Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории автоматического управления. Учебное пособие
.pdf
стотной передаточной функции (2.16) при изменении частоты от 0 до
)i(KRe)(U
)i(KIm)(V
)i(K
1
)(А1
)(1
)i(K
)(Alg20)i(Klg20)(L
Рис. 2.12. Амплитудно-фазовая частотная характеристика
(рис. 2.12). По вещественной оси (абсцисс) откладывается вещественная
часть
, а по мнимой оси (ординат) – мнимая часть
.
Частотная передаточная функция
при фиксированном значении
частоты
ром, построенным из начала координат, длина которого равна
поворота относительно вещественной оси –
от 0 до конец вектора
на комплексной плоскости изображается (рис. 2.12) векто-
, а угол
. При изменении частоты
опишет кривую, которая представляет собой
график (годограф) АФЧХ. АФЧХ для отрицательных частот может быть
построена как зеркальное отображение характеристики для положительных
частот относительно вещественной оси.
Для большей простоты АЧХ и ФЧХ обычно строят в логарифмических координатах.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ),
выраженная в децибелах [дБ]:
. (2.18)
Для построения ЛАЧХ используется стандартная логарифмическая сетка (рис. 2.13). По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе (десятичные логарифмы частоты lg). Единица прира-
щения логарифма соответствует одной декаде (удесятерению частоты). По
оси ординат с равномерным масштабом (обычно кратным 20 дБ) откладыва-
31
ется ЛАЧХ. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дБ, что соответ-
Рис. 2.13. Логарифмические амплитудно-частотные характеристики
ствует значению А() = 1, так как логарифм единицы равен нулю. Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте.
Для построения ЛФЧХ используется та же ось частот. По оси ординат
откладывается фазовый сдвиг в градусах в линейном масштабе (обычно
кратным 45о).
В дальнейшем будет показано, что построение приближенной (асимп-
тотической) ЛАЧХ системы на логарифмической сетке достаточно просто
и не требует сложной вычислительной работы. Более подробно о построении логарифмических частотных характеристик с демонстрацией примеров см. в источниках [3, 4, 6 и 7].
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение динамического звена. Каким образом произво-
дится классификация звеньев? Назовите основные типы звеньев. Как в этих
звеньях связаны входная и выходная величины и какую размерность имеет
коэффициент передачи?
2. Что представляет собой математическое описание САУ? Приведите
дифференциальное уравнение САУ (элемента). Получите установившееся
значение выходной величины.
32
3. Назовите основное свойство линейных САУ и что оно позволяет
сделать?
4. Что называется передаточной функцией элемента (системы)? Как
найти изображение функции по Лапласу?
5. Что такое типовые воздействия и для чего они используются? Дай-
те характеристику основным типовым воздействиям (уравнение, график,
основные свойства).
6. Что называют временной характеристикой? Какие временные ха-
рактеристики используются? Как получить временные характеристики?
Запишите уравнения связи временных характеристик. Как связаны временные характеристики с передаточной функцией?
7. Какие частотные характеристики существуют и что они показывают?
Как связаны между собой частотные характеристики? Покажите графически
примерный вид частотных характеристик. Как построить частотные характеристики на комплексной плоскости, на логарифмической сетке?
33
3. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
3.1. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА
Система автоматического управления рассматривается как некоторая
комбинация динамических звеньев с определенными передаточными
функциями.
Структурная схема САУ – это изображение системы в виде совокупности динамических звеньев с указанием связей между ними. Структурную схему системы можно составить по известным уравнениям элементов
системы, а уравнения системы можно получить непосредственно из
структурной схемы.
Звенья системы на структурной схеме изображаются в виде прямоугольников, внутри которых записывается их передаточная функция,
стрелками обозначаются входные и выходные величины. Основные элементы структурных схем приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Условные обозначения элементов
3.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
ТИПОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ
При исследовании динамических свойств САУ стремятся упростить
структурную схему путем замены определенного соединения звеньев одним эквивалентным в динамическом отношении звеном.
34
В структурных схемах встречаются следующие виды соединения зве-
)p(K)p(K...)p(K)p(K
n1n1э
вх
X
Рис. 3.1. Последовательное соединение звеньев
Рис. 3.2. Параллельное соединение звеньев
ньев:
– последовательное;
– параллельное;
– встречно-параллельное (с помощью обратной связи).
Последовательное соединение – соединение звеньев, в котором выход-
ной сигнал предыдущего звена подается на вход последующего (рис. 3.1).
Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна
произведению передаточных функций этих звеньев:
. (3.1)
Параллельное соединение – соединение звеньев, при котором вход-
ные сигналы всех звеньев одинаковы
, а все выходные сигналы сум-
мируются со своими знаками на сумматоре (рис. 3.2).
35
Передаточная функция звеньев, соединенных параллельно, равна
).р(K...)р(K)р(K)р(K
n21э
ОС
Х
)р(K
ОС
ОСвх
вых
ОС
ОС
ХХΔХ;
Х
Х
(p)K
ОС
Х
ОС
ХΔХХ;ХХΔХ
вхОСвх
ОС
Х
ОСвхОСвх
ХΔХХ;ХХΔХ
,
(p)KK(p)1
K(p)
(p)K
ОС
э
Рис. 3.3. Соединение звеньев с помощью обратной связи
сумме передаточных функций этих звеньев (с учетом знаков сигналов на
сумматоре):
(3.2)
Соединение звеньев с помощью обратной связи (ОС) образуется тогда, когда функция выходного сигнала подается обратно на вход. Формирование сигнала обратной связи
с передаточной функцией
(рис. 3.3).
Для звена ОС и сумматора будем иметь:
производится посредством звена ОС
.
В случае отрицательной обратной связи (ООС) сигнал
на сумматор со знаком «минус» и
Если имеем положительную обратную связь (ПОС), то сигнал
подается на сумматор со знаком «плюс», а
Передаточная функция эквивалентного звена, соответствующая соединению с помощью ОС:
где знак «плюс» берется при ООС, а знак «минус» – при ПОС.
подается
.
.
(3.3)
36
Таким образом, передаточная функция цепи с обратной связью равна
K(p)1
K(p)
(p)K
э
передаточной функции прямой цепи, деленной на сумму (разность) единицы и произведения передаточной функции прямой цепи на передаточную функцию цепи обратной связи.
Единичная отрицательная обратная связь будет тогда, когда выходной
сигнал без преобразования подается на вход с обратным знаком. В этом
случае
. (3.4)
Выражения (3.1)–(3.4) будут справедливы только в случае детектирующей цепи, т. е. когда соединение выхода предыдущего звена со входом
последующего не меняет исходных уравнений каждого звена (передаточных функций), а сигнал в такой последовательной цепи проходит только
в одном направлении (по стрелке).
Примеры использования выражений (3.1)–(3.3) для преобразования
структурных схем см. в источниках [2, 5 и 8].
3.3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Для нахождения передаточных функций структурная схема системы
автоматического управления приводится к одноконтурному виду. Принято рассматривать следующие передаточные функции САУ:
1) передаточную функцию разомкнутой системы;
2) передаточную функцию разомкнутой системы по возмущающему
воздействию;
3) передаточную функцию замкнутой системы;
4) передаточную функцию ошибки;
5) передаточную функцию замкнутой системы по возмущающему
воздействию;
6) передаточную функцию ошибки по возмущающему воздействию.
Рассмотрим структурную схему системы автоматического управления, работающей по замкнутому циклу (рис. 3.4).
Проанализируем вначале разомкнутую систему, когда чувствительный элемент отсоединен от управляемого объекта.
37
Управляющее (регулирующее) воздействие со стороны регулятора на
)р(Х)р(K)р(Х
рр
)р(f)р(K)р(Х)р(K)р(Х
fровых
)р(f)р(K)р(Х)р(W)р(Х
fвых
)р(K)р(K)р(W
fo
)р(Х
)р(Х
)p(W
вых
)р(Х)p(W)р(Х
вых
ОУ
, (3.5)
где Kр(р) – передаточная функция регулятора; Х – рассогласование или
ошибка.
Выходная (управляемая) величина
, (3.6)
где Kо(р) – передаточная функция объекта по управляющему воздействию; Kf(р) – передаточная функция объекта по возмущающему воздействию.
Подставляя выражение (3.5) в (3.6), получаем
, (3.7)
где
.
Передаточная функция разомкнутой системы W(p) – это отношение
изображений регулируемой величины и ошибки при нулевых начальных
условиях и отсутствии возмущающих воздействий:
. (3.8)
Передаточная функция разомкнутой системы связывает в оператор-
ной форме регулируемую величину Х
(р) с ошибкой Х(р) в разомкну-
вых
той системе:
.
Рис. 3.4. Структурная схема замкнутой САУ:
РО – регулируемый объект (объект управления); ЧЭ – чувствительный (измеритель-
ный) элемент; ПУ – преобразующее устройство; ИЭ – исполнительный элемент
38
Таким образом, для определения передаточной функции разомкнутой
)р(f
)р(Х
)p(W
вых
f
)р(Х)р(Х)р(Х
выхвх
)р(f
)р(W1
)р(W
)р(Х
)р(W1
)р(W
)р(Х
f
вхвых
)р(f
)р(W1
)р(W
)р(Х
)р(W1
1
)р(Х
f
вх
)р(W1
)р(W
)р(Ф
)р(Х
)р(Х
)р(Ф
вх
вых
)р(Х)р(Ф)р(Х
вхвых
системы необходимо условно разорвать главную обратную связь и отбросить все внешние воздействия.
Для получения передаточной функции разомкнутой системы по возмущающему воздействию нужно условно разорвать главную обратную
связь и обнулить задающее воздействие:
. (3.9)
Перейдем к рассмотрению замкнутой системы (рис. 3.4), в которой
чувствительный элемент соединен с объектом управления. Запишем уравнение замыкания для отрицательной единичной ГОС:
. (3.10)
Используя уравнения (3.7) и (3.10), можно получить выражения для
регулируемой величины:
, (3.11)
и для ошибки:
. (3.12)
Проясним смысл множителей, стоящих при воздействиях в правой
части выражения (3.12).
Введем понятие передаточной функции замкнутой системы (главного
оператора), которая выражается через передаточную функцию разомкнутой системы:
. (3.13)
Передаточная функция замкнутой системы связывает изображения
регулируемой величины и задающего воздействия при отсутствии возмущения:
(3.14)
или
39
.
Передаточная функция замкнутой системы по ошибке связывает в зам-
)р(Х
)р(Х
)р(Ф
вх
)р(Х)р(Ф)р(Х
вх
)р(Ф1
)р(W1
1
)р(Ф
)р(f
)р(Х
)р(Ф
вых
f
)р(W1
)р(W
)р(Ф
f
f
)р(W1
)р(W
)р(f
)р(Х
)р(Ф
f
f
0)р(W1
кнутой системе изображения ошибки и задающего воздействия при отсутствии возмущающих воздействий:
(3.15)
или
.
Передаточную функцию (3.15) можно определить и следующим обра-
зом, зная главный оператор или передаточную функцию разомкнутой системы:
. (3.16)
Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию связывает в замкнутой системе изображения регулируемой величины и возмущающего воздействия при отсутствии задающего воздействия:
. (3.17)
Передаточную функцию замкнутой системы по возмущающему воздействию можно определить по выражению
. (3.18)
Передаточная функция замкнутой системы по ошибке по возмущающему воздействию связывает в замкнутой системе изображения ошибки
и возмущающего воздействия при отсутствии задающего воздействия:
. (3.19)
Анализируя выражения (3.11) и (3.12), можно сделать вывод о том, что
организация автоматического регулирования (наличие ГОС) уменьшает отклонение регулируемой величины под действием возмущения в [1 + W(р)]
раз по сравнению с отклонением в разомкнутой системе (см. выражение
(3.7)).
Характеристическое уравнение системы – это приравненный нулю
знаменатель операторного решения (3.11) или (3.12):
. (3.20)
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]