Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории автоматического управления. Учебное пособие
.pdf
в таком звене справедливым будет равенство
dtxkx
вхвых
dt
dx
kx
вх
вых
j
j
l
0j
'
j
i
вх
i
m
0i
i
n
0к
к
вых
к
к
dt
f(t)d
b
dt
(t)xd
b
dt
(t)xd
а
(t).xb(t)xb...(t)xb(t)xb
(t)xa(t)xa...(t)xa(t)xa
вх0вх1
вх
1)(m
1m
вх
(m)
m
вых0вых1
вых
1)(n
1n
вых
(n)
n
, что и опреде-
ляет название этого типа звеньев. Коэффициент k также является коэффициентом передачи звена и, если выходная и входная величины имеют одну
и ту же размерность, то коэффициент передачи получит размерность [с–1].
Если в установившемся режиме выходная величина звена и произ-
водная входной величины связаны линейной зависимостью
(рис. 2.2, в), то получим звено дифференцирующего типа. Коэффициент
пропорциональности k (он же коэффициент передачи звена) будет иметь
размерность [с], если выходная и входная величины имеют одинаковую
размерность.
Для каждого из звеньев САУ можно составить дифференциальное
уравнение, описывающее тот физический закон, который определяет процесс, происходящий в данном звене.
Совокупность составленных независимо друг от друга уравнений звеньев системы однозначно математически ее описывает. Производя сворачивание системы уравнений (исключая промежуточные переменные),
можно вывести дифференциальное уравнение системы.
Общий вид дифференциального уравнения линейной системы автоматического управления (или ее элемента) имеет вид
, (2.1)
где m, n, l – порядок производных в уравнении (обычно n > m и n > l ); ak,
bi, b
'
– постоянные коэффициенты при производных, зависящие от кон-
j
структивных и физических параметров элементов системы.
В случае отсутствия возмущающего воздействия (f = 0) уравнение
(2.1) будет иметь вид
(2.2)
Уравнение (2.2) и его решение описывают процесс воспроизведения
САУ (или звеном) задающего воздействия xвх(t) при отсутствии действующего возмущения.
21
Уравнение (2.1) в случае отсутствия задающего воздействия будет
f(t).b(t)fb...(t)fb(t)fb
(t)xa(t)xa...(t)xa(t)xa
'
0
'
1
1)(l
'
1l
(l)
'
l
вых0вых1
вых
1)(n
1n
вых
(n)
n
f
a
b
x
a
b
x
0
'
0
вх
0
0
уст
иметь вид
(2.3)
Уравнение (2.3) описывает процесс изменения выходной величины
САУ, когда на систему действует только возмущающее воздействие f(t).
Для анализа свойств САУ часто используют установившееся значение
выходной величины x
, полученное при неизменных входном сигнале
уст
(xвх= const) и возмущении (f = const).
Приняв в уравнении (2.1) условие установившегося процесса t и
обнулив все производные, имеем
. (2.4)
Из последнего уравнения видно, что результирующее установившееся
значение выходной величины при одновременном воздействии на САУ
(или звено) задающего сигнала xвх и возмущения f представляет собой алгебраическую сумму установившихся значений на выходе только при задающем воздействии и только при возмущающем воздействии. Это правило справедливо и в динамике.
Таким образом, можно сформулировать основное свойство линейных
систем (принцип суперпозиции): если к системе приложено одновременно
несколько внешних воздействий, то их совместный эффект равен сумме
эффектов, вызванных каждым воздействием в отдельности.
Принцип суперпозиции существенно облегчает динамический анализ
САУ, так как позволяет:
– отдельно изучать действие на систему задающих воздействий и воз-
мущений;
– использовать любой масштаб внешних воздействий;
– находить реакцию системы на производную от внешнего воздействия
путем дифференцирования реакции системы от внешнего воздействия;
– представлять сигнал любой сложности как сумму типовых сигна-
лов, а реакцию системы на сложный сигнал определять как сумму реакций
на типовые воздействия.
22
В теории автоматического управления для описания динамических
)р(X
)р(Х
)р(K
вх
вых
0
pt
выхвыхвых
dte)t(x)]t(x[L)р(Х
0
pt
вхвхвх
dte)t(x)]t(x[L)р(Х
).р(X)bpb...pbpb(
)р(X)apa...papa(
вх01
1m
1m
m
m
вых01
1n
1n
n
n
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m
вх
вых
apa...papa
bpb...pbpb
)р(Х
)р(Х
)р(K
процессов в системе (звене) обычно используют не линейные дифференциальные уравнения, а их операторные выражения, полученные с помощью преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях. Для
наглядного представления математической модели САУ в виде некоторой
структурной схемы, состоящей из типовых динамических звеньев, введем
понятие передаточной функции звена (системы).
Передаточная функция K(р) – это отношение изображения по Лапласу
выходной величины системы (звена) к изображению по Лапласу входной
величины при нулевых начальных условиях:
, (2.5)
где р – оператор дифференцирования (Лапласа) или комплексная переменная.
В числителе и знаменателе выражения (2.5) стоят изображения функций выходной и входной величин звена (системы), полученные с помощью преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях:
;
.
Таким образом, для определения K(p) звена необходимо получить его
дифференциальное уравнение системы в форме Лапласа при нулевых
начальных условиях (перейти к его изображению) и найти отношение
изображения выходной величины к изображению входной.
Рассмотрим это на примере дифференциального уравнения (2.2). Его
изображение в форме Лапласа при нулевых начальных условиях будет
(2.6)
Тогда передаточная функция, согласно определению, предстанет в виде дробно-рациональной функции от комплексной переменной p:
. (2.7)
23
Передаточные функции являются важными характеристиками звеньев
0. tпри 1
0; tпри 0
t1
0. tпри N
0; tпри 0
t1N
и САУ в целом, существенно упрощают получение математических моделей систем, их последующий анализ и синтез.
2.2. ТИПОВЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Для получения информации о динамических свойствах САУ необходимо найти решение ее дифференциального уравнения. Для этого должны
быть заданы законы изменения во времени входных воздействий (задающих и возмущающих). В общем случае входные воздействия изменяются
по сложному закону (задающее воздействие) или являются случайными
(возмущение). Однако на практике для оценки динамических свойств системы и ее звеньев достаточно ограничится несколькими типовыми воздействиями.
Типовое воздействие – простейшее воздействие, принятое для оценки
и сравнения динамических свойств САУ и ее звеньев.
Рассмотрим подробнее три основных типовых воздействия.
1. Единичная ступенчатая функция (единичный ступенчатый сигнал),
характеризуемая выражением xвх(t) = 1(t).
Графически функция представлена на рис. 2.3. Уравнение, описывающее функцию:
(2.8)
Предполагается, что x
= 0 при t < 0 , а x
вх
= 1 при t 0. Единица бу-
вх
дет иметь размерность физической величины на входе звена.
Если высота такой ступенчатой функции отлична от единицы (x
вх
0),
функция будет называться ступенчатой (рис. 2.4) и описываться уравнением
Основное свойство единичной ступенчатой функции: умножение
произвольной функции времени y(t) на единичный ступенчатый сигнал
1(t) будет означать, что эта функция времени y(t) будет существовать
только при t 0, а при t < 0 будет обращаться в нуль (см. рис. 2.5).
24
Примером ступенчатых воздействий могут выступать мгновенный
)t(1)t(
0. tпри ,
0; tпри 0,
dt
td1
tδ
1
dt
d1(t)
δ(t)dt
Рис. 2.5. Иллюстрация основного
свойства единичной ступенчатой
функции
Рис. 2.6. Единичная импульсная
функция
Рис. 2.3. Единичная ступенчатая
функция
Рис. 2.4. Ступенчатая функция
поворот входной рукоятки следящей САУ, мгновенное возрастание
нагрузки на валу двигателя, мгновенное изменение нагрузки электрогенератора и т. д. Это достаточно распространенный вид входного сигнала автоматических систем.
2. Единичная импульсная функция (дельта-функция) (t).
Дельта-функция представляет собой первую производную по времени
от единичной ступенчатой функции
и имеет размерность [с–1].
Единичная импульсная функция тождественно равна нулю в любой момент времени, кроме t = 0, где эта функция стремится к бесконечности
(рис. 2.6). Ее уравнение:
(2.9)
Основное свойство единичной импульсной функции: дельта-функция
имеет единичную площадь, т. е.
.
25
Дельта-функция также является распространенным видом входного
Asinωs(t)x
вх
Т
1
ω
Рис. 2.7. Гармоническое воздействие
воздействия в САУ. Это, например, ток короткого замыкания, отключаемый предохранителями, кратковременный удар нагрузки на валу и т. п.
В реальных условиях такое импульсное воздействие на САУ всегда будет
конечным по величине и продолжительности.
3. Гармоническое воздействие – периодической воздействие с посто-
янными частотой и амплитудой (рис. 2.7). Уравнение такой функции:
,
где А – амплитуда гармонического воздействия; – круговая частота,
равная
, Т – период колебаний.
Такой сигнал характерен, например, вибрациям.
Эти три основных типовых входных воздействия используются для
оценки динамических свойств систем (и звеньев) с использованием временных и частотных характеристик.
2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Временные характеристики описывают динамические свойства системы (элемента).
Временная характеристика – это закон изменения во времени выходной (регулируемой) величины системы автоматического управления (звена) при изменении входного воздействия по определенному закону и при
нулевых начальных условиях. Различают две временные характеристики:
– переходная функция (характеристика);
– импульсная переходная характеристика (функции веса).
26
Переходная характеристика (функция) h(t) – переходный процесс на
Рис. 2.8. Получение переходной характеристики САУ:
а – входной единичный ступенчатый сигнал; б – переходная характеристика
Рис. 2.9. Получение импульсной переходной характеристики САУ:
а – входной единичный импульсный сигнал;
б – импульсная переходная характеристика
а
б
а
б
выходе системы (звена), возникающий при подаче на ее вход единичного
скачкообразного воздействия, или реакция системы (элемента) на единичной ступенчатый сигнал (рис. 2.8).
Для аналитического определения переходной функции необходимо ре-
шить дифференциальное уравнение системы (элемента) при нулевых
начальных условиях, подставив в качестве входного воздействия xвх(t) = 1(t).
Вид переходной характеристики h(t) определяется динамическими свойствами системы (звена).
Импульсная переходная характеристика (функция веса) (t) – пере-
ходный процесс на выходе системы (звена), возникающий при подаче на
ее вход единичной импульсной функции, или реакция системы (звена) на
дельта-функцию (рис. 2.9).
27
Динамические свойства системы (элемента) также определяют вид
dt
dh(t)
ω(t)
0
pt
dte)t(hр)р(K
0
pt
dte)t()р(K
)tsin(A)t(x
вхвх
импульсной переходной характеристики.
Связь между переходной характеристикой и функцией веса можно
установить аналогично выражению (2.9), устанавливающему зависимость
дельта-функции от единичного ступенчатого сигнала: импульсная переходная характеристика получается путем дифференцирования по времени
переходной функции:
. (2.10)
Переходная характеристика и импульсная переходная характеристика
звена связаны с его передаточной функцией интегральными преобразованиями следующим образом:
– преобразование Карлсона:
;
– преобразование Лапласа:
.
При исследовании динамических свойств систем обычно используют
переходную функцию, например при оценке качества переходного процесса в системах автоматического управления.
2.4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Наряду с временными широкое распространение получили и частотные характеристики, которые также используются для исследования динамических свойств систем автоматического управления и их звеньев,
например позволяют судить об устойчивости САУ, оценить качество процесса управления.
Частотные характеристики устанавливают зависимость между выходной и входной величинами на установившемся режиме при гармоническом входном воздействии.
Рассмотрим динамическое звено при отсутствии возмущающего воздействия, на вход которого подано гармоническое воздействие
, (2.11)
где Авх – амплитуда входного сигнала; – круговая частота.
28
На выходе звена по окончании переходного процесса установятся
)tsin(A)t(x
выхвых
вх
вых
А
А
ωА
Рис. 2.10. Параметры входных и выходных колебаний
динамического звена
гармонические колебания той же частоты, что и на входе, но отличные по
амплитуде и фазовому сдвигу, т. е.
, (2.12)
где А
– амплитуда выходных колебаний; – сдвиг фаз (фазовый сдвиг)
вых
между входными и выходными колебаниями (рис. 2.10).
Амплитуда и фаза выходных установившихся колебаний при посто-
янной амплитуде входных колебаний зависят от частоты этих колебаний.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – это зависимость от-
ношения амплитуды выходных колебаний к амплитуде входных колебаний при изменении частоты (– < < +):
. (2.13)
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – это зависимость фазового
сдвига (разности фаз) выходных колебаний относительно входных колебаний звена от частоты (– < < +). Обозначается ().
АЧХ и ФЧХ для инерционного звена показаны на рис. 2.11. Можно
утверждать, что по мере увеличения частоты A() стремится к нулю (амплитуда выходных колебаний уменьшается), а () для положительных
частот отрицательная, т. е. выходные колебания отстают по фазе от входных, и это отставание растет с частотой.
29
Введем понятие комплексной (частотной) передаточной функции. Ес-
)р(K
ip
ip
)p(K)i(K
);(А)i(K)i(Kmod
).()i(Karg
)(iV)(U)i(K
)(U
)(V
)(i
e)(A)i(K
а
б
ли в выражении передаточной функции
заменить оператор Лапласа
, то получим комплексную (частотную) передаточную функцию:
.
Комплексная передаточная функция является амплитудно-фазовой
частотной характеристикой (АФЧХ) и представляет собой комплексное
число, модуль которого равен отношению амплитуды выходных колебаний к амплитуде входных (АЧХ), а аргумент – фазовому сдвигу выходных
колебаний относительно входных (ФЧХ), т. е.
(2.14)
(2.15)
Рис. 2.11. Частотные характеристики инерционного звена:
а – амплитудно-частотная характеристика; б – фазочастотная характеристика
Комплексную передаточную функцию можно представить:
– в алгебраической форме:
, (2.16)
где
– вещественная частотная характеристика;
– мнимая частот-
ная характеристика;
– показательной форме:
. (2.17)
АФЧХ строится на комплексной плоскости и представляет собой
геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих ча-
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]