Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории автоматического управления. Учебное пособие
.pdf
Передаточная функция разомкнутой системы может быть найдена
)р(Ф1
)р(Ф
)р(W
)р(Ф
)р(Ф1
)р(W
также:
– по передаточной функции замкнутой системы:
; (3.21)
– передаточной функции для ошибки:
. (3.22)
Примеры получения передаточных функций систем см. в [5, 8].
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называют динамическим звеном и структурной схемой САУ?
Какие основные обозначения применяются в структурных схемах?
2. Какие типовые соединения звеньев встречаются в структурных
схемах? Покажите примерный вид этих соединений и запишите их эквивалентные передаточные функции.
3. Чему равна передаточная функция сложной структурной схемы?
4. Какие передаточные функции принято рассматривать для однокон-
турной замкнутой САУ? Дайте определения этим передаточным функциям. Запишите уравнения, характеризующие эти функции, и уравнения связи между ними.
5. Что называется характеристическим уравнением системы?
41
4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ
Сравнивая математические описания динамических звеньев систем автоматического управления можно отметить, что различные по назначению,
используемой энергии, принципу действия и конструктивным особенностям
элементы описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями.
А это значит, что они обладают одинаковыми свойствами в динамике.
Именно поэтому при анализе динамических свойств все элементы
САУ рассматриваются и классифицируются по виду дифференциальных
уравнений, которые описывают их работу. Этот подход позволил объединить элементы с одинаковыми динамическими свойствами понятием «динамическое звено».
Типовое звено – динамическое звено, дифференциальное уравнение
которого не выше второго порядка.
Любые сложные элементы САУ обычно описываются дифференциальными уравнениями более высоких порядков и поэтому могут быть
представлены как комбинации типовых звеньев, а это значит, что анализ и
синтез САУ можно существенно облегчить.
Основные типовые звенья:
1) безынерционное (усилительное);
2) инерционное (апериодическое);
3) интегрирующее;
4) дифференцирующее;
5) форсирующее звено первого порядка;
6) колебательное;
7) форсирующее звено второго порядка;
8) звено с постоянным запаздыванием.
Далее будут приведены для каждого из перечисленных типовых звеньев их основные динамические характеристики:
– дифференциальное уравнение, описывающее работу звена;
– переходная характеристика;
– передаточная функция;
– частотные характеристики.
4.1. БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ (УСИЛИТЕЛЬНОЕ) ЗВЕНО
Безынерционное звено описывается дифференциальным уравнением
нулевого порядка (алгебраическим уравнением) следующего вида, в кото-
42
ром выходная величина в каждый момент времени пропорциональна
(t),xK(t)x
вхвых
1(t)Kh(t)(t)x
вых
KK(p)
.Klg20)(L
;0)i(Karg)(
;K)i(K)(A
;K)i(K
Рис. 4.1. Получение переходной характеристики безынерционного звена
входной величине:
(4.1)
где K − коэффициент передачи (усиления) звена.
Примеры усилительных звеньев: потенциометрические и индукцион-
ные датчики, рычажная передача, механический редуктор, электронный
усилитель, а также элементы, инерционность которых значительно меньше инерционности других элементов САУ.
Переходная характеристика безынерционного звена (рис. 4.1) – это
ступенчатая функция высотой, равной K, т. е. усилительное звено без искажения мгновенно воспроизводит форму входного сигнала:
. (4.2)
Передаточная функция усилительного звена равна постоянной величине:
. (4.3)
Частотные характеристики звена:
(4.4)
Частотные характеристики безынерционного звена (рис. 4.2) не зависят
от частоты входного сигнала, фазовый сдвиг выходного сигнала относи-
43
тельно входного сигнала отсутствует. АФЧХ представляет собой точку, рас-
)t(xK)t(x)t(xT
вхвыхвых
1(t).)e(1Kh(t)
T
t
Рис. 4.3. Примеры инерционных звеньев:
а – электродвигатель; б – ресивер (резервуар с газом);
в – нагревательная печь; г – электрический RС-контур
а б в г
положенную на расстоянии K от начала координат на вещественной оси.
а б в
Рис. 4.2. Частотные характеристики безынерционного звена:
а – амплитудно-частотная A() и фазочастотная () характеристики;
б – логарифмическая амплитудно-частотная характеристика;
в – амплитудно-фазовая частотная характеристика
4.2. ИНЕРЦИОННОЕ (АПЕРИОДИЧЕСКОЕ) ЗВЕНО
Дифференциальное уравнение инерционного (апериодического) звена
имеет вид
, (4.5)
где Т − постоянная времени; K − коэффициент передачи.
Примеры инерционных звеньев показаны на рис. 4.3.
Переходная характеристика инерционного звена представляет собой
экспоненциальную кривую (рис. 4.4):
44
(4.6)
Переходная характеристика имеет следующие особенности. Экспо-
K)(hh
у
)t(xK)t(x
вхвых
K63,0h63,0)t(h
у
1рТ
K
)р(K
;
Ti1
K
)i(K
22
T1
K
)(А
)T(arctg)(
Рис. 4.4. Переходная характеристика инерционного звена
нента приближается у своему установившемуся значению
асимптотически. Таким образом, переходный процесс теоретически может
длиться бесконечно долго, но для практических расчетов принимают длительность переходного процесса, равную tП = 3Т, когда выходная величина достигла 95 % установившегося значения.
Отрезок, отсекаемый на асимптоте касательной, проведенной к кривой в любой точке, равен постоянной времени Т. Чем больше по величине
постоянная времени звена, тем дольше длится переходный процесс и медленнее устанавливается значение на выходе
.
Таким образом, постоянная времени T характеризует инерционность
или инерционное запаздывание апериодического звена и равна времени,
по истечении которого переходная характеристика достигает значения
.
Передаточная функция инерционного звена:
Комплексная передаточная функция (АФЧХ), АЧХ, ФЧХ соответственно:
45
. (4.7)
(4.8)
; (4.9)
. (4.10)
По АЧХ инерционного звена видно (рис. 4.5, а), что колебания малых
T
2
T
1
T
1
П
22
T1lg20Klg20)(Alg20)(L
Klg20)(L
)Tlg(20Klg20)(L
Рис. 4.5. Частотные характеристики инерционного звена:
а – амплитудно-частотная характеристика; б – фазочастотная характеристика;
в – амплитудно-фазовая частотная характеристика
частот ( < 1/Т) «пропускаются» звеном с отношением амплитуд выходного и входного сигналов, близким к коэффициенту передачи звена K.
Колебания больших частот ( > 1/Т) пропускаются с сильным ослаблением амплитуды. Таким образом, чем меньше постоянная времени Т, тем
шире полоса пропускания (П) звена:
.
ФЧХ апериодического звена представлена на рис. 4.5, б. АФЧХ для
положительных частот (рис. 4.5, в) – это полуокружность, диаметр которой равен коэффициенту передачи K.
ЛАЧХ инерционного звена:
. (4.11)
Асимптотическая ЛАЧХ инерционного звена показана на рис. 4.6.
Она представляет собой ломаную линию. Точкой (частотой) сопряжения
низкочастотной и высокочастотной асимптот является С = 1/Т.
Для меньших чем сопрягающая частот (при < 1/Т) можно заменить
выражение (4.11) приближенным:
. Этому выражению соот-
ветствует прямая, параллельная оси частот (низкочастотная асимптота).
Для больших чем сопрягающая частот ( > 1/Т) приближенное выражение выглядит следующим образом:
.
46
Последнему выражению соответствует прямая с отрицательным
()
,454)T1(
o
С
),t(xK)t(x
вхвых
t
0
вхвых
dt)t(xK)t(x
)t(1tKdt)t(1K)t(h
t
0
Рис. 4.6. Логарифмические частотные характеристики
инерционного звена
наклоном –20 дБ/дек (высокочастотная асимптота).
Действительная ЛАЧХ будет отличаться от асимптотической макси-
мально в точке = 1/Т на величину 3 дБ.
ФЧХ инерционного звена на логарифмической сетке (рис. 4.6) стро-
ится по точкам или с помощью специальных шаблонов. При изменении
0 < < значения
изменяются от 0 до –/2. Фазовый сдвиг на со-
прягающей частоте
ЛФЧХ относительно этой точки.
и соблюдается симметрия
4.3. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
Дифференциальное уравнение интегрирующего звена имеет вид
(4.12)
или
,
где K – коэффициент передачи интегрирующего звена, [1/с].
То есть выходная величина интегрирующего звена пропорциональна
интегралу от входной величины.
Примеры интегрирующих звеньев показаны на рис. 4.7.
Переходная характеристика звена (рис. 4.8, а):
. (4.13)
47
Передаточная функция звена:
p
K
K(p)
;
K
i
i
K
)i(K
;
K
)(A
;90
2
)(
.lg20Klg20)(L
Рис. 4.7. Примеры интегрирующих звеньев:
а – операционный усилитель в режиме интегрирования;
б – гидравлический демпфер; в – гироскоп
Рис. 4.8. Характеристики интегрирующего звена:
а – переходная характеристика; б – амплитудно-частотная характеристика;
в – фазочастотная характеристика; г – амплитудно-фазовая
частотная характеристика
. (4.14)
Комплексная передаточная функция (АФЧХ), АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ интегрирующего звена соответственно:
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
Частотные характеристики звена показаны на рис. 4.8, б–г.
48
По АЧХ (рис. 4.8, б) видно, что интегрирующее звено плохо пропус-
.Klg20
),t(xK)t(x
вхвых
)t(K)t(1K)t(h
Рис. 4.9. Логарифмические частотные характеристики
интегрирующего звена
кает колебания высокой частоты. Фазовый сдвиг (рис. 4.8, в) не зависит от
частоты входного сигнала, постоянный и равен для положительных частот
–90о. АФЧХ для положительных частот (рис. 4.8, г) совпадает с отрицательной осью мнимых значений.
ЛАЧХ интегрирующего звена (рис. 4.9) – это прямая с отрицательным
наклоном к оси частот –20 дБ/дек, которая пересекает ось абсцисс при частоте среза (
= K). L-ордината этой прямой при = 1 с–1 равна
ср
ФЧХ интегрирующего звена представляет собой прямую = –90о, параллельную оси частот.
4.4. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
У дифференцирующего звена выходная величина пропорциональна про-
изводной от входной величины, а дифференциальное уравнение имеет вид
(4.19)
где K – коэффициент передачи, [с].
Примеры дифференцирующих звеньев представлены на рис. 4.10.
Переходная характеристика звена показана на рис. 4.11, а, и пред-
ставляет собой импульсную функцию:
. (4.20)
49
Передаточная функция звена
pK)p(K
Ki)i(K
K)(A
o
90)(
lg20Klg20)(L
Рис. 4.10. Примеры дифференцирующих звеньев:
а – тахогенератор постоянного тока; б – электрический RC-контур
Рис. 4.11. Характеристики дифференцирующего звена:
а – переходная характеристика; б – амплитудно-частотная характеристика;
в – фазочастотная характеристика; г – амплитудно-фазовая
частотная характеристика
. (4.21)
Частотные характеристики представлены на рис. 4.11, б–г. Комплексная передаточная функция, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ соответственно:
; (4.22)
; (4.23)
; (4.24)
. (4.25)
Логарифмические частотные характеристики дифференцирующего
звена (рис. 4.12) обратны соответствующим характеристикам интегрирующего звена.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]