Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории автоматического управления. Учебное пособие
.pdf
Частотные характеристики звена имеют вид
K)(A
)(
Рис. 4.24. Звено с постоянным запаздыванием:
а – переходная характеристика; б – пример звена (линия радиосвязи)
Рис. 4.25. Характеристики звена с постоянным запаздыванием:
а – амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики;
б – логарифмическая амплитудно-частотная характеристика
; (4.61)
. (4.62)
По выражениям (4.61)–(4.62) видно, что амплитуда выходных коле-
баний звена постоянна и не зависит от частоты, а фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного отрицательный и прямо пропорционален частоте входного сигнала.
АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ этого звена показаны на рис. 4.25.
Более подробно о харакетристках типовых звеньев см. в источниках
[2, 5].
61
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какое звено называется безынерционным? Запишите переходную
характеристику, передаточную функцию и частотные характеристики звена. Какой вид имеют эти характеристики?
2. Какое звено называется инерционным? Какой вид имеет переход-
ная характеристика звена и какие ее основные параметры? Запишите передаточную функцию и частотные характеристики звена. Как выглядят
АЧХ, ФЧХ, АФЧХ и ЛАЧХ апериодического звена? Что такое полоса
пропускания инерционного звена?
3. Какое звено называется интегрирующим? Какой вид имеет пере-
ходная характеристика звена и какие ее основные параметры? Запишите
передаточную функцию и частотные характеристики звена. Как выглядят
АЧХ, ФЧХ, АФЧХ и ЛАЧХ звена?
4. Какое звено называется дифференцирующим? Какой вид имеет
переходная характеристика звена? Запишите передаточную функцию
и частотные характеристики звена. Как выглядят АЧХ, ФЧХ, АФЧХ
и ЛАЧХ звена?
5. Какое звено называется форсирующим первого порядка? Какой
вид имеет переходная характеристика звена и какие ее основные параметры? Запишите передаточную функцию и частотные характеристики звена.
Как выглядят ЛАЧХ и ФЧХ звена?
6. Какое звено называется колебательным? Какой вид имеет пере-
ходная характеристика звена и какие ее основные параметры? Запишите
передаточную функцию и частотные характеристики звена. Как выглядят
ЛАЧХ и ФЧХ звена? Рассмотрите основные свойства частных случаев колебательного звена – консервативного звена и апериодического звена второго порядка.
7. Какое звено называется форсирующим второго порядка? Запиши-
те передаточную функцию и частотные характеристики звена. Как выглядят ЛАЧХ и ФЧХ звена?
8. Какое звено называется с чистым запаздыванием? Какой вид име-
ет переходная характеристика звена? Запишите передаточную функцию
и частотные характеристики звена. Как выглядят АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ звена с чистым запаздыванием?
62
5. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
Рис. 5.1. Примеры различных с точки зрения устойчивости систем:
а – устойчивая система; б – неустойчивая система;
в – безразличное положение равновесия
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
5.1. ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ.
ПЕРЕХОДНЫЕ И УСТАНОВИВШИЕСЯ ПРОЦЕССЫ. УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Устойчивость любой системы – это способность системы возвращать-
ся в исходное состояние равновесия после того, когда внешние силы, которые вывели ее из этого состояния, исчезают. Случаи, иллюстрирующие
возможные варианты развития событий с системой «шар», показаны на
рис. 5.1.
Если ввести понятия невозмущенного состояния равновесия (соответ-
ствует точке А
на рис. 5.1, а) и возмущенного состоянии равновесия (точка
0
А1), то условие устойчивости можно сформулировать следующим образом:
система будет называться устойчивой, если из возмущенного состояния
равновесия она перейдет в некоторую конечную область, окружающую
невозмущенное состояние равновесия.
Если распространить понятие устойчивости на случай подвижной системы, то формулировка может быть следующей. Пусть состояние некоторой движущейся системы описывается независимыми координатами:
Х1(t), Х2(t), … , Хn(t). Заданное (невозмущенное) движение системы будет
определяться некоторым законом изменения этих координат: Х10(t), Х20(t),
… , Хn0(t). Движение будет считаться возмущенным, если приложенные
к рассматриваемой системе внешние силы вызовут отклонение действи-
тельного движения от заданного: Х1(t) Х10(t), Х2(t) Х20(t) и т. д.
Заданное (невозмущенное) движение будет считаться устойчивым,
если в результате приложения внешних сил, которые затем исчезают, по
63
истечении некоторого времени возмущенное движение войдет в заданную
)n,1i(,)t(X)t(Х
i0ii
).р(X)bpb...pbpb(
)р(X)apa...papa(
вх01
1m
1m
m
m
вых01
1n
1n
n
n
)t(x)t(x)t(x
устnвых
t
0)t(x
n
t
0apa...papa
01
1n
1n
n
n
tp
n
tp
2
tp
1n
n21
eC...eCeC)t(x
область:
,
где i – некоторое наперед заданное малое число.
Для изучения процесса изменения управляемой величины во времени
под влиянием внешних воздействий (задающего и возмущающего) необходимо решить дифференциальное уравнение системы (2.1).
Запишем дифференциальное уравнение линеаризованной САУ в фор-
ме Лапласа для регулируемой величины x
(t) при отсутствии возмущаю-
вых
щих воздействий, т. е. только при наличии задающего воздействия xвх(t):
(5.1)
Аналогично можно рассматривать уравнение и для возмущающего воз-
действия при отсутствии задающего, в этом случае все равно в правой части
будет присутствовать некоторая функция времени (см. выражение (2.3)).
Решение дифференциального уравнения (5.1) – это сумма двух решений: общего решения xп(t) уравнения (без правой части) и частного решения x
(t) неоднородного уравнения (с правой частью), т. е.
уст
. (5.2)
Первое слагаемое описывает собственные движения системы (переходный процесс), второе – установившийся процесс.
САУ будет устойчивой, если с течением времени (при
) переход-
ный процесс будет сходиться (собственные движения будут затухать), т. е.
при
. (5.3)
Для нахождения общего решения дифференциального уравнения
необходимо найти корни характеристического уравнения:
. (5.4)
Тогда общее решение запишется в виде
, (5.5)
где Сn – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; рn – корни характеристического уравнения.
64
Как видно из уравнения (5.5), принципиальная сходимость переход-
Рис. 5.2. Комплексная плоскость корней
характеристического уравнения
ного процесса зависит только от вида левой части уравнения (5.1), а вот
быстрота затухания и форма переходного процесса определяются и его
правой частью.
Таким образом, вывод об устойчивости системы можно сделать по
виду корней характеристического уравнения (5.4).
Необходимое и достаточное условие устойчивости: для затухания пе-
реходного процесса необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней характеристического уравнения были отрицательными.
Если хотя бы один корень уравнения (5.4) будет иметь вещественную
часть положительной, то система окажется неустойчивой, а переходный
процесс в целом будет расходящимся.
Если корни характеристического уравнения нанести в виде точек на
комплексной плоскости корней (рис. 5.2), то для устойчивости системы
необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси
Im. Если хотя бы один корень окажется в правой полуплоскости, то система неустойчива.
Таким образом, мнимая ось Im является границей устойчивости, вся
левая полуплоскость представляет собой область устойчивости, а правая –
область неустойчивости.
Система автоматического управления будет находиться на границе
устойчивости в трех случаях:
1) нулевого корня;
2) пары чисто мнимых корней;
3) бесконечного корня.
65
Все остальные корни в этих трех случаях имеют отрицательные веще-
ственные части.
Для первого случая характерно попадание вещественного корня
в начало координат плоскости комплексных корней. Это возможно, когда
один из корней уравнения (5.4) нулевой, т. е. будет отсутствовать свободный член а0. В этом случае САУ будет устойчивой относительно скорости
изменения выходной величины рХ
личины Х
. Величина отклонения выходной величины может принимать
вых
, а не относительно регулируемой ве-
вых
произвольные значения, поэтому такую САУ называют нейтрально устойчивой, а границу устойчивости – апериодической (1-го рода).
Во втором случае парный мнимый корень попадает на ось мнимых
значений. САУ будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной частотой и амплитудой. Такую границу устойчивости называют
колебательной (2-го рода).
В третьем случае (граница устойчивости 3-го рода) вещественный корень может попасть из левой полуплоскости комплексной плоскости (области устойчивости) в правую через бесконечность. В этом случае в уравнении (5.4) коэффициент an = 0.
Вычислить корни характеристического уравнения бывает весьма затруднительно, особенно для дифференциальных уравнений высоких порядков.
Было бы желательно иметь такие условия, с помощью которых можно
было бы судить об устойчивости САУ без вычисления корней, т. е. только
по коэффициентам характеристического уравнения.
Необходимое (но недостаточное) условие устойчивости САУ – положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.
Если все коэффициенты характеристического уравнения положительны (или все отрицательны) САУ может быть устойчивой (необходимы дополнительные исследования). Если же хотя бы один из коэффициентов
отрицательный (отличается знаком от всех остальных), то САУ обязательно неустойчива.
Необходимое условие устойчивости САУ становится и достаточным
для дифференциальных уравнений систем первого и второго порядков.
Для определения устойчивости САУ нет необходимости вычислять
корни характеристического уравнения, достаточно выяснить, все ли они
имеют отрицательные вещественные части. Существуют правила, позволя-
66
ющие судить об устойчивости САУ без вычисления корней характеристиче-
0apapapapa
01
2n
2n
1n
1n
n
n
0
3n4n5n
1n2n3n
n1n
a000
0aaa
0aaa
00aa
А
ского уравнения. Такие правила называются критериями устойчивости.
Критерии устойчивости делятся на аналитические и частотные. Все
они рассматривают условия, при которых корни характеристического
уравнения имеют отрицательные вещественные части, т. е. с точки зрения
математики эквивалентны. Исследователь вправе самостоятельно выбирать, какой критерий для определения устойчивости конкретной системы
использовать.
Далее будут рассмотрены наиболее популярные: аналитический крите-
рий устойчивости Гурвица и частотные критерии Михайлова и Найквиста.
Исследуя устойчивость САУ с помощью этих критериев, вначале
необходимо убедиться, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны (выполняется необходимое условие устойчивости).
В случае, если хотя бы один из коэффициентов отрицательный, дальнейшие исследования не имеют смысла (система однозначно неустойчива).
5.2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА
Из коэффициентов характеристического уравнения (5.4)
составим квадратную матрицу (матрицу Гурвица), состоящую из n строк и n
столбцов, используя правила:
1) по главной диагонали записываются все коэффициенты в порядке
убывания индексов, начиная с а
до a0;
n–1
2) в горизонтальных строках правее главной диагонали записываются
коэффициенты в порядке возрастания индексов, а левее убывания индексов;
3) в незаполненные места матрицы (индексы больше n или меньше 0)
записываются нули.
Таким образом, матрица коэффициентов имеет вид
. (5.6)
67
Определители матрицы Гурвица получаются из главного определите-
;
aa
aa
;a
2n3n
n1n
2
1n1
0
3n4n5n
1n2n3n
n1n
n
a000
0aaa
0aaa
00aa
1n0n
a
ля n (включающего всю матрицу) путем отчеркивания соответствующего
количества строк и столбцов:
(5.7)
.
Так как последняя строка матрицы содержит все элементы, кроме по-
следнего, равные нулю, то главный определитель может быть выражен
через предпоследний:
. (5.8)
Формулировка критерия устойчивости Гурвица: для устойчивой си-
стемы при аn > 0 должны быть больше нуля все n определителей (
,…,
2
) матрицы коэффициентов (5.6).
n
,
1
Уточнение: так как в устойчивой САУ предпоследний определитель
тоже должен быть положительным, условие (5.8) сводится к положительности коэффициента а0, т. е. к выполнению необходимого условия устойчивости. Поэтому определять знак главного определителя не имеет смысла.
Условием нахождения САУ на границе устойчивости является n = 0
при положительности всех остальных определителей. Из выражения (5.8)
получаем:
– условие границы устойчивости первого рода
а0 = 0;
– условие границы устойчивости второго рода
= 0.
n-1
68
5.3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА
01
1n
1n
n
n
apapapa)p(M
ip
.iVUe)(M
aiaiaia)i(M
)(i
01
1n
1n
n
n
6
6
4
4
2
20
aaaaU
7
7
5
5
3
31
aaaaV
Рис. 5.3. Годограф Михайлова
Критерий Михайлова позволяет судить об устойчивости САУ по по-
ведению ее характеристического вектора на комплексной плоскости.
Запишем характеристический полином (левую часть характеристиче-
ского уравнения (5.4)):
. (5.9)
Заменим оператор дифференцирования чисто мнимым значением
(
). Частота – угловая частота колебаний, соответствующих чисто
мнимому корню (собственных незатухающих колебаний).
Получим характеристический комплекс:
(5.10)
Его вещественная часть будет иметь четные степени :
, (5.11)
а мнимая часть – нечетные степени :
. (5.12)
Комплекс M(i) при фиксированном значении это характеристи-
ческий вектор, проведенный из начала координат комплексной плоскости
с координатами точки конца вектора, равными U() и V().
При изменении частоты от 0 до вектор будет изменять свою ве-
личину (длину) M() и направление (угол поворота) (), описывая своим
концом некоторую кривую – годограф Михайлова (рис. 5.3).
69
Связь между знаками вещественных корней характеристического
m
2
n
2
n
2
)mn(
2
n
2/n
уравнения и видом кривой Михайлова определяется выражением
, (5.13)
где – результирующий угол поворота вектора M(i) при изменении от
нуля до бесконечности; n – степень характеристического уравнения; m –
количество корней с положительной вещественной частью (лежащих в области неустойчивости).
Первая формулировка критерия устойчивости Михайлова: для устой-
чивости САУ n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы характеристический вектор M(i
нии частоты от 0 до
), описывающий годограф Михайлова, при измене-
имел результирующий угол поворота, равный
. (5.14)
При определении результирующего угла поворота необходимо учитывать, что при нечетной степени уравнения годограф Михайлова стремится параллельно оси мнимых значений V, а при четной степени – параллельно оси вещественных значений U. Это определяется наивысшей
степенью в выражениях (5.11) и (5.12).
Вторая формулировка критерия устойчивости Михайлова: для устой-
чивой САУ годограф Михайлова имеет плавную спиралевидную форму
и проходит последовательно n квадрантов, начинаясь при = 0 в точке a0
на оси вещественных значений и уходя в бесконечность при
= в n-м
квадранте (рис. 5.3).
Большее чем n квадрантов годограф Михайлова вообще пройти не может, поэтому неустойчивость САУ всегда связана с тем, что нарушается
последовательность прохождения квадрантов и результирующий угол по-
ворота вектора M(i) оказывается меньшим, чем
Михайлова для устойчивых и неустойчивых САУ показаны на рис. 5.4.
Третья формулировка критерия устойчивости Михайлова: для устой-
чивой системы годограф Михайлова проходит последовательно n квадрантов и поэтому корни уравнений U() = 0 и V(
ваться. При
в нуль V(
часть U(
) = V(0) = 0, зачем должна обратиться в нуль вещественная
1
) = 0 и т. д.
2
1
= 0 <
<
2
3
<…<
. Примеры кривых
) = 0 должны чередо-
вначале мнимая часть обращается
n
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]