Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории автоматического управления. Учебное пособие
.pdf
)t(x)t(xTK)t(x
вхвхвых
)t(1)t(TK)t(h
Рис. 4.12. Логарифмические частотные характеристики
дифференцирующего звена
Рис. 4.13. Пример форсирующего
звена первого порядка
Рис. 4.14. Переходная характеристика
форсирующего звена первого порядка
4.5. ФОРСИРУЮЩЕЕ (ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ) ЗВЕНО
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Дифференциальное уравнение форсирующего звена первого порядка
имеет вид
, (4.26)
где K – коэффициент передачи звена; Т – постоянная времени, характеризующая степень влияния скорости изменения входной величины на выходную величину.
Примером форсирующего звена первого порядка может служить це-
почка RC (рис. 4.13). Наличие такого звена в основном контуре системы
автоматического управления соответствует введению производной в закон
управления. Это обычно делается в целях улучшения качества процесса
управления.
Переходная характеристика форсирующего звена первого порядка
показана на рис. 4.14 и описывается выражением
51
. (4.27)
Передаточная функция звена
)1рТ(K)p(K
)Ti1(K)i(K
22
T1K)(A
)T(arctg)(
22
T1lg20Klg20)(L
),t(Kx)t(x)t(x2Tt)(xT
вхвыхвыхвых
2
Рис. 4.15. Логарифмические частотные характеристики
форсирующего звена первого порядка
. (4.28)
Комплексная передаточная функция, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ имеют вид
соответственно:
; (4.29)
; (4.30)
; (4.31)
. (4.32)
Логарифмические частотные характеристики форсирующего звена
первого порядка (рис. 4.15) обратны соответствующим характеристикам
инерционного звена. Отношение амплитуд выходного и входного сигналов с возрастанием частоты входного сигнала увеличивается в области
высоких частот. При изменении частоты входного сигнала от нуля до бесконечности фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного изменяется от 0 до 90°.
4.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО
Дифференциальное уравнение колебательного звена имеет вид
(4.33)
где T постоянная времени; относительный коэффициент демпфирования, причем 0 < < 1; K коэффициент передачи звена.
52
Для получения колебательного звена необходимо, чтобы корни ха-
01р2TрT
22
01рTрT
1
22
2
arctgtsine1K)t(h
t
22
tsintcose1K)t(h
t
;
T
.
T
12
Рис. 4.16. Примеры колебательных звеньев:
а – электрическая RLC-цепь; б – упругая механическая передача;
в – гироскопический элемент
а б в
рактеристического уравнения
(4.34)
или
были комплексными. Это будет при условии
Т1 < 2Т2 (4.35)
или < 1,
где Т1 = 2Т, а Т2 = Т.
Примеры колебательных звеньев показаны на рис. 4.16.
Переходная характеристика колебательного звена имеет вид
или
,
(4.36)
где
Переходный процесс представляет собой затухающие по экспоненте
колебания (рис. 4.17), которые затухают тем быстрее, чем больше коэффициент демпфирования и меньше постоянная времени T. С увеличением коэффициента демпфирования колебания переходного процесса снижаются и пропадают при 1. Коэффициент называют еще декремент
53
затухания, – частота затухающих колебаний. Эти значения можно найти
2
2
1
2
1
2
1
A
A
lg
3,22
A
A
ln
2
A
A
ln
2
.
1рT2рT
K
)p(K
22
T2i)T1(
K
)i(K
22
2
2
22
T2T1
K
)(A
22
T1
T2
arctg)i(Karg)(
2
2
22
T2T1lg20Klg20)(L
Рис. 4.17. Переходная характеристика колебательного звена
по переходной характеристике:
;
,
где период колебаний; A1 и A2 амплитуды колебаний относительно
установившегося значения, отстоящие друг от друга на время
.
Передаточная функция колебательного звена
(4.37)
Комплексная передаточная функция, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ соответственно:
; (4.38)
; (4.39)
; (4.40)
. (4.41)
Вид ЛАЧХ колебательного звена определяется величиной коэффициента демпфирования (рис. 4.18).
54
T1С
Klg20)(L
Tlg40Klg20)(L
)t(Kx)t(x)t(xT
вхвыхвых
2
Рис. 4.18. Логарифмические частотные характеристики
колебательного звена
Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена – это ломаная линия,
состоящая из двух низкочастотной и высокочастотной асимптот (рис. 4.18).
Точкой пересечения асимптот является сопрягающая частота
Низкочастотная асимптота параллельна оси частот и проходит на уровне
. Высокочастотная асимптота имеет наклон –40 дБ/дек и со-
ответствует уравнению
.
При 0,4 < < 0,7 расхождение между асимптотической и истинной
ЛАЧХ не превышает 3 дБ. ФЧХ колебательного звена можно построить
по точкам. При снижении коэффициента демпфирования колебатель-
ность переходного процесса повышается и растет резонансный пик
ЛАЧХ.
Консервативное звено не является типовым, это частный случай ко-
лебательного звена при условии, что коэффициент демпфирования = 0:
. (4.42)
.
55
Полное отсутствие демпфирования – это идеализированный случай,
)t(1)
T
t
cos1(K)t(h
1рT
K
)р(K
22
Рис. 4.19. Переходная характеристика консервативного звена
Рис. 4.20. Логарифмические частотные характеристики
консервативного звена
когда можно пренебречь влиянием рассеяния энергии в звене.
Переходная характеристика такого звена представляет собой незатухающие колебания с постоянной амплитудой, равной K с угловой часто-
той = 1/Т (рис. 4.19):
. (4.43)
Передаточная функция консервативного звена
. (4.44)
Частотные характеристики консервативного звена приведены на
рис. 4.20. При сопрягающей частоте С = 1/Т ЛАЧХ обращается в беско-
нечность, а фазовый сдвиг делает скачок на 180о.
56
Апериодическое звено второго порядка получается тогда, когда корни
)р(KХ)р(Х)1рTрT(
вхвых1
22
2
)р(KХ)р(Х)1рT)(1рT(
вхвых43
2
2
2
11
4,3
Т
4
Т
2
Т
Т
1рT1рT
K
)р(K
43
)t(1e
TT
T
e
TT
T
1K)t(h
4
3
T
t
43
4
T
t
43
3
характеристического уравнения (4.34) будут вещественными, что выполняется при условии
Т1 2Т2 (4.45)
или 1.
Дифференциальное уравнение (4.33) в операторной форме записи
приобретает вид
. (4.46)
А при условии (4.45) левая часть выражения (4.46) может быть раз-
ложена на множители:
, (4.47)
где Т3 и Т4 – новые постоянные времени, они же вещественные корни характеристического уравнения (4.34):
. (4.48)
Таким образом, дифференциальное уравнение второго порядка (4.33)
может быть заменено двумя дифференциальными уравнениями первого
порядка в виде (4.46), а передаточная функция – произведением передаточных функций двух апериодических звеньев первого порядка:
. (4.49)
Вывод: апериодическое звено второго порядка будет эквивалентно двум
апериодическим звеньям первого порядка, соединенным последовательно,
с общим коэффициентом передачи K и постоянными времени Т3 и Т4.
Переходная функция апериодического звена имеет вид
(4.50)
и показана на рис. 4.21.
Частотные характеристики приведены на рис. 4.22. Асимптотическая
ЛАЧХ апериодического звена второго порядка имеет три асимптоты, точ-
57
ки пересечения которых или сопрягающие частоты С3 = 1/Т3 и С4 = 1/Т4.
.T1lg20T1lg20Klg20
T1T1
K
lg20)(L
22
4
22
3
22
4
22
3
Klg20)(L
3
Tlg20Klg20)(L
Рис. 4.21. Переходная характеристика
апериодического звена второго порядка
Рис. 4.22. Логарифмические частотные характеристики
апериодического звена второго порядка
Выражение для ЛАЧХ имеет вид
(4.51)
Низкочастотная асимптота лежит левее сопрягающей частоты < 1/Т3
и является прямой с нулевым наклоном:
Для средних частот 1/Т3 < < 1/Т4 асимптота заменяется приближенным выражением
что соответствует прямой с наклоном –20дБ/дек.
58
.
,
Для высоких частот > 1/Т4 получим прямую с наклоном –40 дБ/дек
43
Tlg20Tlg20Klg20)(L
)t(x)t(xT2)t(xTK)t(x
вхвхвх
2
вых
1pT2pTK)p(K
22
T2iT1K)i(K
22
2
2
22
T2T1K)(A
22
T1
T2
arctg)(
2
2
22
T2T1lg20Klg20)(L
)(L и )(
по выражению
.
4.7. ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО ВТОРОГО ПОРЯДКА
Вид дифференциального уравнения форсирующего звена второго по-
рядка:
. (4.52)
Передаточная функция этого звена:
. (4.53)
Форсирующее звено второго порядка нельзя заменить двумя форси-
рующими звеньями первого порядка, соединенными последовательно, при
условии
< 1.
Иначе выражение (4.53) можно записать как произведение двух дву-
членов первой степени, и это не будет уже типовым звеном.
Частотные характеристики форсирующего звена второго порядка
определяются выражениями
; (4.54)
; (4.55)
; (4.56)
. (4.57)
Сравнивая выражения ЛАЧХ и ФЧХ с соответствующими зависимо-
стями для колебательного звена, можно отметить, что они отличаются
лишь знаком. Поэтому частотные характеристики
щего звена второго порядка являются зеркальными отражениями относительно оси частот соответствующих характеристик колебательного звена
(рис. 4.23).
59
форсирую-
Форсирующее звено второго порядка создает опережение по фазе, ко-
)t(Kx)t(x
вхвых
)р(XKe)р(X
вх
р
вых
р
Kе)р(K
Рис. 4.23. Логарифмические частотные характеристики
форсирующего звена второго порядка
торое приближается к 180° при
.
Наличие форсирующего звена второго порядка в основном контуре
системы автоматического управления соответствует введению первой
и второй производных в закон управления, что обычно применяется для
улучшения качества управления.
4.8. ЗВЕНО С ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Уравнение звена с чистым запаздыванием имеет вид
. (4.58)
Звено с постоянным запаздыванием воспроизводит на выходе входной сигнал без искажения формы, но с некоторым запаздыванием на величину . Пример подобного звена – это линия радиосвязи (рис. 4.24).
Время запаздывания в этом случае будет определяться временем передачи сигнала от передатчика до приемника.
Уравнение (4.58) в форме Лапласа при нулевых начальных условиях
будет
. (4.59)
Передаточная функция звена
60
. (4.60)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]