Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы квантовой механики и ЯМР-спектроскопии. Учебное пособие
.pdf
Функция ψ (x, y, z, t), удовлетворяющая уравнению Шредингера,
.dV·ψdV·ψ·ψ
V*V
1
2
называется волновой функцией (или пси-функцией) и является основной характеристикой состояния микрочастицы.
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что уравнение
Шредингера (1.26) удовлетворяется только комплексными волновыми
функциям ψ (x, y, z, t). Физический смысл имеет не сама функция ψ,
а произведение ψ на функцию ψ*, комплексно сопряженную с ψ.
Это произведение действительно и пропорционально вероятно-
сти того, что в момент времени t микрочастица находится в выделенном элементе объема dV. Обозначим эту вероятность через dω, тогда
=·∗·=|
|
·. (1.27)
Таким образом, квадрат модуля волновой функции
||
=
(1.28)
представляет собой плотность вероятности найти частицу в данной
точке пространства, т.е. вероятность, отнесенную к единице объема.
Волновая функция ψ (x, y, z, t) должна быть непрерывной и
иметь непрерывную производную, однозначной и конечной во всех
точках пространства, ибо вероятность нахождения микрочастицы
в том или ином элементе объема не может быть величиной неоднозначной, бесконечной или скачкообразно меняющейся от точки к точке. Волновая функция ψ должна быть «нормирована», т.е. должна
удовлетворять следующему условию:
(1.29)
Условие (1.29), называемое условием нормировки, показывает,
что волновая функция микрочастицы должна быть такой, чтобы квадрат ее модуля, проинтегрированный по всему объему, в любой момент
времени был равен единице. Физический смысл этого утверждения
состоит в том, что при определенных условиях частица заведомо будет
где-нибудь обнаружена. Условие нормировки (1.29) утверждает, что
21
вероятность обнаружения частицы во всем пространстве равна единице, а вероятность, равная единице, есть достоверность.
Таким образом, условие нормировки (1.29) просто говорит об
объективном существовании частицы во времени и пространстве. Как
следует из уравнения Шредингера, вид волновой функции ψ определяется потенциальной энергией микрочастицы U, т.е. характером тех
сил, которые действуют на частицу. В общем случае потенциальная
энергия частицы U является функцией координат и времени. Однако
для многих практических важных задач U является функцией только
координат и зависит от времени. Так, например, отсутствует зависимость потенциальной энергии от времени для частицы, находящейся
в стационарном (не меняющемся времени) силовом поле. Для таких
задач волновую функцию ψ (x, y, z, t) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от времени,
вторая – только от координат:
(,,,)=
ℏ
·(,,), (1.30)
где Е – полная энергия частицы; е – основание натурального логарифма.
Представим функцию (30) и уравнение Шредингера (1.26) в виде
−
ℏ
·
+
+
ℏ
+
Сократим все члены этого уравнения на общий множитель
ℏ
=ℏ−
ℏ
.
ℏ
ℏ
и произведем соответствующие преобразования. В результате получим дифференциальное уравнение, определяющее функцию ψ (x, y, z):
+
+
(
+
−)=0. (1.31)
ℏ
Для одномерного движения, например вдоль оси Х, уравнение (1.31) запишется так:
(
+
−)Ψ=0. (1.32)
22
Функция ψ (x, y, z), зависящая только от координат, называется
амплитудой волновой функции ψ (x, y, z, t), а уравнение (1.31), решением которого служит функция ψ (x, y, z) – амплитудным уравнением
Шредингера. Сумму вторых частных производных от любой функции
принято обозначать через 2 и называть оператором Лапласа:
∇=
+
+
.
Пользуясь оператором Лапласа уравнение (1.31) можно записать
более компактно:
∇ψ+
(
E−U)ψ=0.
ℏ
К уравнению Шредингера можно прийти путем следующих
рассуждений. Однако следует подчеркнуть, что эти рассуждения не
могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Их цель –
пояснить, каким образом можно прийти к устранению вида волнового
уравнения для микрочастицы. Так же как и уравнение Ньютона (1.22),
уравнение Шредингера не выводится, оно постулируется, и его применение подтверждается результатами опыта. Подтверждение правильности этого уравнения на опыте придало ему характер закона
природы.
Из опытов по дифференциации микрочастиц вытекает, что параллельный пучок частиц обладает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении движения частиц. Уравнение плоской
волны, распространяющейся в направлении оси ОХ, имеет вид (1.25):
ξ(x,t)=·cosω−
·.
Это выражение принято записывать в следующем (комплексном) виде:
ξ(x,t)=·e
23
·
, (1.33)
принимая во внимание лишь вещественную часть этого выражения:
·e
·
=cosω−
−sinω−
.
Согласно гипотезе де Бройля свободному движению частицы
(потенциальная энергия частицы при этом равна нулю) соответствует
плоская волна с частотой ω = Ε/ћ и длиной λ=h/р=2πћ/р. Заменяя ω и λ
в выражении (1.33) энергией Е и импульсом р, получим волновую
функцию для свободной частицы, движущейся в направлении оси ОХ:
Ψ(,)=·
ℏ
ℏ
=·
(
ℏ
)
. (1.34)
Чтобы найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция. Воспользуемся соотношением между Е и р:
=0.==
2
2
=
2
2
2
=
. (1.35)
Продифференцировав функцию ψ(x¸ t) один раз по t, а второй
дважды по х, получим
=−
EΨ,
ℏ
=−
p
Ψ=−
ℏ
ℏ
pΨ.
Из этих соотношений Е и р2 можно выразить через функцию ψ и
ее производные:
·
=iℏ
,
·
.
p=−ℏ
E=−
ℏ
·
·
24
Подставляя эти выражения в соотношение (1.35), получим
дифференциальное уравнение:
ℏ
−
2m
·
∂Ψ
∂x
=iℏ
∂Ψ
∂t
.
Полученное уравнение совпадает с уравнением Шредингера (1.26) для частицы, движущейся вдоль оси ОХ, при условии, что
она свободна (U = 0).
Подстановка функции ψ(x¸t)=e
-i ·E/ћ·t
·ψ(x) правомерна, так как
U = 0 (т.е. не зависит от времени) приводит к уравнению Шредингера
для свободной частицы, движущейся вдоль оси ОХ:
+
E·ψ=0. (1.36)
ℏ
В случае свободной частицы полная энергия е совпадает с кинетической Ек, поэтому величину Е в уравнении (1.36) можно трактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы.
Обобщая уравнение (1.36) на случай движения частицы в силовом поле, необходимо решить вопрос о том, что следует подразумевать для
такой частицы под величиной Е: полную или только кинетическую
энергию. Если принять, что Е – полная энергия частицы, то обобщенное уравнение, определяющее функцию ψ(x¸y,z), а значит, и сама
функция ψ(x¸y,z) не будет зависеть от вида функции U, т.е. от характера силового поля. Это, очевидно, не может соответствовать действительному положению вещей. Поэтому следует признать, что при наличии сил, действующих на частицу, вместо Е в уравнение (1.36) нужно
ввести кинетическую энергию частицы Ек = Е – U. Произведя такую
замену, мы получим уравнение Шредингера (1.32). Уравнение Шредингера (1.26) играет в нерелятивистской квантовой механике такую
же роль, какую играет уравнение Ньютона (1.22) в классической механике. Поэтому это уравнение можно назвать уравнением движения
микрочастицы при скоростях движения, малых по сравнению со скоростью света в вакууме. Уравнение для движения частицы со скоростью, сравнимой со скоростью света (уравнение релятивистской квантовой механики), получено Дираком и носит его имя. Задать закон
25
движения микрочастицы означает задать волновую функцию ψ в каждый момент времени в каждой точке пространства, ибо именно волновая функция позволяет предсказать, с какой вероятностью частица
может быть обнаружена в различных точках пространства.
Таким образом, квантовая механика имеет статистический
(вероятностный) характер. Она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве. Ошибочно отсюда делать вывод, что
квантовая механика дает менее точное и исчерпывающее описание
движения частицы, чем классическая механика, которая определяет
точно местоположение и скорость частицы в каждый момент времени.
Квантовая механика вскрывает истинное поведение микрочастиц, она
не определяет того, чего нет на самом деле. В применении к микрочастицам, как известно, понятия определенного местоположения и
траектории теряют смысл.
1.8. Движение микрочастицы в потенциальной «яме»
Если потенциальная энергия частицы U не зависит от времени t,
решение временного уравнения Шредингера (26) имеет вид
Ψ(x,y,z,t)=e
ℏ
·ψ(x,y,z)
или (1.37)
·ψ(x,y,z),
где =
Ψ(x,y,z,t)=e
.
Выражение (1.37) показывает, что волновая функция состояния
микрочастицы с стационарном силовом поле есть периодическая
функция времени с частотой, определяемой полной энергией частицы
Е. В этом случае вероятность обнаружения микрочастицы в элементе
объема dV
26
dω=Ψ ·Ψ∗·dV=e
U=∞
U=0 U=∞
U 0 ℓ X
∗
(
Ψ
x,y,z)dV=Ψ(x,y,z)·Ψ
ℏ
·Ψ(x,y,z)·e
∗
(
x,y,z)·dV=|Ψ
ℏ
.
|
·dV (1.38)
не зависит от времени t; распределение вероятности в пространстве является стационарным (не меняющимся со временем). Состояния микрочастицы, удовлетворяющие этому условию, называются стационарными. Следовательно, амплитудное уравнение Шредингера (1.31) описывает стационарные состояния микрочастиц. Когда движение частицы
происходит в ограниченной области пространства, амплитудное уравнение Шредингера (1.31) имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям однозначности, конечности и непрерывности, только при
строго определенных значениях основного параметра Е – полной энергии частицы (Е1, Е2, E3 ,...), которые называются собственными значениями энергии частицы. Волновые функции …,
32
),,(),,,(
zyxzух
отвечающие этим значениям энергии, называются собственными волновыми функциями.
Пример отыскания собственных значений энергий и собственных волновых функций микрочастицы приведен ниже:
U(x)=
0при0<<
∞приx≤0,x≥l
(1.39)
График потенциальной энергии (потенциальная кривая) для этого случая, приведенный на рис. 1.4, носит название потенциальной
ямы или потенциального ящика с бесконечно высокими стенками.
2 1 3
Рис. 1.4
27
Возрастание потенциальной энергии U(х) скачком от нуля до
бесконечности соответствует тому, что при приближении
микрочастицы, находящейся внутри ямы (область I), к стенкам
(точкам х=О и x=ℓ) возникают бесконечно большие силы,
препятствующие движению микрочастицы. Рассматриваемый случай
движения весьма идеализировав, однако на нем хорошо видны
особенности решения задач квантовой механики в случае движения
частицы в ограниченной области пространства.
Движение частицы внутри потенциальной ямы, где потенциальная энергия постоянная (U=0), описывается амплитудным уравнением
Шредингера (1.31):
ℏ
·
=, (1.40)
−
или
Производные
2
2
и
2
=−
равны нулю, так как движение одно-
2
Eψ.
ℏ
мерное (вдоль оси ох) и волновая функция микрочастицы зависит
лишь от одной переменной X. Чтобы решить уравнение (1.40), нам
нужно найти такую функцию, вторая производная которой по X пропорциональна самой функции, взятой с обратным знаком. Как известно, такой функцией в общем случае является следующая:
()=·sin(+), (1.41)
где а, ω и α – некоторые постоянные.
Чтобы найти постоянные ω и , рассмотрим значения, которые
функция Ψ(х) принимает на границах области I, т.е. при Х=0 и x=l.
В области 2 и 3 частица проникнуть не может, поэтому вероятность
обнаружить частицу, а следовательно, и функцию Ψ(х) за пределами
потенциальной ямы равны нулю. Из условия непрерывности волновой
функции следует, что функция Ψ(х) должна быть равна нулю и на границах ямы, т.e.
28
I) Ψ(о)= а · sin α=0, откуда
,·Ψ
ω
1
0
2
2
0
Ψ
π
π
2
sin
2
0
.
π
2
2
cos
1
0
n
ϑ ϑ
α = 0 и Ψ(х)=а · sin ωx;
2) Ψ(l) = а · sin ωℓ = 0, что возможно лишь в случае, когда ωℓ = nπ,
где n - целое число (n= 1, 2, 3...), т.е. необходимо, чтобы
=
. (1.42)
ℓ
Таким образом, условиям на границах потенциальной ямы удовлетворяет целый набор функций вида
Ψ
(x)
=·sin
x,
ℓ
которые соответствуют различный значениям числа n (n= 1,2,3...).
Величину постоянной а можно найти при помощи условия нормировки (1.29). Частица не может покинуть потенциальную яму, поэтому вероятность найти ее внутри этой ямы есть вероятность досто-
верного события, равная единице.
dx
где
|()|
·= – вероятность найти частицу в интервале dx.
Вычислим величину интеграла (1.43). Заменив переменную =
учетом известной формулы sin
2
adxx
n
По условию (1.43)
2
=
2
a
x·dx
n
a
ℓ
=1, откуда =
(1.43)
(
1−cos2) получим
a
. Итак, движение час-
ℓ
, с
ℓ
2
a
тицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (рис. 1.3)
29
может быть описано набором функций следующего вида:
Ψ()=
sin
ℓ
, (1.44)
ℓ
где ℓ – ширина ямы, а n = 1, 2, 3... Значение n = 0 отпадает, поскольку
при этом получается Ψ(х) = 0, а это соответствует тому, что частица
нигде не находится. Набор функций (1.44) и есть собственные волновые функции частицы, движущейся в рассматриваемом силовом поле (1.39). Ряду собственных волновых функций (1.44) соответствует
ряд вполне определенных значений энергии частицы (дискретный ряд
собственных значений энергии Еn).
Подставим волновую функцию (1.44) в исходное уравнение (1.40):
·
sin
=−
ℏ
sin
.
·
−
После сокращения общих множителей получим
=
ℏ
·E,
ℓ
откуда
=
·ℓ
·n,
ℏ
т.е. действительно уравнение (1.40), описывающее движение частицы,
удовлетворяется целым рядом определенных значений энергии
частицы, зависящих от числа n (n = 1, 2, 3...). Таким образом, не
прибегая ни каким предположениям, мы получили квантование
энергии частицы и нашли возможные (собственные) значения этой
энергии в рассматриваемой задаче:
ℏ
E=
ℓ
n.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]