устойчивой, если при достижении фазоча-

стотной характеристикой значения –180° ЛАЧХ будет отрицательна, т. е.

;

2) замкнутая САУ будет устойчивой, если при пересечении логариф-

мической амплитудно-частотной характеристикой оси частот ФЧХ будет больше –180°, т. е.

; (5.22)

3) замкнутая САУ будет устойчивой, если выполняется условие . (5.23)

Если

вости, если

, то САУ находится на колебательной границе устойчи-

, то САУ будет неустойчивой.

В случае, когда фазочастотная характеристика неоднократно пересекает линию –180°, можно говорить об условной устойчивости астатической системы.

5.6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ЗАПАСАХ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ

Запас устойчивости системы определяется по удалению амплитуднофазовой частотной характеристики разомкнутой системы (рис. 5.10, а) от точки с координатами (–1; i0). Если АФЧХ устойчивой системы расположена близко к этой точке, то при изменении параметров САУ или ее эле-

ментов в процессе изготовления и эксплуатации система может стать не-

 

iW

зап



   



 A1iW1A

зап

 

ср

зап

180 

   



 LAlg20L

зап

5,0А

зап



зап

30

дБ6L

зап



устойчивой. Поэтому любая система автоматического управления должна иметь запас устойчивости.

Запас устойчивости замкнутой САУ тем больше, чем дальше рас-

положена АФЧХ

разомкнутой системы от точки с координатами

(–1; i0).

Удаление АФЧХ от точки (–1; i0) оценивается двумя величинами

(рис. 5.10, а):

 запас устойчивости по амплитуде (по модулю);

 запас устойчивости по фазе.

Запасы можно рассчитать следующим образом:

; (5.24)

. (5.25)

Запасы устойчивости по амплитуде и фазе можно определить и по ло-

гарифмическим характеристикам разомкнутой САУ (рис. 5.10, б). Тогда запас устойчивости по амплитуде измеряют в дБ:

. (5.26)

Считаются достаточными следующие запасы устойчивости:

;

; (5.27)

Более подробно о критериях устойчивости САУ см. в источниках

[2–5, 7 и 8].

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определения понятиям: «устойчивость равновесия», «устой-

чивая система», «невозмущенное и возмущенное движение», «устойчивое движение». Чем характеризуются переходный и установившийся процессы системы? В каком случае САУ называется устойчивой?

2. Назовите необходимое, но недостаточное условие устойчивости.

Назовите необходимое и достаточное условие устойчивости. Когда необходимое условие устойчивости становится достаточным? В каких случаях система находится на границе устойчивости?

3. Что называется критерием устойчивости и какие критерии бывают?

4. Дайте определение критерия устойчивости Гурвица. Назовите

условия нахождения системы на границе устойчивости, используя матрицу коэффициентов характеристического уравнения.

5. Что такое характеристический полином и характеристический век-

тор? Как выглядит характеристический вектор на комплексной плоскости? Дайте все определения (формулировки) критерия устойчивости Михайлова. Приведите выражение связи между видом кривой Михайлова и знаками вещественных корней характеристического уравнения. Назовите условия нахождения системы на границе устойчивости по виду кривой Михайлова.

6. Что представляет собой АФЧХ разомкнутой системы? Как выгля-

дит АФЧХ на комплексной плоскости? Дайте все определения критерия устойчивости Найквиста для статических и астатических систем. Какие системы называются абсолютно устойчивыми, а какие условно устойчивыми. Назовите условие нахождения системы на границе устойчивости по виду АФЧХ разомкнутой системы.

7. Что называется частотой среза? Сформулируйте условия устойчи-

вости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы. В каком случае система находится на границе устойчивости по виду ЛЧХ?

8. Почему необходимо иметь запас устойчивости? Как можно опре-

делить запас устойчивости системы? Какие величины запасов считаются достаточными для САУ?

6. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ

)t(x)t(x)t(x

выхвх



)t(x)t(x

вых



0)t(x

вх



6.1. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ

Для нахождения качественных показателей системы автоматического управления используют так называемые критерии качества. В настоящий момент разработано большое число различных критериев качества САУ, которые условно можно разбить на четыре группы.

К первой группе относятся критерии устойчивости, т. е. критерии, определяющие запас устойчивости и устанавливающие, насколько далеко от границы устойчивости находится САУ. Наиболее опасной для САУ часто является колебательная граница устойчивости. Это обусловлено тем, что стремление повысить точность системы за счет повышения общего коэффициента усиления, как правило, приводит к приближению именно к колебательной границе устойчивости и возникновению незатухающих автоколебаний.

Ко второй группе относятся критерии точности, использующие для оценки качества величину установившейся ошибки в различных типовых режимах. Величина ошибки в простейшем случае может быть найдена как разность между требуемым и действительным значениями регулируемой величины:

Для систем стабилизации ошибка

при

Мгновенное значение ошибки в течение времени работы САУ наиболее полно позволяет судить о свойствах системы. Но в действительности такой подход не может быть реализован вследствие случайности задающего и возмущающего воздействий. Вследствие этого приходится оценивать эту характеристику качества САУ по некоторым свойствам, проявляющимся при различных установившихся типовых воздействиях.

К третьей группе критериев относятся так называемые показатели быстродействия САУ. Быстродействие – это быстрота реагирования автоматической системы на изменение задающих и возмущающих воздействий. Наиболее простой характеристикой быстродействия может выступать время затухания переходного процесса.

Четвертая группа критериев качества – это комплексные критерии, дающие оценку обобщенных свойств с помощью некоторых интегральных

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]